高一数学 考点题型技巧精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）6.4 3 3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例【考 点 梳 理】考点 一.几个专业术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角1/目标篦演角水平、目标视线方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方 位 角.方位角的范围是036 0东方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）a例：北偏东北1匕（2）南偏西a：坡角与坡比坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（6为坡角）；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比（坡度），即 i=，=ta n 31考点二距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离A余弦定理两点间可视不可到达的距离A-正弦定理两个不可到达的点之间的距离产jVrD-*c先用正弦定理，再用余弦定理考点三高度问题类型简图计算方法底部可达AB测得 8 c=a,Z B C A =C,A B=a tan C.C 底部不可达点 8 与 C,共线/7 7 7 7 7 5)C D4B测得C=a及 C 与Z A D B的度数.先由正弦定理求出AC或 A O,再解三角形得A B的值.点 B 与 C,D不共线A-zL测得 C=a 及/8C）,ZBDC,NAC2 的度数.在 B。
中由正弦定理求得B C,再解三角形得-/3 C.46 D.6百6.（2021.重庆南开中学高一阶段练习）AABC中，角A,B,C 所对的边分别为b,c,若满足=夜,acosC=csinA的三角形4 5 c 有两个，则边3 c 的长度的取值范围是（C.(73,2)题型三：几何图形中的计算7.（2021重庆市育才中学高一期中）如图所示，在平面四边形ABC中，ABC是等边三角形，4）=2,BD=2币,ABAD=,则 A5C的面积为（）A.B.班C.1473D.6 G8.（2021 安徽合肥 高一期末）如图，设AA3 c 的内角A,B,C所对的边分别为4,0,c,/3（acosC+ccosA）=2/?sinB,且/C 4 B =.若点是外一点，DC=1,D4=2,则下列说法中错误的是（）JTA.AABC的内角8=7TB.ABC的内角C 二 C.四边形ABC面积无最大值D.四边形A8CZ）面积的最大值为述+29.（2021 辽宁高一期末）在 AA8C 中，已知 3=45是 BC 边上一点，如图，ABAD=75,DC=l,AC=y/l,则A B=（）A.75B.瓜C.2D.3题型四：求三角形面积最值或者范围问题1 0.（20 21 四川新都高一期末）设锐角AABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,且c（l+c o sA）=g a si nC,b =2,则AABC的面积的取值范围是（）A.（1，+8）B.,+8C.孚2 6 D.（1,21 1.（20 21 江苏 南京市建邺高级中学高一期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式:设4 A 8 C 内角A,B,C所对的边分别为。
b,c,面积$=J?2a?-（此（生尸.若匕=2,a si n5=2 si nC,则4 A 3 C 面积的最大值为（）A I R 2 c 4 D 3 3 3 31 2.（20 21 江苏省丹阳高级中学高一阶段练习）已知“，b,c 分别为AABC的三个内角A,B,C的对边，a =2,且（2+“（si nA-si nB）=（c Z?）s i n C,则AABC面积的最大值为（）A.8 百 B.4 6 C.2百 D.6题型五：正、余弦定理和三角函数综合问题1 3.（20 21.河北石家庄市第一中学东校区高一阶段练习）在锐角三角形A 8 C 中，角 A,B,C的对边分别为b,c ,a2+c2=3a c +b2,则 c o sA+si nC 的取值范围为（）1 4.（20 21 江苏省苏州实验中学高一阶段练习）在中，角A,B,C所对的边分别是a”,c,若 c c o sA+a c o sC=2,AC边上的高为抬，则/AB C的最大值为（）A.J B.工 C.D.生6 3 2 315.（2021广东深圳中学高一期中）设锐角“ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若 胃=生 女，c =1（cosC c则/+的取值范围为（）A.1,3 B.（1,3 C.f1,3 D.弓,3题型六：测量距离问题16.（2021全国高一课时练习）如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物4 B 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的C,。
两个观测点，并在C,两点处分别测得塔顶的仰角分别为45且 N80C=6O则此建筑物的高度为（）A.1（）百 米 B.米C.10 米 D.5 米17.（2021.河北邢台.高一阶段练习）一艘船航行到点5 处时，测得灯塔A 在其西北方向，如图，随后该船以20海里/小时的速度，按北偏东150的方向航行两小时后到达点C,测得灯塔A在其正西方向，此时船与灯塔A 间的距离为（）A.20后海里 B.46海里C.2 0 海里D.40街 海里题型七：测量高度问题18.（2021湖北大冶市第一中学高一阶段练习）在高40 m 的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60塔基的俯角为45则这座塔的高度为（）A.40（1 +手）m B.40（1+6）m C.20（76+72）m D.40（#+0）m19.（2021 全国高一课时练习）如图,地平面上有一根旗杆O尸，为了测得它的高度力,在地面上取一基线AB,A8=20m,在 4 处测得点P的仰角NOAP=30在B处测得点P的仰角/O 8P=45又测得NAOB=60则旗杆的高度为（）A.20（6-血）mD.10（0 十 夜）m题型八：测量角度问题20.（2021江苏 南京市宁海中学高一阶段练习）如图所示，在坡度一定的山坡4 处测得山顶上一建筑物C。
的顶端C 对于山坡的斜度为15向山顶前进100m到达8 处，又测得C 对于山坡的斜度为45若 C）=5 0 m,山坡对于地平面的坡度为则cos8 等 于（）D.V2-121.（2021浙江 丽水外国语实验学校高一阶段练习）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A处的俯角为30该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45已知此山的高P0=lk m,小车的速度是20km/h,则c o s/A O 8=()B-4c.4D.一 巫4题型九：正、余弦定理在几何中的综合性问题22.(2021.广东.中山市第二中学高一阶段练习)在AABC中，设角A 8,C 的对边分别为a,0,c,已知cos2 A=sin2 B+cos2 C+sin Asin B.(1)求角C 的大小;(2)若c=6,求AABC周长的取值范围.23.(2021.重庆市江津中学校高一阶段练习)如图，在四边形A8CD中，C D =3+,BC=,cosZCBD=-.TT(2)右乙4=,求 周 长 的 最 大 值.24.(2021广东东莞市新世纪英才学校高一阶段练习)在中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,sin2 A+sin2 C=sin2 8+sin AsinC.(1)求角5 的大小；(2)若AM C为锐角三角形，6=百，求 2a c 的取值范围.【双 基 达 标】一、单选题25.（2021.全国高一课时练习）如图所示，有四座城市A,B,C,D,其中8 在 A 的正东方向，且与A 相 距 120km,。
在 A 的北偏东30方向，且与4 相距60km,C 在 B 的北偏东30方向，且与B 相距GOjiWkm,一架飞机从城市O出发，以 360km/h的速度向城市C 飞行，飞行了 15m in,接到命令改变航向，飞向城市B,此时飞机距离城市B 有A.120km B.665/6 km C.60石 km D.60 km26.（2021 湖南嘉禾县第一中学高一阶段练习）如图所示，为了测量湖中A、8 两处亭子间的距离，湖岸边现有相距 100米的甲、乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现A 亭子位于西偏北75B 亭子位于东北方向，乙测量员在C 处测量发现B 亭子位于正北方向，A 亭子位于西偏北3（T 方向，则 A,B 两亭子间的距离为（）A.50G 米 B.100G 米 C.5 0#米 D.100几 米27.（2021全国 高一课前预习）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达8 处，此时测得俯角为45已知此山的高产1 k m,小车的速度是2 0 k m/h,则cosZ A Q 8=（）AB28.（2021 全国高一课前预习）今年第6 号台风“烟花”于 2021年 7 月 2 5 日 12时 30分前后登陆舟山普陀区.如图，A 点，正北方向的C 市受到台风侵袭，一艘船从A 点出发前去实施救援，以24 nmile/h的速度向正北航行，在A 处看到S 岛在船的北偏东15。
方向，船航行1 h 后到达8 处，在 5 处看到S岛在船的北偏东45方向.此船从A 点到C 市航行过程中距离S 岛的最近距离为（）A.972 n mile/hC.n mile/hB.-ljn mile/hD.9f/3-/2j n mile/h29.（2021.全国.高一课时练习）为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若M4_L平面ABC,N 8,平面ABC,AC=60m,=*NMCN=150l 则塔尖MN之间的距 离 为（）A.75/i0m B.756m C.75g mD.75m30.（2021.全国高一课时练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A,B 两点，从A,B 两点分别测得树尖的仰角为304 5 ,且 4,8 两点之间的距离为6 0 m,则树的高度为（）A.(15+36)m B.(30+15/3)m C.(30+30右)m D.(15+3()G)m31.（2021全国高一课时练习）在某个位置测得某山峰仰角为对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为26,继续在地面上前进200G m 以后测得山峰的仰角为4则该山峰的高度为（）A.200m B.300m C.400m D.100/3m32.（2021 安徽安庆九一六学校高一阶段练习）空中有一气球，在它的正西方A 点测得它的仰角为45。
同时在它南偏东60的 8 点，测得它的仰角为30若 A、B 两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离8 是（）C.266 米D.266近米33.（2021重庆第二外国语学校高一阶段练习）在，U3C中，角 A,8,C 所对的边分别为4 瓦c,满足则AABC的形状为（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形34.（2021江苏泰州中学高一期中）泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所.小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物A 3,高为（15G-15）m,在它们之间的地面上的点（B,M,D 三点共线）处测得楼顶A,教堂顶C 的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得塔顶C 的仰角为30,则小明估算泰州基督教堂的高度为（）D.30百 m【高 分 突 破】一：单选题35.（2021云南 昆明八中高一阶段练习）若（a+c）S +c-a）=3 6 c,且sin A=2 sin 8 co sC,那么4 M是（A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形)36.（2011 河南卫辉高一期末）若 ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C=3：5：7,则 ABC（）A。