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1、系统统分析基础础 1 * 本章主要内容 系统统微分方程的建立； 传递传递函数； 方块图块图及动态动态系统统的构成； 典型机、电电系统统的传递传递函数。 * 2 本章学习要求、重点、难点 学习习要求 能够够建立基本环节环节（质质量-弹弹簧-阻尼系统统、电电网络络 ）的微分方程。 掌握传递传递函数的概念、特点，会根据微分方程求传传 递递函数，掌握传递传递函数的零点、极点概念。 掌握各个典型环节环节的传递传递函数的基本形式。 掌握传递传递函数方块图块图的组组成及意义义；能够够根据系统统 微分方程，绘绘制系统传递统传递函数方块图块图，并实现简实现简化 ，从而求出系统传递统传递函数。 掌握闭环闭环系统统
2、中误误差传递传递函数、前向传递传递函数、开 环传递环传递函数、反馈传递馈传递函数、闭环传递闭环传递函数的定义义 及求法。掌握干扰扰作用下，系统统的输输出及传递传递函数 的求法和特点。 * 3 本章学习要求、重点、难点 本章重点 系统统微分方程的建立。 传递传递函数的概念、特点及求法；典型环节环节的传递传递函 数。 传递传递函数方块图块图的绘绘制及简简化。 本章难难点 系统统微分方程的列写。 传递传递函数方块图块图的绘绘制及简简化。 * 4 本章作业 P69P73 3-3（b）、（d） 3-6（b）、（c） 3-10（b） 本章作业业第3周星期三交。 * 5 1.数学模型的概念 2.线线性系统统
3、与非线线性系统统 3.本课课程涉及的数学模型形式 * 6 3-1 概述 1.数学模型的概念 数学模型：是描述系统统特性的数学表达式。它揭示 了系统结统结构及其参数与其性能之间间的内在关系。 数学模型是对对系统统特性（包括动态动态特性和静态态特性）进进 行分析、综综合的有效工具。 数学模型的类类型：微分方程，传递传递函数，频频响函数 ，状态态空间间表达式等。这这些模型一般可以互相转转化 。 经经典控制理论论采用的数学模型主要以传递传递函数和频频 率响应应函数（简简称频频响函数）为为基础础。而现现代控制 理论论采用的数学模型主要以状态态空间间方程为为基础础。 而以物理定律及实验规实验规律为为依据的
4、微分方程则则是最 基本的数学模型，是列写传递传递函数、频频响函数和状 态态空间间方程的基础础。 * 7 3-1 概述 1.数学模型的概念 数学模型的建立方法： 解析法：依据系统统各变变量间间所遵循的物理或化学规规 律列写出相应应的数学关系式，建立数学模型。 实验实验法：人为为地对对系统统施加某种典型的输输入信号， 记录记录其输输出（响应应），并用适当的数学模型进进行逼 近。这这种方法也称为为系统统辨识识。 在建模的过过程中要正确处处理模型简简化和模型精 度的辨证证关系，以建立简单简单且能满满足要求的数学 模型。 * 8 3-1 概述 2.线线性系统统与非线线性系统统 线线性系统统：能用线线性微
5、分方程描述的系统统。线线性 系统统最重要的特性是满满足叠加原理。如下列所示 的微分方程就是线线性微分方程，所以该该方程描述 的系统统是线线性系统统。 线线性定常系统统：能用常系数线线性微分方程描述的系统统。 在上面的方程中，如果系数m、B、k皆为为常数，则则系统统 为线为线性定常系统统（或称线线性时时不变变系统统）。 线线性时变时变系统统：描述线线性系统统微分方程的系数随时间变时间变 化的系统统。如火箭飞飞行过过程的质质量变变化。 * 9 3-1 概述 线线性定常系统统微分方程的一般形式 * 10 式中，y(t)为输为输 出量，x(t)为输为输 入量，a0an、b0 bm皆为为常数，n决定了系
6、统统的阶阶次。当输输入、输输 出为为常数时时 即 K称为为系统统的静态态灵敏度或静态态增益或放大系数或 简简称增益。 3-1 概述 线线性系统统的叠加原理： * 11 线性系统 y2(t)x2(t) 线性系统 y1(t)x1(t) 若 线性系统 推而广之： 线性系统 a1x1(t)+a2x2(t)a1y1(t)+a2y2(t) 则则 其中a1、a2为为常数。 其中ai（i=1，2，n）为为常数。 3-1 概述 1.线线性系统统与非线线性系统统 非线线性系统统：用非线线性方程描述的系统统，不满满足 叠加原理。如下列方程描述的系统统，又比如风风机 、水泵泵等流体阻力与速度的平方成正比。 * 12
7、严严格来说说，任何系统统都或多或少存在着非线线性因素，只 有在一定条件下才能将它们们作为线为线性系统处统处理。如金属 材料的弹弹性变变形并不严严格遵循胡克定律；运算放大器输输 入信号过过大会导导致饱饱和而进进入非线线性区。齿轮齿轮的间间隙、 材料的滞后都是非线线性因素，导导致系统统非线线性。 非线性项 非线性项 3-1 概述 3.本课课程涉及的数学模型形式 本课课程主要是用经经典控制理论论研究线线性定常系统统 ，所以涉及到的数学模型主要是: 时时域里的线线性常系数微分方程 复域里的传递传递函数 频频域里的频频响函数。 * 13 m建立系统统微分方程的一般步骤骤 机械运动动系统统微分方程的建立
8、p液压压系统统微分方程的建立（自学） 电电网络络系统统微分方程的建立 * 14 3-2 系统微分方程的建立 建立系统统微分方程的一般步骤骤 确定系统统的输输入量和输输出量； 按照信号的传递顺传递顺序，从系统统的输输入端出发发，根据 有关物理定律，列写出各个环节环节的动态动态微分方程； 消除上述各方程式中的中间变间变量，最后得到只包含 输输入量、输输出量和系统统参数的方程式； 将与输输入有关的项项写在微分方程等号的右边边，与输输 出有关的项项写在微分方程等号的左边边，并且各阶导阶导 数项项按降阶阶排列。 * 15 3-2 系统微分方程的建立 1.机械运动动系统统微分方程的建立 机械系统统中部件的
9、运动动，有直线线运动动、转动转动或二 者兼有，建立机械系统统的运动动微分方程通常采用 达朗贝贝尔原理或牛顿顿第二定律。 达朗贝贝尔原理：作用于每一个质质点上的合力(合 力矩)，同质质点惯惯性力(惯惯性力矩)形成平衡力系， 用公式可表达为为 * 16 质点上作 用的合力 质点上作用 的合力矩 质点惯 性力 质点惯 性力矩达朗贝尔 常见机械元件所遵循的物理定律 系统统元件物理符号 所遵循的物理定 律 机械系统统 直线线运动动 质质量元件 质质量m kg 或 （对质对质 量） 弹弹性元件 弹弹簧刚刚度k Nm1 （对对x1点。弹弹簧 无质质量） 粘性阻尼元件 粘性阻尼系数 B Nsm1 （对对x1点
10、。无质质 量） * 17 m x(t) f(t) f(t) x2(t)x1(t) k f(t) x2(t)x1(t) B 常见机械元件所遵循的物理定律 系统统元件物理符号所遵循的物理定律 机械系 统统 旋转转运 动动 旋转质转质 量 转动惯转动惯 量J Nm2 或 （对质对质 量） 扭转弹转弹 簧 扭转弹转弹 簧刚刚度 kJ Nmrad1 （对对1点。无质质量 ） 回转转粘性阻尼 回转转粘性阻尼系 数BJ Nmsrad1 无质质量 * 18 J (t) T(t) T(t) 2(t)1(t) kJ T(t) (t) BJ 3-2 系统微分方程的建立 例1：求如图图所示系统统的运动动微分方程。图图
11、中输输入为为 力f(t)，输输出为质为质量的位移x(t)。 解：对质对质量m利用达朗贝贝尔定理得 * 19 惯性 力 输入 力 弹簧 反力 阻尼 力 m f(t)力 x(t)位移 kB 单单自由度有阻尼振动动 系统统力学模型 例1 【注】将重力作用下的静态态平衡点作为为位移的零点，重力被 静态弹态弹簧反力平衡掉，所以在建立上述运动动学方程时时，重力 不必出现现。以后同。 3-2 系统微分方程的建立 例2：求如图图所示系统统的运动动微分方程。图图中输输入为为 力矩T(t)，输输出为质为质量的角位移(t)。 解：对质对质量利用达朗贝贝尔定理得 * 20 惯性 力矩 输入 力矩 弹簧 反力矩 阻尼
12、力矩 J T(t) kJ (t) BJ 例2 3-2 系统微分方程的建立 3.电电网络络系统统 建立由电电阻、电电感、电电容等元件构成的电电网络络系统统 的微分方程主要依据基尔霍夫电电流定律和基尔霍 夫电压电压定律。 * 21 基尔霍夫电电流定律（基尔霍夫第一定律） 任一集总总参数电电路中的任一节节点，在任一瞬间间流入流 出该节该节点的所有电电流的代数和恒为为零，（即所有流出 节节点的电电流之和等于所有流进节进节点的电电流之和）。 基尔霍夫电电压压定律（基尔霍夫第二定律） 任一集总总参数电电路中的任一回路，在任一瞬间间沿此回 路的各段电压电压（包括电动势电动势）的代数和恒为为零。 电阻、电容和
13、电感元件所遵循的物理定律 系统统元件物理符号所遵循的物理定律 电电网络络系 统统 电电阻 R 量纲纲： 电电容 C 量纲纲：F 电电感 L 量纲纲：H u (t) i (t) C u (t) i (t) L u (t) i (t) R 22 * 3-2 系统微分方程的建立 例1：求图图所示电电路的微分方程。 解：利用基尔霍夫电压电压定律得到 * 23 二阶阶低通滤滤波器 LR C uo(t)ui(t) i(t) 对(2)式求导得 将i(t)及其一阶导数代入(1)式得 I II 例1 传递传递函数的基本概念 传递传递函数的零点与极点 传递传递函数的典型环节环节 * 24 * 25 3-3 传递
14、函数 1.传递传递函数的基本概念 定义义：在初始条件为为零（输输入、输输出及其各阶导阶导 数在0时时刻（即外界输输入作用前）皆为为0）的情况 下，系统输统输出的拉普拉斯变换变换与输输入的拉普拉斯 变换变换之比。 本教材中一般采用G(s)表示系统统的传递传递函数。即 例如单单自由度有阻尼振动动系统统的传递传递函数为为 * 26 3-3 传递 函数 解析法求传递传递函数的方法 利用微分方程：在初始条件为为零的情况下，对对微分 方程等号两边边同时时做拉氏变换变换即可得到。 对电对电网络络系统统，也可利用复阻抗的概念直接求得。 线线性定常系统传递统传递函数的一般形式 线线性定常系统统微分方程的一般形式
15、为为： 式中，y(t)为输为输出量，x(t)为输为输入量，n决定了系统统 的阶阶次。 * 27 3-3 传递 函数 令Y(s)=Ly(t) ，X(s)=Lx(t) ，在初始条件为为0时时 ，对对上述微分方程等号两边边同时时做拉普拉氏变换变换得 （要利用到拉氏变换变换的微分性质质和线线性性质质） 这这就是线线性定常系统传递统传递函数的一般形式。 * 28 3-3 传递 函数 例1：求如图图所示系统统的传递传递函数。 解：系统统的运动动微分方程为为： * 29 m f(t)力 x(t)位移 kB 弹簧-质量-阻尼系统 例1 令X(s)=Lx(t)，F(s)=Lf(t)，在初 始条件为为0时时，对对
16、上述微分方程等号 两边边同时时做拉普拉氏变换变换得 3-3 传递 函数 例2：求图图3-3所示电电路的传递传递函数。 解：利用基尔霍夫电压电压定律得到 令Uo(s)=Luo(t)，Ui(s)=Lui(t)，I(s)=Li(t)，在 初始条件为为0时时，对对上述微分方程组组等号两边边同时时做 拉普拉氏变换变换得 * 30 图3-3 二阶低通滤波器 LR Cuo(t)ui(t) i(t) 例2 I II 3-3 传递 函数 联联立消除中间变间变量I(s)得 * 31 式中： 无阻尼固有角频频率(rads1)； 阻尼比。 3-3 传递 函数 利用复阻抗求例2的传递传递函数 利用分压压定律得 * 32 图3-4 二阶低通滤波器 ZL=LsZR=R ZC=1/(Cs) Uo(s)Ui(s) 结结果与用微分方程求得的相同，但过过程却简单简单的多， 不需要拉氏变换过变换过程。 电感的 复阻抗 电阻的 复阻抗 电容
