金融衍生工具计算题剖析

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1、套利案例 假设现有6个月即期利率为10%，一年期即期率12%，如 果 有人把今后6个月到1年期的远期利率定位11%，试问这样的市场 行情是否产生套利机会？ 套利过程： 1、套利者按10%的利率借入一笔6个月资金1000万元 2、签订一份远期利率协议，该协议规定套利者可以按11%利率6 个月后从市场借入资金1000 万元（1051万元）； 3、按12%的利率贷出一笔一年期的款项金额1000万元 4、一年后收回贷款本息1000 （1127万元），并用 1051 （ 1110万元）偿还一年期债务后，交易者净赚17 万元，即 1127-1110=17（万元） 一、二章 无收益资产远期协议的定价 所谓无

2、收益资产即为到期日前不产生现金流的资产。 基本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定 相等。 组合构建如下： A组：一份远期协议多头加上一笔数额为 现 金 B组：一单位标的资产。 在组合A中， 以无风险利率投资，投资期限为(T-t) ，在T时刻，其金额为K。（ ). 在远期协议到期时，这笔资金刚好可以用来认购一单位标的资 产。即这两组合在T时刻具有相同的价值。根据无套利原理，这 两 组合在t时刻的价值必相等。即 式中f为远期协议t时刻的价值，s为标的资产在t时刻价格。 结论：无收益资产远期协议的价值等于标的资产现货价格与交割价 格现值的差额。 远期合约合理价格即为合约初始价值为零的

3、交割价 格，即： 式中 即为远期协议无套利条件下的理论价 格。 例:假设市场上有以不支付红利的股票为标的的期货 合约，合约在三个月后到期。当前股票价格为20元， 3个月的无风险利率为4%，那么该合约的合理 定价是多少？ 根据上式有： 支付已知现金收益资产远期协议的定价 一般方法： 设标的资产在（0，T）期限内有D的收益，该收益的现 值为 首先构建如下两个组合： 组合A：购买一单位 的标的资产期货合约，并同 时购买 无风险资产；即该组合原始投入 为 组合B：在0时刻购买一单位价格为 的标的资产 并且持有， 借入的现金 并用标的资产收益去偿 还。 即该组合原始投入为 由于这两组合具有相同的终值 ，

4、其初始成本相 等。 故 例：1单位股票即期价格为10元，并且3个月后将有1 元的收益。无风险利率为3%。那么6个月后交割的此 股票的合约价格是多少？ 解：据条件可知： 转换因子及其计量 转换因子：单位国债面值按标准债券率（每半年复利 一次）贴现到交割月第一天的价值。 例：某长期国债息票利率为14%，剩余期限还有18 年。试问相应的转换因子是多少？ 确定交割最合算的债券 交割最合算债券即为购买交割债券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。 一般方法： 1、计算交割差距C： C=债券报价+应计利息-期货报价转换因子+应计利息=债券报价-期货报价转换因子 例：若期货报价为93-16，即93.50

5、美元，可供空头选择用于交割的3种国债的报价和转换因子以 及相应交割差距计算结果如下表列示： 2、比较，选择交割差距最小者； 显然，交割最合算的国债是国债2 国债报价转换因子交割差距 1144.50151.86144.5-93.51.5186=2.5109 2120.00126.14120-93.51.2614=2.0591 399.80103.8099.8-93.51.038=2.747 例：设已知某国债期货最合算交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债现 货报价是118元，该国债期货的交割日为270天后。该债券上一次付息是60天前，下一 次付息是在122天后，再下一次付息是在3

6、05天后，市场任何期限的无风险利率均为 10%（连续复利），那么该国债的理论价格是多少？ 解： 1、交割券现金价格为：118+760/182=120.308(美元）； 2、先计算I.由于期货的有效期内只有一次付息，是在122天（0.3342年）后支 付7美元利息因此利息的现值为： 由于该期货合约的有效期还有270天（0.7397年），那么该交割券期货的理论 上的现金价格为： 3、计算交割券理论报价。由于交割时，交割券还有148天（270-122）的累计 利息，而该付息总天数为183天（305-122），故该交割券的理论报价为： 121.178-7148/183=115.5168（美元） 4、标

7、准债券的期货报价为： 115.1568/1.3650=84.628,或84-20 支付已知收益率资产远期协议的定价 首先构建以下两个组合： 组合A：一份远期协议多头加上一笔数额为的 现金； 组合B： 单位标的资产并且所有收入投资于该资 产，其 中q为该资产按复利计算的已知收益率。 显然，组合A在 时刻的价值等于一单位的证券； 组合B在 时刻正好拥有一单位证券。 故，在初始时刻两者的价值也应相等，即有下列等式成立： 已知收益率资产远期或期货合约定价方法的应用 应用一：外汇远期或期货的定价 外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率可认定是外汇发 行国连续复利的无风险利率。由公式： 上述公式即为国际金

8、融领域著名的利率平价关系 利差决定汇差。 指数期货定价案例 假设2007年3月1日，标准普尔股票价格指数价 格 是3000美元，连续红利收益率为3.5%，无风险利率为 8%，那么这时一份6个月到期的股指期货的价格是多 少？ 解：连续红利收益率可以理解为股指对应的投资组 合在相应期限内的已知收益率。那么由定价公式得： 即期利率与远期利率的关系 由无套利定价原理可得下列公式： 例：假设2年即期利率为10.5%,3年即期利率为11%，本金为100万 元2年3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协 议的价值和理论上的合约利率是多少？ 解：设所求利率为 ,由即期利率与远期理论价格 关系式 得

9、： =(0.1130.1052)/(3 2)=12.0% 首先，达成互换可能性分析 第三章 其次，操作过程与各自所承担的利率水平 再次，金融机构介入下的互换效益瓜分 浮动利率债券价值的确定： 设一年期浮动利率债券，利息以LIBOR按季度来支付，假设每季度有90 天，债券面值为1元。在0时刻90天期的LIBOR利率记为 ，90天 之后，90天期的LIBOR利率记为 ， 分别是180天和270天之后的90天期的LIBOR利率。当然，只有 在一开始是知道的。 债券到期日的支付额，即第360天所得到的支付，其值为 本金加最后90天按 所计的利息之和。 现在回到第270天来计算将来得到支付额的现值。 我

10、们将 用一个适当的贴现率即 来贴现，显然可得： 即，该浮动利率债券在第270天价值等于其面值。继续上面的步骤直到0 时刻，可以看到浮动利率债券的价值在任意一个支付日以及初始日期 都等于其面值。 结论：1、如果息票率相对于LIBOR没有溢价，那么上述结果永远成立； 2、浮动利率债券可以设计成使其价值等于或接近于其面 值。 例：假设某金融机构同一支付6个月期LIBOR，每年收取8%（ 半年复利）的利息，名义本金为100亿美元。该互换还有1.25 年时间到期。按连续复利计算的3个月期、6个月期及15个月 期的相关贴现率分别为10%、10.5%和11%。上一支付日6个 月期的LIBOR为10.2%，试

11、问该互换的价值是多少？ 解： 运用远期利率协议对利率互换定价 即将互换的价值视为一系列远期利率协议价值的贴现值之和。即只要 知道组成利率互换的每笔远期利率的价值，便可计算出利率互换的价 值。 承接上例，前三个月现金流为8%的利率与10.2%的利率互换，对金融机 构而言，交换价值为： 说明：年利息率与年复利利率的关系 设 因此，根据上例条件： 例：假设在美国和日本LIBOR利率的期限结构是水平的，在日本是4%而在 美国是9%（均是连续复利）。某一金融机构在一笔货币互换中每年收入 日元，利率为5%，同时付出美元，利率为8%。两种货币本金分别为1000 万美元和120000万日元。这笔互换还有3年期

12、限，即期汇率为1美元=110 日元.如果以美元为本币，其互换价值是多少？ 解： 货币互换的定价运用远期组合方法定价 货币互换中每一次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此货币互换定价问题可转换为分解出 来的每笔远期外汇协议的价值计量问题。 根据上例条件，即期汇率1美元=110日元，或1日元=0.009091美元。 宝洁与信孚的两份利率互换协议 1993年10月宝洁与信孚商议希望能够达成具有杠杆效应的利率互换协议替代即将到期的普通标准互换。 第一份为美元计价的利率互换合约：1993年11月2日双方签署了5年期的利率互换，此互换半年结算，名义本金2亿美元，信孚 同意支付5.3%年利率，宝

13、洁向其支付的利率为30天商业票据利率的日平均利率减去75个基点再加上一个利差。利差是基于5年期 美国国债的收益率和30年美国国债价格的函数。即 第二份为德国马克计价的利率互换合约：1994年2月14日签订。期限为4.75年（1994.1.161998.10.16），合约名义价值为 DM162800000马克 （约9300万美元）。信孚同意向宝洁支付德国马克2年的固定期限利率，加上 233个基点的期权费。宝洁同意向信孚支付德国马克2年期的互换利率，加上133 个基点期权费。该条款在1995.10月以后调整为信孚支付德国马克3个月LIBOR加上233个基点，宝洁向其支付德国马克3个月LIBOR 加上利差。设定利率r的联姻区间a,b,若rb,利差为为0，若rb,则利差为10（r-a)。