广东省肇庆市封开县广信中学等五校2024-2025学年高二上学期段考数学(解析版)

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1、2024-2025学年高二第一学期第二次月考数学试题一、单选题(共40分,每小题5分)1. 过两点的直线的倾斜角是,则( )A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解.【详解】因为过两点的直线的倾斜角是,所以,解得.故选:B.2. 已知直线与.若,则( )A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据直线平行列方程,从而求得的值.【详解】由于,所以,此时两直线方程分别为,不重合,符合题意,所以.故选:B3. 一个平面截一球得到直径为6的圆面,球心到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【

2、分析】利用勾股定理结合给定条件得到球半径,再求解体积即可.【详解】如图,设截面圆的圆心为,由题意可知,圆面的直径为6,则,又,所以球的半径,所以球的体积,故选:C.4. 关于直线,及平面,下列命题中正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】【分析】通过线面关系的判定即可得出结论.【详解】A选项:,则,故A选项错误;B选项:若,存在,与不一定平行,故B选项错误;C选项:若,则;,则,故C选项正确;D选项:若,存在或,则不成立,故D选项错误.故选:C5. 已知一个圆锥的体积为,其侧面积是底面积的2倍,则其表面积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】

3、【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式,即可求出结果.【详解】设底面半径为,高为,母线为,如图所示: 则圆锥的体积,所以,即,又,即,所以,则,解得,所以圆锥的表面积为.故选:B6. 圆台的高为2,体积为,两底面圆的半径比为,则母线和轴的夹角的正切值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据圆台的体积公式求出圆台的上下底半径,再求母线和轴的夹角的正切值.【详解】设圆台上底半径为,则下底半径为,由题意:.所以圆台母线和轴的夹角的正切值为:.故选:B7. 如图,已知正四棱锥的所有棱长均相等,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.

4、 【答案】C【解析】【分析】根据线线平行可得异面直线与所成角为(或其补角),即可根据余弦定理求解.【详解】连接,取的中点,连接,由题意知,则异面直线与所成角为(或其补角),在中,则,则异面直线与所成角的余弦值为,故选:C8. 九章算术中关于“刍童”(上、下底面均为矩形的棱台)体积计算的注释:将上底面的长乘以二与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘以二与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘,把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一现有“刍童”,其上、下底面均为正方形,若,且每条侧棱与底面所成角的正切值均为,则该“刍童”的体积为( )A. 224B. 448C. D. 147【答案】

5、B【解析】【分析】根据题意结合图形得到是“刍童”其中一条侧棱与与底面所成角的平面角,从而求得该刍童的高,进而根据刍童的体积公式即可求得结果【详解】连接,交于点,连接,交于点,连接,过作,如图,.因为“刍童”上、下底面均为正方形,且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等,所以底面,又,所以底面,所以是“刍童”其中一条侧棱与底面所成角的平面角,则,因为,所以,易知四边形是等腰梯形,则,所以在中,则,即“刍童”的高为,则该刍童的体积.故选:B二、多选题(共18分,每小题6分)9. 下列说法正确的是( )A. 直线的倾斜角为B. 直线在轴上的截距为2C. 直线过定点D. 三条直线交于同一点【答案】BCD【

6、解析】【分析】根据直线的倾斜角,截距、定点、交点等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A选项,直线的斜率为,倾斜角为,A选项错误.B选项,由直线,令,解得,所以B选项正确.C选项,由得,由,解得,所以定点为,C选项正确.D选项,由解得,所以三条直线过同一点2,3,D选项正确.故选:BCD10. 下列说法正确的是( )A. 已知空间向量,且,则实数B. 直线与直线之间的距离是.C. 已知直线过点,且与轴正半轴交于点两点,则面积的最小值为4D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度,再沿轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线的斜率为【答案】ACD【解析】【分析】A选项,由空间向量共

7、线相关结论可判断选项正误;B选项,由两平行直线距离公式可判断选项正误;C选项,由题设出直线方程,表示出,即可利用基本不等式判断选项正误;D选项,由直线平移知识结合题意可判断选项正误.【详解】A选项,由于.所以,所以A选项正确;B选项,直线,因此两平行直线的距离,故B错误;C选项,由题,直线l 斜率存在且不为0,设l: ,令, .因直线与与轴正半轴交于点两点,则,.则,当且仅当,即时,等号成立,所以面积的最小值为4,故C正确:D选项,由题知:直线方程斜率存在,设直线方程为,直线l沿轴向左平移3个单位长度,再沿轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则,所以,解得,故D正确.故选:ACD11.

8、如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长均为3,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是( ) A. 平面B. 向量与的夹角是C. D. 直线与AC所成角的余弦值为【答案】ACD【解析】【分析】选择、作为一组基底,分别表示各选项中的向量,运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.【详解】对于A,由于四边形是菱形,所以,所以,即,由于,平面,所以平面,故A正确.对于B,所以,则,所以向量与的夹角是,所以选项B错误;对于C,由题意可知,则,所以,故C正确;对于D,设与所成角的平面角为,因为,所以,所以,所以D正确.故选:ACD.【点睛】关键点点睛:本题解决的关键在于,熟

9、练掌握空间向量法的线性运算与数量积运算,从而得解.三、填空题(共15分,每小题5分)12. 已知直线,若,则_.【答案】【解析】【分析】根据直线垂直,代入公式,即可求解.【详解】由题意可知,解得:.故答案为:13. 已知点到直线的距离为1,则_.【答案】#【解析】【分析】利用距离公式可求的值.【详解】由题设有,故,故.故答案为:14. 如图,在棱长为1的正方体中,为棱上的动点且不与重合,为线段的中点.给出下列四个命题:三棱锥的体积为;的面积为定值;四棱锥是正四棱锥.其中所有正确命题的序号是_.【答案】【解析】【分析】利用锥体的体积公式判断;利用线面垂直的判定定理判断;利用平行线的传递性及三角形

10、面积公式判断;利用正棱锥的定义判断.【详解】对于,三棱锥体积为,因此三棱锥体积的最大值为,错误;对于,连接,则,又平面,平面,则,而,平面,则平面,又平面,因此,正确; 对于,设,连接,则,即和到的距离相等且不变,因此的面积为定值,正确;对于,由,知平面,又为正方形,为其中心,因此四棱锥是正四棱锥,正确.故答案为:四、解答题15. 已知的三个顶点分别为(1)求边的中线和高所在直线的方程;(2)若直线l过顶点A,且原点到直线l的距离为2,求直线l的方程【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)中点坐标公式得到中点坐标,由两点求斜率用点斜式写出中线方程;由斜率得到高的斜率,点斜式写出直线方程;

11、(2)谈论斜率是否存在,当斜率不存在时,符合题意;当斜率不存在时,设出直线方程,由点到直线距离求出斜率,写出直线方程.【小问1详解】边的中点为,又直线的斜率为,边上的中线所在直线的方程为,即直线的斜率为,边上的高所在直线的斜率为,边上的高所在直线的方程为,即【小问2详解】当直线的斜率不存在时,直线的方程为,符合题意;当直线的斜率存在时,直线的方程可设为,即,由题意,原点到直线的距离为2,即,解得,所求直线的方程为综上,所求直线的方程为x=2或16. 如图,垂直于梯形所在平面,为的中点,四边形为矩形.(1)求证:平面;(2)求点到直线的距离;(3)求平面与平面夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析

12、 (2) (3)【解析】【分析】(1)设,由三角形中位线性质可得,由线面平行判定推理即可;(2)以为坐标原点,直线、分别为、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得点到直线的距离;(3)利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】证明:设,连接,由四边形为矩形,得为中点,又为中点,则,又平面,平面,所以平面.【小问2详解】解:由垂直于梯形所在平面,得直线、两两垂直,以为坐标原点,直线、分别为、轴建立空间直角坐标系,则、,所以,点到直线的距离为.小问3详解】解:由(2)可知,设平面的法向量,则,令,得,易知平面的一个法向量,则,所以平面与平面的夹角的余弦值为.17. 如图,在四棱

13、锥中,底面为正方形,分别为,的中点.(1)求点到平面的距离;(2)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,运用向量点到平面的距离公式计算即可;(2)先求出直线与平面所成的角,可通过向量法,求出平面的法向量,再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值,最后根据三角函数关系求出余弦值.【小问1详解】因为,底面为正方形,以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则,因为,分别为,中点,所以,则,设平面的法向量为,由,即,令,则,所以,则,根据点到平面距离公式.【小问2详解】首先设平面的法向量,由,即,令,则,所以,设直线与平面所成角为,则

14、,所以,因为,所以,则直线与平面所成角的余弦值.18. 已知圆心为C的圆经过,两点,且圆心C在直线上(1)求圆C的标准方程;(2)点P在圆C上运动,求的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用圆的对称性先确定圆心,再求半径即可;(2)设P坐标,利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【小问1详解】圆经过,两点,得圆心在的中垂线上,又圆心C在直线上,联立直线方程有,得,即圆心坐标为,又,故圆C的标准方程为【小问2详解】设,易知,则(*),因为点P在圆C上运动,则,故(*)式可化简为,由得的取值范围为19. 在中,分别是上的点,满足且经过的重心,将沿折起到的位置,使,是的

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