辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二开学考试数学试题考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A解析：因为，所以.故选：A2．已知，，且，则的最小值为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B解析：由，则，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B.3．函数的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．，【答案】A解析：函数，当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；所以函数的单调递减区间为.故选：A.4．定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A解析：因为，所以是一个周期为4的周期函数.因为是定义在上的偶函数，∴所以.因为，所以所以.所以.故选：A.5．已知样本数据均为正数，其方差，则样本数据的平均数为（ ）A．1 B． C．2 D．【答案】C解析：设样本数据的平均数为，则方差，所以，即，因为样本数据均为正数，所以，故.故选：C.6．在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A． B． C． D．【答案】D解析：如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，依题意，有，，，，设，则，且，，，因，当时，，当时，，故． 故选：D．7．已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ）A． B．3 C． D．1【答案】B解析：根据题意，得，当，，时，，此时，所以.故选：B.8．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（ ） A． B． C． D．【答案】C解析： 如图所示，取中点，连接.是正三棱柱，为线段的中点，，，平面，平面，.,平面，平面，平面，.要使平面，只须.设三棱柱的棱长为，则，.在中，，，.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知正数a，b满足，则（ ）A．b的取值范围是 B．的最小值为C．的最小值为2 D．的最小值【答案】AB解析：对于选项A：因为正数a，b满足，则，，解得，，故A正确，对于选项B：因为，整理可得，解得，或（舍去），当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；对于选项C：因为，则，所以2不是的最小值，故C错误；对于选项D：因为，则，且，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故D错误.故选：AB.10．小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（ ）A．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96B．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5C．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为2.5D．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.5【答案】AD解析：由题意可得小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为，则他这两个月的30次训练成绩的方差为.故选：AD11．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的平分线交于点，则（ ）A．B．外接圆的面积为C．若，则为直角三角形D．若的内切圆的圆心为，则周长的最大值为【答案】ACD解析：对于A，由题意得，由正弦定理得，可得，化简得，由两角和的正弦公式得，故，而，则，得到，解得，而，可得，故A正确，对于B，设外接圆的半径为，则由正弦定理得，解得，由圆的面积公式得外接圆的面积为，故B错误，对于C，如图，作出符合题意的图形，因为，所以，而的平分线交于点，则，得到，即，故，在中，由余弦定理得，解得，故，满足，则为直角三角形，故C正确，对于D，如图，作出符合题意的图形，因为，所以，因为的内心为，所以，故，设，则，在中，由正弦定理得，，则，得到的周长为，因为，所以，则，可得，故D正确．故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为 .【答案】9解析：对于函数，令，解得且，可知函数的定义域为，因为，可知函数的对称中心为，由题意可知：直线经过点，则，即，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.13．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴 ．【答案】，解析：由题意可得：，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变可得函数的图象，函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，所以，令，，解得：，，故答案为：，14．已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则 ．【答案】解析：由题意知锐角的面积为，则，即得，表示直线上的一点到点D的向量，故表示直线上的一点到点D的距离，由于对任意恒成立，则的模即为D到直线的最短距离，则，同理可得，由于，则，即得，由，得，由锐角可知A为锐角，故为钝角，故，故，故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：在R上为增函数；【答案】(1)(2)证明见解析解析：（1）由，故此令，则，则.（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，则，所以，由得，所以，故，即，故此函数为R上增函数.16．已知函数（为常数，）．(1)当取何值时，函数为奇函数；(2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)解析：（1）若为奇函数，则，即，，，，解得：.（2）当时，，，，当时，，又在上单调递增，当时，，令，则方程在上有实根，在上有实根，又在上单调递增，，.17．如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，． (1)求和的值，并用表示；(2)若，，，求与夹角的余弦值．【答案】(1)，，(2)解析：（1）因为，，，则，，所以，，所以，，因为，所以，解得，所以，；（2）因为，，，所以，，，因为，，所以．，．因为，所以与夹角的余弦值为．18．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求角C的值；(2)求的最大值；(3)若AB边上的中线CD长为，求的面积．【答案】(1)；(2)；(3).解析：（1）因为，由正弦定理,可得，整理可得，由余弦定理得，所以,所以.因为在中，，所以.（2）因为，由正弦定理可得，可得，.因为,所以.,所以，其中.所以，当时，取得最大值，最大值为.（3）由题可知，，由(1)知，即，①因为为边上的中线，所以，两边平方得：，所以，②②①可得，可得，所以的面积．19．已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面.(1)求证：平面；(2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值；(3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．【答案】(1)证明见解析(2)(3)或解析：（1）在四棱锥中，连接，，由平面，平面，得，由正方形，得，而，，平面，所以平面.（2）由正方形，得，而平面，平面，则平面，又平面，平面平面，因此.直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角.由平面，平面，得，而,，，平面，则平面.又平面，因此，，则，，，所以直线与直线所成角的余弦值为.（3）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，将四棱锥补形为正四棱柱，平面即平面，在平面内过作于，连接，由平面，得，而，，平面，则平面，是直线与平面所成的角.取中点，连接，，由是的中点，则，平面，而平面，则.设，则EG＝，DG＝，则DE＝，而DF＝，由直线与平面所成角的正弦值为，，整理得，解得或，所以或.。
