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1、数列典型例题选讲1 已知数列为正项等比数列,(1)求的通项公式; (2)设的前n项和为,求【解析】 2 设数列的前项和为 已知(I)设,证明数列是等比数列 (II)求数列的通项公式【解析】(I)由及,有由,. 则当时,有.-得又,是首项,公比为2的等比数列.(II)由(I)可得,数列是首项为,公差为的等比数列. , 3 已知等比数列中,.()若为等差数列,且满足,求数列的通项公式;()若数列满足,求数列的前项和.【解析】()在等比数列中,. 所以,由得,即, 因此, 在等差数列中,根据题意, 可得, 所以, ()若数列满足,则, 因此有 4 设数列的前项和为,满足(,t为常数) ,且.()当时
2、,求和; ()若是等比数列,求t的值; ()求.【解析】解法一()当时,当时, 两式相减得(*) 时, ,得 因为,得 ,故 (*) 因为,所以, ()由(*)可知(),若是等比数列,则成等比数列 即 因为,所以 即,所以或.经检验,符合题意 ()由(*)可知() 当时,此时, 当时, 此时, 所以 解法二()因为 及,得 所以 且,解得 同理 ,解得 ()当时, 得 , 两式相减得(*) 即 当t=0时,显然是等比数列 当时,令,可得 因为 是等比数列,所以为等比数列,当时,恒成立, 即 恒成立,化简得 恒成立, 即,解得, 综合上述,或 ()当时,由(*)得 数列是以1为首项,1为公差的等
3、差数列,所以 当时,由(*)得, 设(k为常数) 整理得, 显然 所以, 即数列是以为首项,为公比的等比数列 所以,即 所以 所以 5 已知数列的前n项和为, 且满足,( I ) 求的值; (II) 求证数列是等比数列; ( III ) 若, 求数列的前n项和.【解析】(I)因为,令, 解得 再分别令,解得 (II)因为,所以, 两个代数式相减得到 所以 , 又因为,所以构成首项为2, 公比为2的等比数列 (III)因为构成首项为2, 公比为2的等比数列,所以,所以 因为,所以 所以 令 因此 所以 6 已知成等差数列.又数列此数列的前n项的和Sn()对所有大于1的正整数n都有.(1)求数列的
4、第n+1项; (2)若的等比中项,且Tn为bn的前n项和,求Tn.【解析】(1)成等差数列, , 是以为公差的等差数列. , (2)数列的等比中项, 7 设数列的前项和为,且;数列为等差数列,且(1)求数列的通项公式;(2)若为数列的前项和,求证【解析】(1)由 (2)数列为等差数列,公差 从而 从而 8 在数列中,(1)设,求数列的通项公式(2)求数列的前项和【解析】(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式 ()(II)由(I)知,=而,又是一个典型的错位相减法模型,易得 =9 ,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列,数列的前项和为,且(1)求数列,的通项公式; (2)记=,求数
5、列的前项和.【解析】(1)由.且得 , 在中,令得当时,T=,两式相减得, (2), , =2=, 10已知数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,点 在直线上()求和的值; ()求数列,的通项和; () 设,求数列的前n项和【解析】(1)是与2的等差中项, 解得, 解得(2) 又 又 即数列是等比数列 又点在直线上, ,即数列是等差数列,又(3)因此由错位相减法得, 11已知在等差数列中,前7项和等于35,数列中,点在直线上,其中是数列的前项和(1)求数列的通项公式; (2)求证数列是等比数列;(3)设为数列的前项和,求并证明;【解析】(1)设数列的公差为d,则由题意知得 (2)点在直线
6、上 - , - -得, 又当时, 数列是以为首项,为公比的等比数列 (3)由(2)知, - - 得, = = 由知的最小值是 12设数列的前项和为,且满足.()求证数列为等比数列; ()求通项公式; ()设,求证. 【解析】证明(), . 又, 是首项为,公比为的等比数列且. ()时, 时, . 故. () . 【命题意图】 数列既是高中数学的重点,也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前项和公式,能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点与的关系(注意讨论);递推猜想数学归纳法证明;迭加;迭乘;裂项求和;错位相减等;数列不等式证明中注意放缩法的运用. 13已知等差数列an的首项0,且第一
7、项、第三项、第十一项分别是等比数列bn的第一项、第二项、第三项(I)求数列an和bn的通项公式;(II)设数列cn对任意的,求数列cn的前n项和【解析】(I)由已知 数列an的通项公式;数列bn的通项公式 (II)由 ) 又 所以数列的前n项和 14设数列的首项,前项和为,且点在直线(为与无关的正实数)上.() 求证数列是等比数列;() 记数列的公比为,数列满足.设,求数列的前项和;() 在()的条件下,设,证明.【解析】()因为点在直线(为与无关的正实数)上, 所以,即有. 当时,. 由,解得,所以. 当 -,得 ,整理得. 综上所述,知 ,因此是等比数列 () 由() 知,从而, 所以.
8、因此,是等差数列,并且. 所以, () 由()知,则. 将用二项式定理展开,共有项,其第项为 , 同理,用二项式定理展开,共有项,第项为,其前项中的第项为, 由, 得又, 15已知递增的等比数列满足,且是的等差中项.()求数列的通项公式;()若,是数列的前项和,求使成立的的最小值.【解析】()设等比数列的公比为,依题意有, (1) 又,将(1)代入得.所以. 于是有 解得或 又是递增的,故 所以 (), 故由题意可得,解得或.又, 所以满足条件的的最小值为13 16已知数列中,且当时,函数取得极值()求数列的通项; ()在数列中,求的值【解析】() 由题意 得 , 又 所以 数列是公比为的等比
9、数列 所以 () 因为 , 所以 , 叠加得 把代入得 = 17已知数列的前项和为,且.()求数列的通项公式; ()令,求数列的前项和为.【解析】 ()当时, 当时, 即; ()当时, 当时, 令 利用错位相减法解得 所以 18等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （11）当b=2时，记 证明对任意的 ，不等式成立【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=
10、,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19已知数列的前项的和为,对一切正整数都有.()求数列的通项公式; ()当,证明.【解析】()令,则, ()证明又, 20已知数列中,点()在直线上,其中()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由【解析】(1)由已知得 又是以为首项,以为公比的等比数列 (2)由(1)知,将以上各式相加得 (3)解法一存在,使数列是等差数列. 数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当,即时,
11、数列为等差数列 21数列中,且(1)求数列的通项公式;(2)设求(3)设,是否存在最大整数m,使得对 有成立?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由【解析】(1)由题意,为等差数列,设公差为d由题意得(2)若(3)若对任意成立,即对任意成立,的最小值是,的最大整数值是7即存在最大整数m=7,使对任意,均有22数列的通项，其前项和为.（1）求； （2）令，求数列的前n项和【解析】由于，故故 （2），两式相减得故23各项均为正数的数列,且对满足的正整数,都有(1)当,时,求通项; (2)证明对任意,存在与有关的常数,使得对于每个正整数,都有.【解析】(1)由得,将,代入上式化简得,所以. 故数列为等比数列,从而,即.可验证,满足题设条件.(2)由题设的值仅与有关,记为,则.考察函数,则在定义域上有故对,恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.24设数列满足其中为实数,且()求数列的通项公式()设,求数列的前项和;()若对任意成立,证明【解析】 (1) 方法一 当时,是首项为,公比为的等比
