2025届新高考基地学校第一次大联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】验证可知，进而可求交集.【详解】因为，，可知，所以.故选：C.2. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的除法运算可得，进而可得结果.【详解】因为，可得，则.故选：A.3. 已知向量和满足，则（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解即可.【详解】因为，则，即，又因为，则，可得，即.故选：D.4. 某人通过记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间（单位：如下表：锻炼时间小于0.5不小于2天数261084据表中数据，下列结论一定正确的是（ ）A. 30天锻炼时间的中位数不超过B. 30天锻炼时间的平均数不低于C. 30天锻炼时间的极差不超过D. 30天锻炼时间的众数不低于【答案】B【解析】【分析】由题意给的数据，结合中位数、平均数、极差和众数的概念依次判断即可.【详解】A：将锻炼时间从小到大排序，中位数为第15个和第16个数据的平均值，又第15个和第16个数据都落在内，所以中位数位于内，不一定不超过1.2，故A错误；B：总时间为个小时，所以平均数为小时，不低于1.1个小时，故B正确；C：最小值小于0.5，最大值不小于2，所以极差可能超过2.5，故C错误；D：众数位于内，低于1.5，故D错误.故选：B.5. 已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据表面积关系可得，进而结合体积公式运算求解即可.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意可得：，解得，则圆锥的高，所以.故选：C.6. 记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图，由得，结合可得，结合二倍角的余弦公式化简得出关于的方程，解之即可求解.【详解】由，得，当时，，即是图象的一条对称轴.如图，由，得，所以.由，知点到直线的距离为点到直线的距离的2倍，所以，得，得，又，所以，即，整理得，由，解得，所以，解得.故选：C7. 已知双曲线的左焦点为，点分别在的左､右两支上，（为坐标原点），且，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设双曲线右焦点为E，连结，由对称性知交点D在轴上，分别在中利用已知的边角表示出未知的边角，再利用双曲线的定义建立的等式即可求出离心率．【详解】如图，设双曲线右焦点为E，连结，设，由对称性知交点D在轴上，且，，，.在中，，，，，所以，故选：A．8. 已知三次函数的定义域和值域都为，则（ ）A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据，分和两种情况，利用导数判断函数单调性，进而根据最值求解即可.【详解】由题意可知，且，若，则，可知在内单调递减，可得，不合题意；故，则，因为，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则在内的最小值为，解得，此时在内的最大值为，且，可得，即，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：注意特值，即，进而分和两种情况讨论即可.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在正四棱柱中，为的中点，则（ ）A. ∥平面 B. ∥平面C. 平面 D. 平面【答案】BC【解析】【分析】建系标点，求各平面的法向量，利用空间向量判断线面关系，进而逐项分析判断.【详解】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则，A1,0,0，，，，，，，，对于选项A：设平面的法向量n1=x1,y1,z1，因为，，则，令，则，，可得，又因为，则，所以与平面不平行，故A错误；对于选项B：设平面的法向量，因为，，则，令，则，，可得，又因为，则，可知，且平面，所以∥平面，故B正确；对于选项CD：设平面的法向量，因为，，则，令，则，，可得，则，可知，所以平面，但平面与平面相交，所以不与平面垂直，故C正确，D错误；故选：BC.10. 已知函数及其导函数f′x的定义域均为R，记gx=f′x.若为偶函数，是奇函数，且且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据函数奇偶性，结合方程组法计算可得、，利用求导公式和基本不等式的应用计算，依次判断选项即可.【详解】由①，得，又为奇函数，为偶函数，所以，，故②，①②，得；①②，得，所以，故A错误；，当且仅当时等号成立，此时，即，故B正确；又，可得，解得，所以，，得，故C正确；，，所以，故D正确.故选：BCD11. 设曲线与轴交于两点，是上一点（不在坐标轴上），则（ ）A. 是轴对称图形 B. 的面积小于C. 围成的封闭图形面积小于 D. 为钝角【答案】ABD【解析】【分析】将换为，换为，可判断A；设，求出及的范围，求面积可判断B；设是曲线上任一点，由题设得到，即可判断C；由题设知利用二次函数求得的范围，再由极化恒等式确定的符号可判断D.【详解】对于A：将换为，换为，得，与原方程一样，所以曲线C关于坐标轴对称，是轴对称图形，故A正确；对于B：令，得，，在曲线上任取一点，且不在坐标轴上，则，∴，，故B正确；对于C：设是曲线上任一点，由，得，所以，所以，∴，即点在单位圆外或圆上，所以曲线C围成的图形面积不小于，故C错误；对于D：由选项B知， ，，因为，，∴，又不共线，故为钝角,故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知是等比数列，若，则__________.【答案】48【解析】【分析】根据等比中项可得，进而可得，结合等比数列性质运算求解即可.【详解】因为数列等比数列，则，可得，则等比数列的公比，所以.故答案为：48.13. 若和都为锐角，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意结合同角三角关系可得，再结合两角和差公式运算求解即可.【详解】因为和都为锐角，则，且，可得，所以.故答案为：.14. 设，函数（e是自然对数的底数，）.从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为__________.【答案】##0.15【解析】【分析】利用导数的应用研究函数的零点，进而，得，结合列举法和古典概率公式即可求解.【详解】由题意知，有序实数对有100个.由，得，令，所以，，故函数在上单调递减，在上单调递增，且时，；当时，，所以，要使有两个零点，则，即，得，即.满足该条件的有序实数对有：对于，可以取，共8个；对于，可以取，共5个；对于，可以取，共2个；对于到，没有满足题意的.所以所求事件的概率为.故答案：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的应用研究的零点，进而，得，结合列举法计算即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知的三个内角所对边为，若，.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角正弦公式可求得，由二倍角余弦公式可求得结果；（2）利用余弦定理可构造方程求得，进而得到，结合三角形面积公式可求得结果.【小问1详解】由正弦定理得：，即，，则.【小问2详解】，，由余弦定理得：，又，，解得：或（舍），，.16. 如图，四棱锥中，四边形为菱形，.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见详解 （2）【解析】【分析】（1）取的中点，可证平面，进而可得；（2）过作，过作，求相应长度，根据可得，进而可得结果【小问1详解】取的中点，连接，由题意可知：为等边三角形，且，则，且，平面，可得平面，又因为平面，所以.【小问2详解】过作，垂足为，可知，在中，由余弦定理可得，则，过作，垂足为，则，可得，因为，则，即，解得，则，可得，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.17. 已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且.（1）证明：是等差数列；（2）设是方程的根，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意结合等差数列定义可得，，即可得，再求，验证可得即可；（2）构建，利用导数结合零点存在性定理可得，分析可知数列为等比数列，结合等比数列求和公式分析证明.【小问1详解】因为是公差为6的等差数列，则，设，可得，，又因为是公差为9的等差数列，则，可得，即，且，解得，即，，可得，综上所述：，所以是等差数列.【小问2详解】构建，则是函数的零点因为，则在上单调递增，且，可知有且仅有一个零点，又因为，可知数列是以首项，公比为等比数列，则，又因为，可得，所以.18. 在坐标平面中，已知抛物线，经过点的直线与交于两点，直线平行于且与切于点.当直线与轴垂直时，.（1）求的方程；（2）若直线与交于点，求的横坐标；（3）求的面积的最小值.【答案】（1） （2）−2 （3）【解析】【分析】（1）由题意可得，结合平面垂直向量的坐标表示计算即可求解；（2）设，利用导数的几何意义求得，联立方程即可求解；（3）根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，联立方程与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式表示出，得（令），结合幂函数的性质即可求解.【小问1详解】因为轴，所以，代入方程，得，设，由，得，即，解得，所以的方程为.【小问2详解】设，不妨设，如图，由，得，则，所以，得，故，得，所以，消去得，即的横坐标为.【小问3详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，由（2）得，，则点到直线的距离为；由，得，，，所以，故，令，则，所以，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为4.19. 已知函数及其导函数定义域都为区间是曲线上任。
