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1、1 第三章 定常非线性系统的稳定性 2 一、 基本方法： 0 引言 2. Lyapunov直接方法； 1. 相平面方法(几何方法)； 3. 一次近似方法； 4. 非线性动力学方法。 定常非线性系统： (1) 3 1 Lyapunov直接方法的概念 从二维系统相平面上的相轨线来看：渐近稳定的相轨线趋 于原点。 能找到这样的闭曲线族，使得其附近外部的相轨线都“流入 ”闭曲线所围成的区域。 4 引入状态变量： 考虑阻尼振动的微分方程： 例1：单自由度系统的阻尼振动。 构造： 5 为保证 V=c 为闭曲线族： 所以取： 6 2 定号、常号、变号函数 定义: (1) 是半正定(常正)的, 如果: 对任意
2、 的 , 成立： ; (2) 是正定的, 如果: 对任意的 , 成立: , 且 ; (3) 如果 既可取正值, 又可取负值, 则 称之为变号函数; (4) 是半负定(常负)的, 如果: 对任意 的 , 成立： ; (5) 是负定的, 如果: 对任意的 , 成立: , 且 . 7 例: 正定; 不属于定号函数; 半正定; 正定. 在原点的充分小邻域内: 对 ： 8 二、 定号函数的判定方法 (1) 二次型正定的判别方法; (2) 奇数阶的齐次型为变号函数; (3) 在原点的充分小邻域内, 低次项的正(负)定性决定函数的 正(负)定性. 9 3 Lyapunov稳定性定理 定常非线性系统:(1)
3、一、 关于原点稳定性的定理 定理3: (Lyapunov) 对于扰动运动微分方程(1), 如果能找到一个正定函数 , 它通过方程(1)构成的全导数式是常负的, 则扰动运动 微分方程(1)的零解是稳定的. 10 定理3的几何解释: : 闭曲面族; 层层相套; 随系统的解 C0 , 曲面族 向原点收缩. 11 定理3的证明思路: (1) 任给 : 存在 l 0, 使得满足 的点位于原 点的 邻域内; (2) 对所得到的 : 存在 , 使得 的点位于 内; (3) 在 内取 , 有: (4) 从 出发的解， ， 故对所有 : 12 试比较下面的定义与命题： 定义： 系统(1)的零解是 (Lyapun
4、ov意义)稳定的, 如果: 对任意的 和 , 存在 , 使得对所 有的 , 只要 , 就有: . 定理3: (Lyapunov) 对于扰动运动微分方程(1), 如果能找到一个正定函数 , 它通过方程(1)构成的全导数式是常负的, 则扰动运动 微分方程(1)的零解是稳定的. 尽管定理3很平凡，但是有着十分重要的应用。 13 例：自由定点转动刚体绕惯性主轴转动的稳定性 Euler 动力学方程: 定常运动: 是系统的特解. 令: 14 得扰动方程: 设: 设: 取: 则取: 可以验证: 定点运动的自由刚体绕其最小或 最大惯性主轴的转动是稳定的。 15 原动力学方程有两个首次积分 (1) 能量积分 (
5、2) 角动量积分 相应地, 扰动方程也有两个首次积分 16 设: 设: 取: 则取: 可以验证: 定点运动的自由刚体绕其最小或最大惯性主轴的 转动是稳定的. 取Lyapunov函数: 17 二、关于原点渐近稳定性的定理 定理的几何解释: 定理4: (Lyapunov) 对于扰动运动微分方程(1), 如果能找到一个正定函数 , 它通过方程(1)构成的全导数式是负定的, 则扰动运动微 分方程(1)的零解是渐近稳定的. : 闭曲面族; 层层相套; 随 C0 向原点收缩. 18 定理的证明思路： (1) 首先原点是稳定的; (3) 用反证法: 单调下降且有下界, 所以极限存在: 矛盾 (2) 要证明:
6、 设 为一解: 由 V 函数正定 存在 0 , 使得 在 之内. 设 , 存在 , 使得 在 之内. 在 上有: ， 19 例: 考虑阻尼振动的微分方程： 引入状态变量: 系统的能量 E : 能量 E 关于时间的变化率: 按定理只能得到原点稳定的结论, 但实际上原点渐近稳定. 20 定理的条件可适当放宽: 定理: 对于扰动运动微分方程(1), 如果能找到一个正定函 数 , 它沿方程(1)的解的全导数式常负, 且在 的点集中, 除原点外不包含整条轨线, 则扰动运动微分方程 (1)的零解是渐近稳定的. 21 三、 Lyapunov函数 定义: 在Lyapunov直接法的稳定性定理中, 满足任何一个
7、稳 定性基本定理所需条件的函数称为Lyapunov函数. Lyapunov函数可以是如下两种形式: (1) 正定函数, 它通过系统的运动方程构成的全导数式常负; (2) 负定函数, 它通过系统的运动方程构成的全导数式常正; 是正定函数, 却非正定函数.但： 22 关于稳定性的充分条件, 我们还有如下形式的Lyapunov定理: 四、Lyapunov定理的极值表示 将 看成相空间中的向量场, 如果 , 则 称为向量场 的奇点. 定理: 对于可微向量场 的奇点 , 如果存在一个 Lyapunov函数, 则该奇点是稳定的. 定义: 一个可微函数 V 称为向量场 的奇点 的 Lyapunov函数, 如
8、果它满足以下的条件: (1) V 在 的某一邻域内有定义, 且在 取严格的极小值; (2) 在 的某一邻域内, V 沿向量场 的导数非正: 23 五、 关于不稳定的定理 定理5的几何解释: 定理5: 对于扰动运动微分方程(1), 如果能构造一个可微正 定、常正或变号函数 , 它通过运动方程(1)构成的全导数 式 是正定的, 则扰动运动微分方程(1)的零解不稳定. 24 定理5的证明思路: 由 积分: 要证: 对任给的 , 不论 取得多么小, 都能找到从 内出发的轨线, 它必到达 的边界. 反证法: 设不会到达 的边界. 取小的 0，使 在 之外; 因为: 存在 0 , 使得在 上, 这与 落在
9、 内矛盾. 25 例: 单摆 引入状态变量: 能量积分: 取: 沿系统的解:原点稳定. 26 例: 有阻尼单摆 引入状态变量: 取: 沿系统的解:原点稳定. 取: 沿系统的解:原点渐近稳定. 27 解： 取Lyapunov函数： 例：判定系统 的零解的稳定性。 则沿系统解的导数： 按Lyapunov不稳定定理，系统的零解不稳。 28 引入极坐标: 例：判定系统 的零解的稳定性。 解二 ： 方程化为： 在原点邻域内，沿系统解， r 单调增加，故原点不稳。 29 例: 考虑如下系统的零解的稳定性: 系统的相轨线方程： 积分得： 如果在原点邻域内： 则系统的原点稳定。 此类系统无渐近稳定性。 定号， 30 例: 考虑如下系统的零解的稳定性: 得： 取： 由Lyapunov稳定定理，原点稳定。 从方程中消去时间 t : 沿方程的解： 31 例: 考虑如下系统的零解的稳定性: 取： 沿解： 零解渐稳.
