5.湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

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1、湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题学校:_姓名:_班级:_考号:_一、单选题1两条不同直线,的方向向量分别为,则这两条直线()A相交或异面B相交C异面D平行2已知椭圆:的离心率为,则()AB1C3D43一束光线从点射出,沿倾斜角为的直线射到轴上,经轴反射后,反射光线所在的直线方程为()ABCD4实数,满足,则的取值范围是()ABCD5已知的顶点,边上的高所在直线方程为,边上中线所在的直线方程为,则高的长度为()ABCD6在四面体中,已知为等边三角形,为等腰直角三角形,斜边,则二面角的大小为()ABCD7已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线:交椭圆于,两点,若

2、恰好为的重心,则椭圆的离心率为()ABCD8已知中心在原点,焦点在轴上,且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点,若点在椭圆内,的面积被轴分成两部分,且与的面积之比为,则面积的最大值为()ABCD二、多选题9已知椭圆:,分别是椭圆的左,右焦点,为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是()A椭圆离心率为B的最小值为1CD10下列说法正确的是()A已知点,若过的直线与线段相交,则直线的倾斜角范围为B“”是“直线与直线互相平行”的充要条件C曲线:与:恰有四条公切线,则实数的取值范围为D圆上有且仅有2个点到直线:的距离都等于11如图,在多面体中,平面,四边形是正方形,且,分别是线段,的中点,是线段上的一个动

3、点(不含端点,),则下列说法正确的是()A存在点,使得B不存在点,使得异面直线与所成的角为C三棱锥体积的取值范围为D当点运动到中点时,与平面所成角的余弦值为12椭圆有如下的光学性质,从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射,反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上,中心在坐标原点,左、右焦点分别为、.一束光线从射出,经椭圆镜面反射至,若两段光线总长度为6,且椭圆的离心率为,左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是()A椭圆的标准方程为B若点在椭圆上,则的最大值为C若点在椭圆上,的最大值为D过直线上一点分别作椭圆的切线,交椭圆于,两点,则直线恒过定点三、填空题13圆:与圆:的公共弦所在的直

4、线方程为 .14所有棱长都为1的平行六面体中,若为与的交点,则的值为 .15已知椭圆:的左,右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点,、分别交轴于、两点,的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点,则 .16已知直线与圆:交于,两点,且,则的最大值为 .四、解答题17在平面直角坐标系中,已知射线:,:.过点作直线分别交射线,于点A,.(1)已知点,求点A的坐标;(2)当线段的中点为时,求直线的方程.18如图,和是不在同一平面上的两个矩形,记,.请用基底,表示下列向量:(1);(2);19已知圆,圆:,圆:,这三个圆有一条公共弦.(1)当圆的面积最小时,求圆的标准方程;(2)在(1)

5、的条件下,直线同时满足以下三个条件:(i)与直线垂直;(ii)与圆相切;(iii)在轴上的截距大于0,若直线与圆交于,两点,求.20如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,为的中点,.为上的一点,已知.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面夹角的余弦值.21已知,是椭圆上的三点,其中、两点关于原点对称,直线和的斜率满足.(1)求椭圆的标准方程;(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点,过点作斜率不为0的直线,与椭圆的两个交点分别为、,若为定值,则称点为“稳定点”,问:是否存在这样的稳定点?若有,试求出所有的“稳定点”,并说明理由;若没有,也请说明理由.22已知椭圆:的焦距为,且点在椭圆

6、上.(1)求椭圆的方程;(2)若是椭圆上的三点,且直线与轴不垂直,点为坐标原点,则当的面积最大时,求的值.试卷第7页,共7页参考答案:1A2C3D4C5C6A7B8D9BD10AC11BC12ACD131415163017(1)(2)【分析】(1)根据已知先求出直线的方程,与的方程联立,即可得出答案;(2)设,根据中点坐标公式以及已知求出的值,即可得出的坐标,求出斜率,即可得出答案.【解析】(1)由已知可得,所以直线的方程为,即为.与联立解得,即.(2)由题意设,则线段的中点为.因为线段的中点为,所以,解得:.所以,则直线的斜率.所以直线的方程为,即.故直线的方程为.18(1)(2)【分析】利

7、用空间向量的运算求解即可.【解析】(1).(2).19(1)(2)【分析】(1)联立圆与圆的方程,求得公共弦的两个端点坐标分别为,当圆的面积最小时,是圆的直径,求解即可;(2)由题意设直线的方程为,结合条件直线与圆相切,在轴上的截距大于0,求得,然后利用弦长公式求解.【解析】(1)依题意,由,解得或,因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为,当圆的面积最小时,是圆的直径,则圆的圆心为,半径为,所以圆的标准方程是.(2)因为直线与直线垂直,则设直线的方程为,而直线与圆相切,则有,解得或,又因为在轴上的截距大于0,即,所以,即直线的方程为,而圆的圆心,半径,点到直线:的距离为,于是得.20(1)证明

8、见解析(2)【分析】(1)取中点,连接,利用已知条件先证明线面垂直,然后再证明面面垂直即可;(2)根据题意建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,找出面的法向量,利用向量法求解面面角的余弦值即可.【解析】(1)取中点,连接,为中点,四边形为菱形,为等边三角形,又,分别为,中点,即, 平面,平面,平面,平面,平面平面.(2)连接,由(1)知:为等边三角形,;以为坐标原点,、所在直线分别为,轴,建立如图所示空间直角坐标系,则, ,由得:,设平面的法向量,则, 令,解得:,轴平面,平面的一个法向量,设平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.21(1)(2)存在,理由见解析【分析】(1)设

9、,由化简可得椭圆的标准方程;(2)设直线的方程为,与椭圆方程联立,由韦达定理可得,又,从而可求的表达式, 即可求解.【解析】(1)设,易知,由,得,化简得,故椭圆的标准方程为.(2)点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点,故可设直线的方程为,由,得,恒成立.又,要使其值为定值,则,故当,即时,.综上,存在这样的稳定点.22(1)(2)1【分析】(1)利用椭圆的性质,及待定系数法计算即可;(2)设的坐标及直线,利用弦长公式及点到直线的距离计算三角形面积,根据基本不等式求出面积最值时的结论,再由平面向量的坐标表示及点在椭圆上化简消元计算即可.【解析】(1)由题意得,解之得,故椭圆的方程为;(2)设,直线的方程为.将代入,整理得,即,则,故.又原点到直线的距离为,所以,当且仅当,即(*)时,等号成立.由,得,代入,整理得,即(*).而,由(*)可知,代入(*)式得.故的值为1.【点睛】本题关键第一是由弦长公式及点到直线的距离得出面积表达式,根据基本不等式得出面积取最值时直线方程的参数关系;第二是利用平面向量的坐标表示利用坐标表示坐标,代入椭圆方程,结合韦达定理化简计算即可.答案第7页,共8页

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