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1、专题09 利用导数研究不等式能成立问题一、单选题1已知存在使得不等式在上成立,则实数的取值范围为( )ABCD【解析】当,等价于,所以设,则,时,递增,所以,即,所以,所以,所以.故选:A2已知函数,若存在,使得,则实数a的取值范围为:( )ABCD【解析】由题意可得在上能成立,所以在上能成立,令,则,令,则,所以在上单调递减,且,即,因此在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,故选:B.3已知函数在R上单调递增,当m取得最大值时,若存在使得成立,则实数k的取值范围是( )ABCD【解析】因为函数在R上单调递增,所以,即的最大值为,在上,若存在使得成立,则当时,令,所以当时,当时,所以在上单调
2、递减,在上单调递增,故,当时,则,易知当时,则在上单调递减,综上所述,故选:A4若关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是( )ABCD【解析】由,得,又关于的不等式在上有解,所以在上有解,即,令,则,设,则,即在上单调递增,则,于是有,从而得在上单调递增,因此,则,所以的取值范围是.故选:D5已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围为( )ABCD【解析】由题意,、关于轴对称,与在上有交点,则在有解,令,则,在上递增,而,在上,递减;在上,递增;,故只需即可,得.故选:B6函数,其中,若有且只有一个整数,使得,则的取值范围是( )ABCD【解析】已知函数, 则有且只有一个整
3、数解.令,则,当时,当时,所以在上递减,在上递增,所以当时,取得最小值.设,则恒过点.在同一坐标系中分别作出和的简图,因为,所以,所以,依题意得即,解得,又,所以.故选:C.7已知,若,使得成立,则实数a的取值范围是( )ABCD【解析】由,得,记,当时,单调递减;当时,单调递增(1),记,时,单调递减;时,单调递增(1),故实数的取值范围为,故选:A8已知函数,若存在,使成立,则实数的取值范围为( )ABCD【解析】因函数,则,令,则,令,即函数在单调递增,而,即存在,使得,当时,当时,即有在上递增,在上递减,于是得时,取得最大值,即,由得,显然时,有,必有,反之,若,则有,假定不成立,当有
4、时,由知,即与矛盾,当有时,即与矛盾,综合得假定不成立是错的,从而有成立,也必有成立,于是得,即,因存在,使成立,则有,所以实数的取值范围为.故选:A二、多选题9设函数,若存在唯一的整数,使得,则满足题意的的取值范围可以是( )ABCD【解析】由题意存在唯一的整数,使得即,令,则,易知在单调递增,在单调递减,作出与的图象,由题可知这个可能为0或2,当为0时,如图一所示,则只需且同时成立,解得;当为2时,如图二所示,且同时成立,解得,故选:BD.10已知函数,若,不等式成立,则的可能值为( )A4B3C2D1【解析】,若,则,则在单调递增, ;若,则在单减,在单增,.,则在单调递增,在单调递减,
5、.,不等式成立,若,成立;若,即,令,h(x)在(1,+)单增.而,.故选:BCD.11已知函数,若对任意,总存在,使,则实数 的值可以是( )ABC1D2【解析】,对任意,则在上单调递增,所以在上的值域是,由题意可得是的值域 的子集,当时的值域是,符合题意;当时,函数值域为 ,符合题意;当时,函数,要符合题意,则或 ,解得或 ,综上可得实数的取值范围是或.故选:ACD12已知函数,则以下结论正确的是( )A函数的单调减区间是B函数有且只有1个零点C存在正实数,使得成立D对任意两个正实数,且,若则【解析】A选项,因为,所以,由得,;由得,因此函数在上单调递减,在上单调递增;故A正确;B选项,令
6、,则显然恒成立;所以函数在上单调递减;又,所以函数有且仅有一个零点;故B正确;C选项,若,可得,令,则,令,则,由得;由得;所以函数在上单调递增,在上单调递减;因此;所以恒成立,即函数在上单调递减,所以函数无最小值;因此,不存在正实数,使得成立;故C错;D选项,令,则,则;令,则,所以在上单调递减,则,即,令,由,得,则,当时,显然成立,所以对任意两个正实数,且,若则.故D正确.故选:ABD三、填空题13已知函数在上存在极值点,则实数a的取值范围是_.【解析】由题可知:,因为函数在上存在极值点,所以有解所以,则或当或时,函数与轴只有一个交点,即所以函数在单调递增,没有极值点,故舍去所以或,即或
7、14函数,若,使得,则实数m的取值范围是_.【解析】由,所以,令,得或,又,当时,当时,所以函数在单调递减,在单调递增,所以,又在单调递增,所以,根据题意:若,使得,即,所以,可得得取值范围为15已知函数,若存在成立,则实数a的取值范围是_【解析】由题意,函数,可得,设,可得,函数在上为单调递增函数,又由,所以函数在上只有一个零点,设为,即,即,当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,所以当时,函数取得最小值,其中最小值为,要使得存在成立,所以,即实数a的取值范围是.16若存在两个正实数x,y,使等式成立,则实数m的取值范围_【解析】因为,所以,因此,令且,而函数,令,则恒成立,所以单调递减,
8、又因为,所以时,即,所以在上单调递增,所以时,即,所以在上单调递减,又因为,所以,故 ,即,故答案为:.四、解答题17已知函数在点处的切线为(1)求函数的解析式:(2)若存在实数m,使得在x时成立,求m的取值范围【解析】(1)由题意知:的定义域为,解得,故(2)令,故在时,单调递增,要存在实数m,使得在时成立,只要即可,解得:18已知函数在处取得极值,其中为常数.(1)试确定的值;(2)讨论函数的单调区间;(3)若对任意,不等式有解,求的取值范围.【解析】(1)由题意知,因此,从而由题意求导得,因此,解得;(2)由(1)知令,解得10极大值因此的单调递增区间为,而的单调递减区间为;(3)由(2
9、)知,在处取得极大值,此极大值也是最最值要使()有解,只需即,从而解得所以的取值范围为.19已知函数.(1)若,求曲线在处切线的方程;(2)求的单调区间;(3)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.【解析】(1)由已知, 曲线在处切线方程为,即.(2).当时,由于,故,所以,的单调递增区间为,无单调递减区间.当时,由,得.在区间上,在区间上,所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.(3)由已知,转化为,由(2)知,当时,在上单调递增,值域为,故不符合题意.(或者举出反例:存在,故不符合题意.)当时,在上单调递增,在上单调递减,故的极大值即为最大值,所以,解得.20已知函数在点处的切线方
10、程为.(1)求实数的值;(2)若存在,满足,求实数的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为,.,又,所求切线方程为,即.又函数在点处的切线方程为,.所以实数的值为.(2)由题意得,所以问题转化为在上有解.令,则 .令,则当时,有.所以函数在区间上单调递减,所以.所以,所以在区间上单调递减.所以.所以实数的取值范围为.21已知函数.(1)当时,求函数在区间上的值域;(2)当时,若关于的不等式恒成立,求正数的取值范围.【解析】(1)当时,有,令,有,令,可得,故函数的增区间为,减区间为,有,可得函数单调递增,又由,故函数在区间上的值域为,(2)当时,恒成立,令,有,当时,可得此时函数单调递增,又由,故有;当时,令,可得函数单调递增,又由,可得存在,使得,可得函数的减区间为,又由,有,不合题意,由上知正数的取值范围为.22已知函数.(1)若,当时,讨论的单调性;(2)若,且当时,不等式在区间上有解,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为,所以函数的定义域为.由,得,则,当时,函数在上单调递减;当时,或,所以在,上单调递减,在上单调递增;当时,或,所以在,上单调递减,在上单调递增.(2)当时,则.当,即时,所以在上单调递增,所以.当,即时,设的两根分别为,则,所以在区间上,所以在上单调递增,所以.综上,当时,在区间上的最大值为,所以实数a的取值范围是.