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1、第三章 行波法 无界区域上偏微分方程的一种求解方法 对定解问题 3.1 3.1 达朗贝尔（达朗贝尔（ ）公式）公式 1 无界弦自由振动的达朗贝尔公式推导 方程的特征方程为 解得特征线为 做变换 ，则 代入方程并化简得 其中 为两个任意函数。于是得偏微分方程 的 通解为 于是 的通解为 联立求解得 于是原问题的解为 这就是无界弦自由振动的达朗贝尔公式。 特解 例1 解定解问题 解 方程的特征方程为 解得特征线为 做变换 ，则 于是方程的通解为 两式联立，求解得 故原问题的解为 2 达朗贝尔公式的物理意义 的物理意义 (1) 即 t =0 时的波形 即 t 时的波形 表示在t时刻初始波以速度a沿x
2、轴向右平移at个单位， 称为右行波。 同理 表示以速度a沿x轴的左行波。 的物理意义 (2) 行波 例2 在上述问题中，初值条件为 试说明其解的物理意义。 -22 0 1 2 可见右行波与左行波分别为 由达朗贝尔公式有 于是右行波与左行波的波形均为 随着时间的推移，其波形如图所示： 0 -2-424 1 2 -224 0 1 2 -4 2 0 1 2 -2-424 0 1 2 -2-424 0 1 2 -2-424 0 1 2 -2-424 图形演示 ： （1）初位移不为零，初速度为零： 则解为 解的动画演示（my1） （2）初位移为零，初速度不为零： 则解为 解的动画演示（my2） 该式表示
3、将函数 表示的波形向左、右以a的速度移动。 解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有 例3 用达朗贝尔公式求解下列问题 3 依赖区间、决定区域和影响区域 看达朗贝尔公式，回答下面三个问题： （1） ，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步 由x轴上哪些点对应的初值决定？ 答：由区间x-at, x+at上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。 进一步分析：方程的特征线为 过(x, t)的两条特征线与x轴的 交点正好是x-at和x+at. 如图 （2）区间 上的初值都能 确定哪些点处的函数值？ 特征线， 斜率1/a 特征线 答：过 和 分别作斜率 为 和 的两条直线，与x 轴围成的
4、三角形区域内任一点的 函数值都可由 上的初值决 定。 称此区域为 的决定域。 依赖区间 决定区域 （3）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？ 答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线， 与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 上的 初值的影响。 称此区域为 的影响域。 一点的影响域如图 影响区域 影响区域 4 齐次化原理 考虑非齐次问题 不能用达朗贝尔公式 可分解成如下两个问题 和 用达朗贝尔公式求解 如何求解？用齐次化原理 （） （） 齐次化原理： 若 是下列问题 的解，则（）的解为 # 解的进一步分析：令 ，则有 由达朗贝尔公式 ，有 于是 从而（）的解为 例4：求解下列初 值
5、问题： 自己验证 原问题的解为 解：由如上公式，有 例 求解Goursat问题 解：令 即 于是有 补充作业： 解定解问题 作业：习题1，2，4；习题3（1）、（3） 3.2 髙维波动方程的初值问题 1 三维波动方程的泊松公式 从形式上看，三维与一维相似，不妨将一维的达朗贝尔公式 推广到三维中来，为了便于推广，将达朗贝尔公式写成如下 积分形式： 表示 在 上的平均值 一维到三维的对应 一维三维 区间 区间中心球心 区间长度 球面面积 区间上的平均值 球面上的平均值 于是推广的三维波动方程的泊松公式 球面 计算中采用球面坐标，直角坐标与球面坐标的关系： 此解法称为平均值法。 可以验证。 解：由泊
6、松公式有 例1 计算下列初值问题的解： 2 二维波动方程的降维法 先将其看成三维问题，则由泊松公式有 下面将曲面积分化成二重积分： 曲面 或 投影区域 面积元素 于是有 例2 求解下列问题 解 由泊松公式，有 3 髙维波动方程初值问题泊松公式解的物理意义 1 三维泊松公式解的物理意义 不妨假设初始扰动仅发生在空间某个有限区域 内，如图。 三维泊松公式为 可见 时刻在 处的函数值是 由以 为球心、以 为半径的球面 上的初值来确定。(见图示) 记 到 的最短距离为 ，在长距离为 ，则 当 时， 上的初值为零，故 ，说明扰动 还未到达点 处； 当 时， 与 相交，即 上有初值，故一般有 ，说明点 处
7、于扰动状态； 当 时， 上的初值为零，故 ，说明扰动 已经越过了 点，此处恢复到原来的静止状态。 这种现象在物理学上称为惠更斯原理或无后效现象。 可见 时刻在 处的函数值是 由以 为圆心、以 为半径的圆面 上的初值来确定。(见图示) 2 二维泊松公式解的物理意义 也不妨假设初始扰动仅发生在某个有限区域 内，如图。 二维泊松公式为 当 时， 与 相交，即 上有初值，故一般有 ，说明点 处于扰动状态； 这种现象在物理学上称为有后效现象或称为波的弥散。 当 时， 全部包含 ，说明所有初值对 均有扰动， 这和三维情形完全不一样。 记 到 的最短距离为 ，在长距离为 ，则 当 时， 上的初值为零，故 ，说明扰动 还未到达点 处；
