高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册（20%），选择性必修第一册第一章到第二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 英文单词peach所有字母组成的集合记为，英文单词apple所有字母组成的集合记为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念与运算直接求解即可.【详解】因为，所以.故选：C2. 设，则（ ）A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简，结合共轭复数的定义求得，进而求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：C.3. 若直线的斜率大于，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化一般式为斜截式得到直线的斜率，进而列出不等式求解即可.【详解】直线，即，则直线的斜率为，即，解得.所以的取值范围为.故选：A.4. 在空间直角坐标系中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设直线与平面所成的角为，由求解.【详解】设直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，故选：C5. 已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到圆的圆心坐标为，再根据圆经过点求得半径即可.【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为，所以圆的圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的方程为故选：B6. 在四面体中，为的中点，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算可得答案.【详解】因为为的中点，所以．因为为中点，所以，所以．故选：B.7. 某地两厂在平面直角坐标系上坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ）A. B. 32 C. D. 48【答案】A【解析】【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.【详解】如图，设关于直线对称的点为，则得即，易知，当三点共线时，取得最小值，最小值为.故选：A8. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（ ）A B. 7 C. D. 6【答案】D【解析】【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可.【详解】因为点为重心，所以，则.因为三点共线，，所以，.所以.所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若直线与直线垂直，则的值可能是（ ）A. B. C. 0 D. 1【答案】AC【解析】【分析】根据互相垂直的两直线方程的性质进行求解即可.详解】依题意可得，解得或．故选：AC10. 广东省2017到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ）A. 广东省2017到2022年这6年的常住人口逐年递增B. 广东省2017到2022年这6年的常住人口的极差为1515万C. 从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为D. 广东省2017到2022年这6年的常住人口的第70百分位数为12656.80万【答案】BCD【解析】【分析】根据图中信息可判断A选项；将这6年的常住人口数按照从小到大的顺序排列，进而求得极差即可判断B选项；结合古典概型公式即可判断C选项；根据百分位数的定义可判断D选项.【详解】对于A，由图可知，2021年到2022年常住人口在减少，故A错误；对于B，将广东省2017到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为11169.00，11346.00，11521.00，12601.25，12656.80，12684.00，则极差为万，故B正确；对于C，因为这6个数据中大于12000万的有3个，所以从这6年中任选1年，则这1年的常住人口大于12000万的概率为，故C正确；对于D，因为，所以第70百分位数为12656.80万，故D正确.故选：BCD.11. 圆与圆的位置关系可能是（ ）A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 内切【答案】ABD【解析】【分析】由圆的一般方程可求得圆的圆心，由点和圆的位置关系可确定圆心在圆内部，由此可得两圆可能的位置关系.【详解】由圆的方程可得：圆心，，圆的圆心在圆的内部，两圆的位置关系可能是内含、相交或内切.故选：ABD.12. 在棱长为1的正方体中，，，则（ ）A. 当平面时，B. 的最小值为C. 当点到平面的距离最大时，D. 当三棱锥外接球的半径最大时，【答案】AB【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则．当平面时，，解得，故A正确．，当时，取得最小值，且最小值为，故B正确．当是的中点，即时，平面底面，此时，点到平面的距离最大，故C错误．因为，所以过斜边的中点作平面的垂线，则外接球的球心必在该垂线上，所以球心的坐标可设为，半径为，因为，所以，所以．在三棱锥中，，所以，当且仅当时，等号成立，故D错误．故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若是奇函数，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为是奇函数，所以，由，即，所以，则.故答案为：.14. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与所成角的余弦值为______．【答案】【解析】【分析】利用空间向量求异面直线夹角即可.【详解】由题意可知：，，所以，所以直线与所成角的余弦值为．故答案为：15. 直线的倾斜角为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线倾斜角的定义，即可求解.【详解】由直线，可得直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.答案为：.16. 若曲线与圆恰有4个公共点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出的取值范围.【详解】因为曲线与圆恰有4个公共点，所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，则有,解得．故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知直线经过直线：与直线：的交点．（1）若直线经过点，求直线在轴上的截距；（2）若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由两点求出斜率，应用点斜式求出直线方程；（2）根据两直线平行，得到平行的直线系方程，代点解出参数即可.【小问1详解】由解得即和的交点坐标为，因为直线经过点，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，得，所以直线在轴上的截距为．【小问2详解】因为直线与直线：平行，所以可设直线的方程为，又直线经过点，所以，得，所以直线的一般式方程为.18. 分别为内角的对边.已知.（1）求；（2）若为钝角，且，，求的周长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，由二倍角余弦公式可求得结果；（2）由同角三角函数关系可得，利用余弦定理可求得，由此可得三角形周长.【小问1详解】由正弦定理得：，，，，解得：，.【小问2详解】由（1）知：，为钝角，，由余弦定理得：，，的周长为.19. 如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，． （1）证明：平面．（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理，给合三角形中位线定理、平行线的性质进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以．在正三棱柱中，所以．又平面，平面，所以平面．【小问2详解】取的中点，连接．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，．设平面的法向量为，则取，则易知是平面的一个法向量，所以．故平面与平面夹角的余弦值为．20. 已知圆与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线所得弦长等于2．（1）求圆的标准方程；（2）求圆截直线所得弦长；（3）若是圆上的一个动点，求的最小值．【答案】（1） （2） （3）21【解析】【分析】（1）设圆心为，则，，半径为，且圆心在，从而求出，得到圆的方程；（2）设，得到，得到最小值.【小问1详解】因为圆与两坐标轴的正半轴都相切，设圆心为，则，，半径为，故圆的方程为，又，圆心在上，故直径为2，故半径，所以圆的方程为；【小问2详解】圆心到的距离为，则圆截直线所得弦长为.【小问3详解】是圆上的一个动点，故设，则，其中，当时，取得最小值，最小值为.21. 如图，在底面为梯形的四棱锥中，底面，.（1）证明：平面.（2）延长至点，使得，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】证明：因为，所以.因为底面，所以，因为，平面，所以平面，又，所以平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.设平面的法向量为，则，即令，得.因为，所以点到平面的距离.22. 已知圆.（1）证明：圆恒过两个定点.（2）当时，若过点的直线与圆交于两点，且等于直线的斜率，求直线的斜率.【答案】22. 证明见解析 23. 【解析】【分析】（1）圆的方程可化为，令，解得即可证明结论成立；（2）由题意设出直线方程，然后直线与圆联立方程组，消掉以后得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系化简求值即可，注意一元二次方程有两个解，则.【小问1详解】证明：圆的方程可化为.令得或，故圆恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和。
