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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、收敛半径与敛散性. 第四、五章 级数与留数 二、解析函数的泰勒展开 三、洛朗展式 四、判别奇点类型 五、求各奇点处留数 六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复数项级数函数项级数 充 要 条 件 必 要 条 件 幂级数 收敛半径R 复 变 函 数 绝 对 收 敛 运算与性质 收敛条件 条 件 收 敛 复数列收敛半径的计算 泰勒级数洛朗级数 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 留数 计算方法 可去奇点 孤立奇点极点 本性奇点 函数的零点与 极点的关系 留数定理 围线积分 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、
2、收敛半径与敛散性. 解 收敛收敛 例1 判别级数 的敛散性. 1. 敛散性 （转化为实级数的判别） 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 由正项级数的比值判别法知 绝对收敛. 例2 判别级数的敛散性. 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1设函数 的泰勒展开式为 ， （B） （C） （D） 的收敛半径( )那么幂级数 （A） 2.收敛半径 C 练习 (比值、根值、简便方法：|z-|) 2设函数 圆环内的洛朗展开式有 m个， 那么m = ( ) （A）1 在以原点为中心的 （B）2 （D）4（C）3 C 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则双边幂级数 的收敛域为( ) （B）
3、 （A） （C） （D） 例3 A 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常见函数的泰勒展开式 二、解析函数的泰勒展开 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 例6 求 在 的泰勒展式. 由于 9 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7 分析：利用逐项求导、逐项积分法. 解 所以 10 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 分析: 利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数 分成部分分式后, 应用等比级数求和公式. 解 11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 两端求导得 12 机动 目录 上页 下页 返回 结束 13 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 解 三、洛朗展式
4、(1. 利用已知函数展开式； 2.分式：注意|g(z)|是否小于1) 14 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10 解 有 15 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16 机动 目录 上页 下页 返回 结束 17 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 四、判别奇点类型 18 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 19 机动 目录 上页 下页 返回 结束 20 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习：是函数 的那种类型奇点 21 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12 求函数 的有限奇点, 并 确定类型. 解是奇点. 是二级极点; 是三级极点. 22 机动 目录 上页 下页 返回
5、结束 五、 求各奇点处留数 留数的计算方法 (1) 如果为的可去奇点, 定理 成洛朗级数求 (2) 如果为的本性奇点, (3) 如果为的极点, 则有如下计算规则 展开则需将 如果 为 的 级极点, 那末 23 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论1 推论2 如果 设及在都解析， 那末为 的一级极点, 且有 如果 为 的一级极点, 那末 24 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13 求下列各函数在有限奇点处的留数. 解(1)在 内, 25 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 26 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解为奇点, 当 时 为一级极点， 27 机动 目录 上页 下页 返回 结束 28 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14 计算积分 为一级极点， 为七级极点.解 六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分 29 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由留数定理得 30
