解直角三角形应用二讲解

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1、解直角三角形应用 -测高问题 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上 方的角叫做仰角。视线在水平线下方的角叫做 俯角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角 。 在假期里，同学们约好一起去爬山，他们走进大门 后远远望见山顶的C处都觉得它好远好高，能爬上去不 容易，出发时大家都充满信心，但是有的同学在爬的过 程中由于体力不支，在半山腰B处就停下来，有的同学 则克服困难，坚持着爬到山顶C处， 例题 如果此山的高度为500米，在A处测得C处的仰 角为45，如果要从顶点C处到大门A处建立一条 空中索道，那么这条索道需要多少米？请你帮助 算一算。如果半山腰B处的垂直距离是200米，A处 到垂足E处

2、的距离是200 米，那么B处的俯角是 多少？ M 练习： 如图4,河对岸有水塔AB.在C处测 得塔顶A的仰角为30,向塔前进12m到达D, 在D处测得A的仰角为45,求塔高. DC B A 4530 12m 图4 图4 解题步骤小结 1、首先要弄清题意，结合实际问题中的示 意图分清题目中的已知条件和所求结论。 2、找出与问题有关的直角三角形，或通过作 辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题 转化为解直角三角形的问题。 3、合理选择直角三角形的元素之间的关 系求出答案。 问题1：在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，在地面上 事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区， 现在从离B点21米远的建筑

3、物CD顶端C测得A点的仰角 为45，到B点的俯角为30，问离B点30米远的保 护文物是否在危险区内？ （ 约等于1.732） 问题2：如图一个摄像仪器架在过街天桥上，检查马 路行驶的车辆是否超速，已知摄像仪器A到公路L的 垂直距离AD为21米，A到公路点C的俯角为30，到 公路点B的俯角为60，一辆汽车在公路L上沿CB方 向匀速行驶，测得它从点C到点B所用的时间为0.4 秒。 （1)计算此车从点C到B的速度v 为每秒多少米?（结果精确到个 位， 约等于1.732） (2)如果此路段限定时速不超过 60千米，判断此车是否超速？ 并说明理由。 同学们开动脑筋想一想， 还可以涉及到哪些问题？ 赛一赛

4、： 以小组为单位，根据下列条件编写一道有实际意义的问题，看 看那一个小组编写有创意，有意义。并且合乎实际情况。 条件：一个仰角45，一个俯角30。结论可以由自己确定。 课后小结： 本节课我们用解直角三角形的有关知识解决有关俯角、仰 角的实际问题。 (1)你怎么理解俯角、仰角？ (2)在分析处理这类实际问题时，你应该采取怎样的步骤呢 ？ (3)除了以上知识你还有哪些收获？有哪些不解？谈谈你的 看法。 解直角三角形应用 -坡度问题 前提测评: 从20米高的甲楼顶 A 处望乙 楼顶C处的仰角为30，望乙楼底D处处的 俯角为为45，求乙楼的高度。（精确到 0.1 米） A C 水平线 D B 甲 乙

5、20m 30 45 建筑物 塔 A B C D 20m 30 45 A B C D 20 m 30 45 前提测评：由一座建 筑物的底部A测得 一座塔的顶部D的 仰角是30。 由 该塔的底部C测得 该建筑物的顶部B 的仰角是45。 如果塔CD的高度是 20m，求 (1)A和C之间的距离； (2)该建筑物的高度。 新概念：坡度、坡比 A B h L 如图：坡面的垂直高度h和 水平宽度L的比叫坡度 （或叫坡比） 用字母表示为 ， 坡面与水平面的夹角记作（叫坡角） 则tan = 练习： （1）一段坡面的坡角为60，则坡度 i=_; （2）已知一段坡面上，铅直高度为 ， 坡面长为 ， 则坡度i_,坡角

6、_。 你会算吗？ 1、坡角=45坡比i= 11 302、坡比为,坡角= 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形， 斜坡AB的坡度为1： ，坡面AB的水平 宽度为 米，基面AD宽2米， 求路基高AE、坡角B和基底BC的宽. C 2 例1 A B D EF 例2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在 有这样一个问题请你解决：如图， 水库大坝的横断面是 梯形，坝顶宽6m，坝 高23m，斜坡AB的坡度 i=13，斜坡CD的坡 度I=12.5，求斜 坡坝底宽AD和斜坡AB 的长 练习1： 如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC宽为6m ，坝高23m，斜坡AB的坡度=1: ，斜边CD 的坡度为=1:1， 求斜坡AB

7、的长，坡角和坝底AD宽。 AD B C EF 练习2:修建一条铁路要经过一座高山， 需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量， 西山坡的坡度i5:3，由山顶A观测到点 C的俯角为60，AC的长为60m，如图所 示，试求隧道BC的长. A BC i = 5：3 练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道 内坡度为11.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：横断面( 等腰梯形)ABCD的面积；修一条长为100米的渠道要挖去 的土方数 v练习4.(2014 山东 )如图，在平地上种植树 时，要求株距（相邻两树间的水平距离） 为4m如果在坡度为0.

8、5的山坡上种植树 ，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡 面距离约为（ ） vA4.5mB4.6m C6mD8m 课堂小结: 1弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念 的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应， 只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为 数学问题 2认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形 ，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题 3选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单， 且不易出错 4按照题中的精确度进行计算，并按照题目 中要求的精确度确定答案以及注明单位 解直角三角形应用 -航海问题 2009年11月10日 方向角 北 东 西 南 A 58 28 B 北偏东 5

9、8 南偏西 28 例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东 60的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？ A 北 南 西东 北 南 西东 某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60的 方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 的方向 上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？ 3045 8千米 A B C D 某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60的 方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 的方向 上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米

10、？ 解： 练习1：如图所示，某船以每小时36海里的速度 向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60方向 上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东 30方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁 （1）试说明B点是 否在暗礁区域外 （2）若继续向东 航行，有无触礁危 险？请说明理由 北 东 A B C D 解：（1）AB=360.5=18， ADB=60，DBC=30， ACB=30又CAB=30， BC=AB=1816， B点在暗礁区域外 （2）过C点作CHAF，垂足为H，在RtCBH中， BCH=30， 令BH=x，则CH=x，在RtACH中，CAH=30， AH=CH， 18x=-x，x=9，CH

11、=916， 船继续向东航行有触礁的危险 答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危 险 练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港 口A的正东方向400公里处,向西北方向BD移动， 距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港 口A是否会受到这次台风的影响？ A B D 东 北 45 C 练习3：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30 方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里 的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间（精确到1分）？ O A 30 60 南 东 BC 北 西 练习4、一渔船上的渔民在A处看见灯塔在 北偏东60方向，这艘渔船以28海里/时

12、的速 度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯 塔M在北偏东15方向，求此时灯塔M与渔 船的距离 ？ 练习5:如图，一船在海面C处望见一灯塔A，在它的 正北方向2海里处，另一灯塔B在它的北偏西60的方 向，这船向正西方向航行，已知A、B两灯塔的距离 为 海里，问在这条船的航线上是否存在一点 使两个灯塔A、B同时分别在该点的东北、西北方向 上？ 2sqrt(6) 练习6 已知，如图，C城市在B城市的正北方向，两城市 相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线 段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40的 方向上，又在C城市的南偏东56方向上，已知森林保护 区A的范围是以A为圆心

13、，半径为50千米的圆，问：计划 修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？ 练习7 已知，如图，C城市在B城市的正北方向，两城市 相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线 段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40的 方向上，又在C城市的南偏东56方向上，已知森林保护 区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计划 修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？ 1.解直角三角形,就是在直角三角形中,知道除直角外的其他 五个元素中的两个(其中至少有一个是边),求出其它元素的 过程. 2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度 或物体的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题,结合示意图,运用解直角三角 形的知识. 3.当遇到30,45,60等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割 出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题. 4.应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行: 寻找直角三角形,若找不到,可构造; 找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解,利用题中 的数量关系,设x求解. 【课堂点睛】 :