中 考 分类讨论思想大单元复习第一部分选材分析一、学科本质分类讨论思想，又称为分治策略，是一种基本的思维方法.其核心思想是将复杂的问题分解为若干个相对简单、相互独立的子问题，分别进行讨论和解决，最后再将这些子问题的解决方案合并，形成对原问题的完整解答.这种方法的重要性在于，它能够将复杂问题简化，使得问题易于理解和处理.分类讨论思想在人的成长过程中无处不在.从第一次学会识别男女厕所开始,到人工智能时代数以亿万件的快递包裹被高效分类，准确送达客户，都无不体现了分类讨论思想.那么怎样落实教育“立德树人”这一根本任务，培养人的思维能力，完成思维进阶？数学课程的学习就起着至关重要的作用.义务教育数学课程标准（2022年版）简 称 新课标明确指出：数学是源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系.数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用.义务教育数学课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经 验（简 称“四基”）.分类讨论思想就是最重要的数学思想之一.于是，我们在小学数学学习中遇到了这样的问题：【问题1】请问图1 中三角形的个数是多少？图 1怎样不重不漏准确的数出三角形的个数，准确的进行分类是关键.事实上，分类讨论思想也我们初中数学学习遇到的第一个思想方法，比如七上第一章 丰富的图形的图形分类问题；七上第二章 有理数中有理数分类,绝对值，甚至有理数加法，乘法法则等等，都是分类讨论思想的体现.而教材最后一次出现分类讨论思想是九下第三章 圆回顾与思考：数学理解19题.表 1为北师大版初中数学教材含“分类讨论思想”内容的部分截图.表1面的示意图.例如，可以按照截面图形的边数进行分类:表2和图2为北师大版初中数学教材各分册出现分类讨论思想的次数.教材分类讨论问题次数（次）分类讨论问题次数七年级上册13七年级下册15八年级上册1616 16llhh七年级上册 七年级下册 八年级上册 八年级下册 九年级上册 九年级下册八年级下册11九年级上册16九年级下册9表2图2而到了高中，分类讨论思想在问题2中得以充分体现.【问题2】用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截图 3（1）如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？（2）如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？（3）能否截出五边形？为什么？（4）是否存在正六边形的截面？为什么？（5）有没有可能截出边数超过6 的多边形？为什么？由此可见，分类讨论思想一直贯穿了小学到高中的数学学习的过程.初中阶段，在学习三角形，四边形，相似图形，平移和旋转等图形的性质和变化时，出现的频率达到最高.究其原因，是因为分类讨论思想最能让学生体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，进而形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神.我们以分类讨论为主题进行大单元中考复习，目的就是将复杂的数学问题按特定的标准进行分解，形成若干子问题群，再通过数学方法逐一解决，最终归纳获得复杂数学问题的解决办法.同时以数学思想为主线组织专题大单元复习，往往能跨出知识层面的限制，教材单元的束缚，凸显思维和思想方法层面，进而有利于揭示其中蕴含的学科本质.二、中考分析 新课标第六部分“课程实施”中关于学业水平考试的命题原则指出：坚持素养立意，凸显育人导向.以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质,关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养.适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例.题目设置要注重创设真实情境，提出有意义的问题，实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查.我们知道，成都市中考的全称为 成都市高中阶段教育学校统一招生考试,又称为 成都市初中毕业生学业考试.试卷采用“二卷合一”的形式，兼顾初中会考毕业和普通高中招生选拔两项功能.那么数学试题怎样体现适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例这一特点呢？我们不妨从分类讨论思想这一数学思想角度来看一看.表 4 和图4 为近5 年成都中考数学需运用分类讨论思想解题的题号，内容及分值.年份题号分类内容分值合计分值2 0 2 3A 1 8(2)图形面积41 6B2 3创新问题分类讨论4B2 5 （2）等腰二角形4B2 6（2）相似二角形42 0 2 2A 1 8(2)相似二角形41 7B2 2分段函数新定义4B2 5 （2）图形面积4B2 6(3)等股三角形52 0 2 1B2 8 （2）相似三角形442 0 2 0A 1 9(2)图形面积61 1B2 8 （3）相似二角形52 0 1 9B2 5创新问题分类讨论49B2 8 （3）函数图象变化5表4图4可以发现，成都中考数学试题中，压轴题是蕴含分类讨论思想最集中的地方,特别是在2022年 新课标颁布实施以后，相比以前分值又有了较大提升.这充分体现了分类讨论思想在数学思维培养，学科核心素养达成，及严谨、理性、创新等数学精神的形成方面起到重要的作用.更是试题区分度，选拔性的重要体现.2022年成都市初中学业水平考试数学分析报告显示：中考试卷具有“渗透思想方法，发展核心素养”的特点，数学思想方法的渗透和数学思维水平的提升直指学生的数学学科素养的养成和发展.其 中218(2),822(2),825(2),826(3)题都是数学思想方法渗透的集中体现，而它们都不约而同的出现了分类讨论思想.我们来看一看这几道题的解答得分情况：表5为2022年成都市数学中考中涉及分类讨论思想考题的得分情况和难度系数.表5题号分值平均分难度A 1 8 题1 03.5 80.3 6B2 2 题40.40.1B2 5 题1 02.5 60.2 6B2 6 题1 23.5 20.3从得分情况看，由于是对学生数学综合能力的考查，难度普遍较大，得分普遍不高.对于其中涉及分类讨论思想的小问，学生缺乏分类讨论意识，漏解是最主要的失分点.综合来看，中考中涉及分类讨论思想的问题难度较大.对学生分析问题，解决问题能力的要求很高.是对“推理能力”，“空间观念”，“创新意识”等核心素养的综合考察.三、学情分析 新课标指出：在小学阶段，主要侧重学生对图形认识、图形性质，以及图形变化与度量的感知.到了初中阶段，主要侧重学生对图形概念的理解，以及对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理解，要培养学生初步的抽象能力、更加理性的几何直观和空间想象力；学生还将第一次经历几何证明的过程，需要理解几何基本事实的意义，感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，形成初步的推理能力和重事实、讲道理的科学精神.以分类讨论思想为主题，我们对上课班级进行了前测（题目见作业设计部分）.表 6 为学生解答情况统计.问题类型正确率掌 握 情 况（全班41人）图形面积问题50%18人求出2个点，12人求出其巾右侧1点，1人求出左侧1点。
相似三角形问题40%16人 理 解 两 种 型 相 似，11人理解“正A”型相似，无学生单独理解“反A”型相似等腰三角形问题30%8人求出完整的4个点，其巾5人采用几何求解法，3人采用代数设点列方程另外10人求出问题中部分点直角三角形问题30%7人求出完整的3个点，其巾5人利用设点勾股定理列方程，2人利用斜率关系求解o 另外12人求出问题申部分点特殊四边形问题20%5人求出完整的3个点，其申4人利用图形性质求解，1人利用申点坐标公式求解另外10人求出问题申的部分点代数开放性问题4%只有2人正确解答表 6从上表我们可以看出：（一）学生已有知识能力储备1.通过初中三年的学习，已形成一定的分类讨论思想.对常见的需分类讨论的知识点有了一定的认识.如绝对值，等腰三角形，直角三角形，特殊四边形存在性问题，以及没有给出图形的几何填空问题等.2.对常见的分类标准有了一定的了解.如绝对值通过符号分类，等腰三角形通过腰的不同或顶角为锐角或钝角进行分类，直角三角形通过直角的位置分类，四边形通过边及对角线位置进行分类等.（二）学生思维障碍点1.学生对数学法则，性质，定理的条件和结论没有精确的理解.2.综合思维能力不够，“四基”存在短板.分析问题，解决问题的能力不够.3.由于在前期学习中面对分类讨论问题积累了太多的挫败感，进而产生强烈的畏难情绪，解题信心不足.（三）学生思维进阶点1.能从代数和几何两个角度对问题进行分类解答.对于计算能力较强的同学可首选代数解法，对于图感较好的同学可首选几何解法，而对于数学综合能力较强的同学可以两种解法相互验证.2.对中考中的常见分类讨论问题在思考方向，分类标准，解题方法等方面有更清晰的认识.第二部分课程标准一、核心素养根据学科本质，中考分析，学情分析，我们发现如果以分类讨论思想来进行大单元复习，主要会涉及到“空间观念”，“推理能力”“创新意识”等三方面的学科 核 心 素 养.它 们 在 新课标的具体阐述如表7所示.表现内涵阶段空间观念空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识.能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变化 规 律.空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础.小学与初中推理能力推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.理解逻辑推理在形成数学概念、法则、定理和解决问题中的重要性，初步掌握推理的基本形式和规则；对于一些简单问题，能通过特殊结果推断一般结论；理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯.推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神.初中表7创新意识创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科 学情境中发现和提出有意义的数学问题.初步学会通过具体的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命 题 与 猜 想，并加以验证；勇于探索一些开放性的、非常规的实际问题与数学问题.创新意识有助于形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性精神.小学与初中图形的运动和变化规律具有特定要素组成，如平移的两个要素是距离和方向,旋转的三个要素为旋转中心，旋转角，旋转方向.当其中的某个要素不确定时，就需要用分类讨论来分析解决问题，所以分类讨论需要学生具备较强的“空间观念”这一核心素养.数学具有严谨性，分类讨论是逻辑思维习惯，理性精神最直观的表现.所以分类讨论最能体现“推理能力”这一核心素养.分类讨论思想的直观表现就是问题的开放性，而开放性问题的特征之一就是非常规.所以分类讨论思维的形成也是学生创新意识形成的体现.那么怎样通过中考复习，促进学生分类讨论思想形成呢？专题大单元复习不失为一条有效的途径.崔允渊教授指出：“核心素养发展的大单元是一种学习单位，一个单元就是一个学习事件，一个完整的学习故事.因此，一个单元就是一个微课程，一个学习单元由素养目标，课时，情景，任务，知识点等组成，单元就是这些要素按某种需求和规范组织起来，形成一个有结构的整体基于以上认识，我们设计了如图5所示的分类讨论思想大单元复习结构图.分 类 讨 论 1、基本原则：标准统一，不重不漏W进阶要求：优化分类，优化方日）图5（一）“不确定性”引发分类讨论对于一个数学问题需要用到分类讨论思想的原因是“不确定性”，主要体现在问题条件的不确定性所带来的问题结论的不确定性.如以下两个问题：【问题3】计算卜7 =-当代数式的符号不确定时，我们要去绝对值就需要进行分类讨论，可以分为x-5 0,x-5=0,%-5 1,则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=5 2 3 2,16就是一个智慧优数，可以利用切2一 2=（加+）（机 一 ）进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.（1）常规分类标准（枚举法）解：m n 1,即机一三2,机 三 +2.当。
