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1、山西省太原市2023-2024学年高二上学期期中学业诊断数学试卷学校:_姓名:_班级:_考号:_一、单选题1直线的倾斜角为()A30B60C120D1502椭圆的焦点坐标为()ABCD3圆的圆心坐标为()ABCD4已知,且,则实数()AB5CD15直线与直线之间的距离是()AB1CD26已知直线,圆,则直线l与圆C的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定7如图,正方体的棱长为2,是的中点,则点到直线的距离为()ABCD8已知椭圆的左、右焦点分别为,点M在C上,点N的坐标为,则的取值范围为()ABCD二、多选题9已知圆与圆关于直线l对称,则下列说法正确的是()AB圆与圆相交C直线的方程为D直线
2、l的方程为10已知点分别是椭圆的两个焦点,点在上,则下列说法正确的是()A的最小值为B椭圆的离心率C面积的最大值为D的最大值为11已知直线,则下列说法正确的是()A直线与相交于点B直线和轴围成的三角形的面积为C直线关于原点O对称的直线方程为D直线关于直线对称的直线方程为12已知点在圆上,点在上,则下列说法正确的是()A的最小值为B的最大值为C过作圆的切线,切点分别为,则的最小值为D过P作直线,使得直线与直线的夹角为,设直线与直线的交点为,则的最大值为三、填空题13直线在轴上的截距为 14已知,则向量与的夹角为 15已知点是直线上的动点,点在线段上(是坐标原点),且满足,则动点的轨迹方程为 16
3、已知椭圆的左,右顶点分别为,动点P在C上(异于点),点Q是弦的中点,则的最大值为 四、解答题17已知的三个顶点,分别是的中点(1)求直线的一般式方程;(2)求边的垂直平分线的斜截式方程18如图,四面体OABC各棱的棱长都是1,是的中点,是的中点,记(1)用向量表示向量;(2)利用向量法证明:19已知圆的圆心在x轴上,且经过和两点(1)求圆的一般方程;(2)求圆与圆的公共弦的长20已知椭圆的离心率是,且经过点(1)求椭圆的方程;(2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点,直线分别与轴相交于点,证明:线段的中点为定点21如图,在几何体中,ABC是边长为2的正三角形,D,E分别是,的中点,平面A
4、BC,(1)若,求证:平面;(2)若平面与平面ABC夹角的余弦值为,求直线DE与平面所成角的正弦值试卷第5页,共5页参考答案:1C2A3D4A5C6A7D8B9BD10AD11AC12ACD131415()16/17(1)(2)【分析】(1)求得的坐标,进而求得直线的方程并转化为一般式方程.(2)求得垂直平分线的斜率,进而求得其斜截式方程.【解析】(1)由于分别是的中点,所以,所以,直线的方程为,即.(2),所以边的垂直平分线的斜率为,所以边的垂直平分线的斜截式方程为.18(1)(2)证明详见解析【分析】(1)根据空间向量的线性运算求得正确答案.(2)通过证明来证得结论成立.【解析】(1)连接
5、,则(2),所以,所以.19(1)(2)【分析】(1)通过求圆心和半径来求得圆的标准方程,再转化为一般方程.(2)先求得公共弦所在直线方程,再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长.【解析】(1)设,由得,解得,则,所以圆的标准方程为,半径为,所以圆的一般方程为.(2)圆即,圆心为,半径为,两点的距离为,而,所以两圆相交,由、,两式相减并化简得,到直线的距离为,所以公共弦长为.20(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件求得,从而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程并与椭圆方程联立,化简写出根与系数关系,根据直线求得两点的横坐标,进而计算出线段的中点为定点【解析】(1)依题意,
6、解得,所以椭圆的方程为.(2)依题意,过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点,画出图象如下图所示,由图可知直线的斜率存在,且,设直线的方程为,由消去并化简得,设,则,而,所以直线的方程为,令,解得,同理可求得,则,所以线段的中点为定点.21(1)证明见解析(2)【分析】(1)取AC的中点O,连接OD,易证OD平面ABC,然后以O为原点,OA,OB,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,论证,即可;(2)设,则,易知是平面ABC的一个法向量,再求得平面的一个法向量,由求得a,再利用线面角公式求解.【解析】(1)证明:取AC的中点O,连接OD,D是的中点,平面ABC,平面ABC,以O为原点,OA,OB,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,平面,故平面;(2)设,则,显然是平面ABC的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,取,则,或,当时,直线DE与平面所成角的正弦值为;当时,直线DE与平面所成角的正弦值为答案第5页,共6页