2024—2025学年上海市曹杨第二中学高三上学期期中考试数学试卷

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1、20242025学年上海市曹杨第二中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题() 1. 已知集合 , , 则 _ . () 2. 函数 在区间 上的平均变化率为 _ . () 3. 不等式 的解集为 _ . () 4. 若圆柱的底面半径为1, 且表面积是侧面积的2倍, 则该圆柱的体积为 _ . () 5. 若 , 则 _ . () 6. 在 的二项展开式中, 系数最小的项为 _ . () 7. 经过坐标原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为 _ . () 8. 设 .若 是函数 的极大值点, 则 _ . () 9. 在 中, 是 边的中点.若 , , , 则 _ . () 10. 设 , 令

2、 , 若存在实数 , 则 的取值范围是 _ . () 11. 设 为正整数.若存在复数 , 满足 且 , 则 的最小值为 _ . () 12. 设 是定义在 上的偶函数, 且对任意整数 、 , 都有 , 其中 表示实数 、 中的较大者.若 , , 则 的所有可能取值组成的集合为 _ . 二、单选题() 13. 已知 , 则( ) A B C D () 14. 已知 是直二面角, 直线 在平面 上, 直线 在平面 上.若 、 均与 既不平行, 也不垂直, 则 与 的位置关系是( ) A 可能垂直, 也可能平行B 可能垂直, 但不可能平行C 不可能垂直, 但可能平行D 既不可能垂直, 也不可能平行

3、 () 15. 已知 是无穷等比数列, 则“对任意正整数 , 都有 ”是“数列 是严格减数列”的( ) A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 () 16. 设 , .若对任意实数 , 都有 , 则满足条件的有序数对 的个数是( ) A 无数个B 3个C 2个D 1个 三、解答题() 17. 设向量 , , . (1)求函数 的最小正周期及单调增区间; (2)在 中, 角 、 、 的对边分别为 、 、 .若 , , 且 , 求 的面积. () 18. 如图, 在四棱锥 中, 底面 是边长为2的菱形, 且 , , 且 . (1)求证: 平面 平面 ; (2)设

4、为 的中点, 求平面 与平面 所成锐二面角的大小. () 19. 2024届起, 上海实行高考改革新方案.新方案规定: 语文、数学、英语是考生的必考科目, 考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向, 按性别分层抽样, 随机选取36名学生进行了一次调查, 统计选考科目人数如下表: 性别人数物理化学生物政治历史地理男生2020208237女生1666164106(1)估计该学校高一年级全体男生中, 选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数; (2)从选取的20名男生中随机选出2名, 求恰好有1人选“物理、化学、生物”组

5、合的概率;(结果用最简分数表示) (3)已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名, 求2人选科方案不同的概率.(结果用最简分数表示) () 20. 已知椭圆 的离心率 , 上顶点为 . (1)求 的方程; (2)设 是直线 上一点, 点 满足 .若 经过点 , 求点 的坐标; (3)过 的右焦点 作不垂直于 轴的直线 , 交 于 、 两点, 线段 的垂直平分线交 轴于点 , 求 的值. () 21. 设函数 的定义域为开区间 .若存在 , 使得曲线 在 处的切线 与曲线 只有唯一的公共点, 则称切线 是函数 的一条“ 切线”. (1)求证: 直线 是函数 的一条“ 切线”; (2)设 , 求证: 函数 存在无数条“ 切线”; (3)设 , .若曲线 在 处的切线 是函数 一条“ 切线”, 求 的取值范围.

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