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1、一次函数的图象与性质【每周学习盘点】（一）一、理解一次函数的概念知识链接：函数(，是常数)叫一次函数.特别地当时，()叫正比例函数.1、已知：是一次函数，求的值.【思维激活】是关于x的一次函数的两个条件：自变量的最高次项的次数为1，且一次项系数0，解：由题意得：0，且，或（舍去），因此，. 二、一次函数的图象性质：知识链接：（1）特殊点：一次函数的图象是一条直线.一般画两点A（）,B，然后经过这两点作直线即可；（2）图像位置：直线，在直角坐标系中的位置由常数、的符号决定，当时，经过一、二、三象限；当时，经过一、三、四象限；当 时，经过一、二、四象限；当时，经过二、三、四象限.（3）增减性：当k
2、0时，随着的增大而增大；当k0时，随着的增大而减小。（增减性与无关.这里的值可以决定直线倾斜的方向，的值可以决定直线与轴相交的交点的位置）2、已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 【思维激活】（1）一次函数()中，常数项b就是与y轴交点的纵坐标，也称作直线在y轴上的截距。（2）函数的增减性只与k有关，与b无关。解：依题意，得 ，解得 n=-1，=-3x-1, =(3-)x, 是正比例函数； =-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小； =(3-)x的图象经过
3、第一、三象限，随x的增大而增大。 三、两直线的位置关系知识链接：（1）直线经过点（），或点（）在直线上，则满足关系式，就是.（2）直线y=+与直线y=平行，则，且反之亦然；(3)直线y=+与直线y=平行，则，且且反之亦然；（4）直线y=+与直线y=垂直，则，反之亦然。3、（1）直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。 【思维激活】直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。 解：y=kx+b与y=5-4x平行，k=-4,y=kx+b与y=-3(x-6)=-3
4、x+18相交于y轴， b=18，y=-4x+18。 （2）已知，直线与垂直，且过点（1，-2），请问直线不经过哪个象限？【思维激活】两直线垂直，则；K确定倾斜方向，b确定与y轴交点的位置。解： 由题意得： ， ；： 把（1，-2）代入得；即直线不经过第二象限.四、求一次函数解析式知识链接：用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：设（函数解析式）、列（根据条件列方程（组）、解（解方程（组）、写（出函数解析式）。4、已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B在第三象限，它的横坐标为-2，AOB的面积为6平方单位，求正比例函数和一次函数的解析式。 【思维激活】画出草
5、图，利用几何性质求出点的坐标。解：设正比例函数y=kx，一次函数y=ax+b，点B在第三象限，横坐标为-2，设B（-2，），其中0，=6，AO|=6， =-2，把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，得k=1 把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b， 得 解得： y=x, y=-x-3即所求。 5、如图1，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式【思维激活】设直线l的解析式为y=kx(k0),因为l分AOB面积比为2：1，故分两种情况：SAOC：SBOC=2：1；SAOC：SBO
6、C=1：2求出C点坐标，就可以求出直线l的解析式解：直线y=x+3的图象与x,y轴交于A，B两点A点坐标为（-3，0）,B点坐标为(0,3).|OA|3，|OB|=3SAOB=|OA|OB|=33=.设直线l的解析式为y=kx（k0）.直线l把AOB的面积分为2：1，直线l与线段AB交于点C分两种情况来讨论：当SAOC:SBOC=2:1时，设C点坐标为（x1，y1）.又SAOB=SAOC+SBOC=，SAOB=3.即SAOC=|OA|y1|=3|y1|=3.y1=2，由图示可知取y1=2又点C在直线AB上，2=x1+3，x1=-1.C点坐标为（-1，2）把C点坐标（-1，2）代人y=kx中，得
7、2=-1k，k-2直线l的解析式为y=-2x当SAOC:SBOC=1:2时，设C点坐标为(x2,y2)又SAOC=SAOC+SBOC=,SAOB=即SAOC=|OA|y2|=3|y2|=.y2=1，由图示可知取y2=1.又点C在直线AB上，1=x2+3，x2=-2.把C点坐标（-2，1）代入y=kx中，得1=-2k，k=-y2.直线l的解析式为y=-x.直线l的解析式为y=-2x或y=-x.【每周学习盘点】（二）一、 直线倾斜角的特殊值与的关系知识链接：(1)如图1，=30时，；=45时，； =60时，. (2)在含30的直角三角形中，三边之比为1、如图2，巳知A点坐标为（5，0），直线y=x
8、+b（b0）与y轴交于点B，连接AB，=75，则b的值为（）A3 B C4 D【思维激活】由知，BCO=45, OAB=75-45-=30，根据勾股定理求出点B的坐标，代入直线y=x+b（b0），即可求得b的值解：解由知，BCO=45, OAB=75-45-=30，OB= = 点B的坐标为（0，），=0+b，b= 故选B二、在数形结合背景中求一次函数解析式知识链接：在数形结合背景中求一次函数解析式的两种处理方法：（1）先用几何方法求出相关点的坐标，再代入y=kx+b求出k、b.(2)先用k、b表示相关点的坐标，再用几何方法求出k、b的值。2、（1）若一次函数y=kx-3的图象与x轴、y轴的交点
9、之间的距离为5，求此函数的表达式。【思维激活】策略1：由y=kx-3知，直线与y轴交于（0，-3），再根据勾股定理知与x轴交于(-4,0)或（4,0），最后求出函数解析式。策略2：先用待定系数确定与坐标轴的交点坐标，再用勾股定理求k的值。（2）如图3，直线与直线在同一平面直角坐标系内交于点P，且直线与x轴交于点A. 求直线的解析式及OAP的面积.【思维激活】由图像知，点P的横坐标是1，代入可求出点P的坐标。2、（1）解：由题意k0,且直线y=kx-3与x轴、y轴的交点分别为（）、（）， 由勾股定理得，解得，。（2）解：把代入，得.点P（1，2）. 点P在直线上，. 解得 .当时，由得.点A（3
10、，0）. . 三、在现实背景下求一次函数解析式知识链接：在现实背景下求一次函数解析式的两种处理方法：（1）把实际的量转化为点的坐标，再求一次函数；（2）利用实际量之间的经验公式建模直接求函数解析式。3、如图4，是某学校一电热淋浴器水箱的水量y（升）与供水时间x（分）的函数关系（1）求y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，求在30分钟时水箱有多少升水？【思维激活】（1）由图像先求出点的坐标，再求函数解析式；（2）当x=30时，求y的值。解：（1）由图可知y与x的函数关系是一次函数，（将实际问题转化为数学问题）设这个函数的关系式为y=kx+b（k0），根据题意得解得水箱的水量y（升）与时间x
11、（分）的函数关系式是（10x50）（2）当x=30时，（升）（将实际问题转化为求函数值） 在30分钟时水箱有100升水4、小明从地出发向地行走，同时晓阳从地出发向地行走，如图所示，相交于点M的两条线段分别表示小明、晓阳离A地的距离（千米）与已用时间（分钟）之间的关系。（1）小明与晓阳相遇时，晓阳出发的时间是 ；（2）求小明与晓阳的速度【思维激活】（1）由图像知，经过（30,4），求得l1：，当y=1.6时，求出x的值。（2）求速度，可用“速度、路程、时间”的关系求解。解：（1）设l1：，过（30，4），故，当y=1.6时,x=12分钟； （2）小明的速度=晓阳的速度=答：小明的速度是每分钟千米
12、，晓阳的速度是每分钟千米 5、如图6，在底面积为l00cm2、高为20cm的长方体水槽内放人一个圆柱形烧杯以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水,注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2所示 （1）写出函数图象中点A、点B的实际意义； （2）求烧杯的底面积； （3）若烧杯的高为9cm，求注水的速度及注满水槽所用的时间【思维激活】把图7中的每个数据与图6中的注水过程一一对应分析；等高的两个柱体的体积之比等于两柱体的底面积之比。解：（1）点A：烧杯中刚好注满水 。点B：水槽中水面恰与烧杯中水面齐平（2）由图可知：烧杯放满需要18 s，水槽水面与烧杯水面齐平，需要90 s 可知，烧杯底面积：长方体底面积=1：5。 烧杯的底面积为20 cm2（3）注水速度为=10 cm3/s，注满水槽所需时间为=200 s儿童心理发展是有顺序的，这是由遗传决定的，不会因为各种外部环境的影响，或者学习、训练的作用而发生改变，出现心理发展的超越或逆转。人类个体从出生到成熟再到衰老的过程中心理的发生发展。既是个体自身发展成熟的过程，又是一个社会化的过程。7
