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1、第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程 （9.1）G是x,y平面上的有界区域，其边界为分段光滑的闭曲线。当f(x,y)0时，方程（9.1）称为Lapl
2、ace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 （9.2） 第二边值条件 （9.3） 第三边值条件 （9.4）这里，n表示上单位外法向，(x,y),(x,y),(x,y)和k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u(x,y)在区域G的一些离散节点（xi，yi）上的近似值ui,j(xi，yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解
3、差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G=0xa, 0y0, B(x,y) Bmin 0, E(x,y) 0。引进半节点利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程 （9.10）其中 （9.11）显然，当系数函数A(x,y)=B(x,y)=1, C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0时，椭圆型方程（9.9）就成为Poisson方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。9.1.2 一般区域的边界条件处理前面已假设G为矩形区域，现在考虑G为一般区域情
4、形，这里主要涉及边界条件的处理。考虑Poisson方程第一边值问题 （9.12）其中G可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线：x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,1,对区域G进行矩形网格剖分，见图9-3。 如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j），（i-1,j），（i,j+1）和（i,j-1）属于，则称其为正则内点，见图9-3中打“。”号者；如果一个节点（i,j）属于且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图9-3中打“.”号者。记正则内点集合为，非正则内点集合为。显然，当G为矩形区域时，成立。 在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格
5、式 （9.13）在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中D点，则利用边界条件可取uD=(D)对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B点，一般可采用如下两种处理方法。a.直接转移法.取与点B距离最近的边界点（如图9-4中E点）上的u的值作为u(B)的近似值uB，即uB=u(E)=(E)直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。b.线性插值法.取B点的两个相邻点（如图9-4中边界点A和正则内点C作为插值节点对u(B)进行线性插值则得到点B处的方程 线性插值法精度较高，为二阶近似。
6、对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。求解此方程组就可得到一般区域上边值问题（9.12）的差分近似解。对于一般区域上二阶椭圆型方程（9.9）的第一边值问题，可完全类似处理。第二、三边值条件的处理较为复杂，这里不再讨论。9.2 抛物型方程的差分方法本节介绍抛物型方程的差分方法，重点讨论差分格式的构造和稳定性分析。9.2.1 一维问题 作为模型，考虑一维热传导的初边值问题 （9.14） （9.15） （9.16）其中a是正常数，都是已知的连续的函数。现在讨论求解问题（9.14）-(9.18)的差分方法。首先对求解区域
7、G=0xl, 0tT进行网格剖分。取空间步长h=l/N,时间步长=T/M,其中N,M是正整数，作两族平行直线 将区域G剖分成矩形网格，见图9-5，网格交点（xj，tk）称为节点。用差分方法求解初边值问题（9.14）-（9.16）就是要求出精确解u(x,t)在每个节点（xj，tk）处的近似值。为简化记号，简记节点（xj，tk）=u(j,k)。 利用一元函数的Taylor展开公式，可推出下列差商表达式 （9.17） （9.18） （9.19） （9.20）1.古典显格式 在区域G的内节点(j,k)处，利用公式（9.17）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为其中。舍去高阶小项，就得到节点
8、近似值（差分解）所满足的差分方程 （9.21）显然，在节点(j,k)处，差分方程（9.21）逼近偏微分方程（9.14）的误差为，这个误差称为截断误差，它反映了差分方程逼近偏微分方程的精度。现将（9.21）式改写为便于计算的形式，并利用初边值条件（9.15）与（9.16）补充上初始值和边界点方程，则得到 （9.22）其中称为网比。与时间相关问题差分方程的求解通常是按时间方向逐层进行的。对于差分方程（9.22），当第k层节点值已知时，可直接计算出第k+1层节点值。这样，从第0层已知值开始，就可逐层求出各时间层的节点值。差分方程（9.22）的求解计算是显式的，无须求解方程组，故称为古典显格式。此外，
9、在式（9.22）中，每个内节点处方程仅涉及k和k+1两层节点值，称这样的差分格式为双层格式。差分方程（9.22）可表示为矩阵形式 （9.23）其中 2. 古典隐格式 在区域G的内节点(j,k)处，利用公式（9.18）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为舍去高阶小项，则得到如下差分方程 （9.24）它的截断误差为，逼近精度与古典显格式相同。改写（9.24）式为便于计算的形式，并补充上初始值与边界点方程，则得到 （9.25）与古典显格式不同，在差分方程（9.25）的求解中，当第k-1层值已知时，必须通过求解一个线性方程组才能求出第k层值，所以称（9.25）式为古典隐格式，它也是双层格式
10、。差分方程（9.25）的矩阵形式为 （9.26）其中 向量同（9.23）式中定义。从（9.26）式看到，古典隐格式在每一层计算时，都需求解一个三对角形线性方程组，可采用追赶法求解。3.Crank-Nicolson格式（六点对称格式）利用一元函数Taylor展开公式可得到如下等式 使用这两个公式，在点离散偏微分方程（9.14），然后利用（9.20）式进一步离散二阶偏导数，则可导出差分方程 （9.27）其截断误差为，在时间方向的逼近阶较显格式和隐格式高出一阶。这个差分格式称为Crank-Nicolson格式，有时也称为六点对称格式，它显然是双层隐式格式。改写（9.27）式，并补充初始值和边界点方程得到 （9.28）它的矩阵形式为 （9.29）在每层计算时，仍需求解一个三对角形方程组。4. Richardson格式利用公式（9.19）和（9.20），可导出另一个截断误差为阶的差分方程
