考案 十七阶段测试（六）立体几何（本试卷满分150分，测试时间120分钟）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）JI1.（2024 河南洛阳创新发展联盟摸底）若圆锥的母线与底面所成的角为木,底面圆的6半径为，则该圆锥的体积为（B）JIA.-B.兀C.2兀 D.3兀Jl Jl h 解析 设圆锥的高为4因为母线与底面所成的角为，所以ta n E u ,解得人=6 6弋31.圆锥的体积/=y X （小 厂 义 匚1 t.故选艮2.（2024 四川广安诊断）如图，长方体相切一4 6 C中，点 是棱加的中点，点户是棱 阳上的动点.给出以下结论：在厂运动的过程中，直 线 阳 能 与/平行；直线/G与好必定异面；设 直 线 力 尸 分 别 与 平 面 相 交 于 点 尺Q,则 点G可能在直线匐 上.其 中，全部正确结论的序号是（B）A.C.解析 当尸为期中点时，易证/闺 为平行四边形，从而闺/笈正确.A E G F为平行四边形，此 时 正 与/G相交，错误.事实上当长方体棱长都相等且户为班的中点时，易 知 久G、O共线，正确.故选B.3.（2024 上海）已知平面a、/两两垂直，直线a、b、c满意：ac a ,be P,cc y,则直线a、b、c不行能满意以下哪种关系（B）A.两两垂直 B.两两平行C.两两相交 D.两两异面 解析 如 图1,可 得a、b、c可能两两垂直；如图2,可 得a、b、c可能两两相交；如图3,可得a、b、c可能两两异面；故选B.图1图2 图34.（2024 东北三省四市教研联合体模拟）已知正方体AB C D A B C Q,0为 底 面AB C D的中心，M,分别为棱4 ,CG的中点，则异面直线反与放所成角的余弦值为（C）A 亚A-5BR迎-5C.V1515 解析 解法一：如图，设&MCA C=H,在 4 4 上取点户，使连 P H、AG,P M,易知P HAC J/ON,厮（或其补角）即 为 反 与所成的角，设正方体的棱长为6,则P H=2/,MH=&：.cos故选 口乙 il l 1 V 1 1 1 10AB解法二：以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2,所以有。
1,1,0),8(2,2,2),“(1,0,2),M0,2,1),因此瓦仁（一1,-2,0）,而三（一1,1,1）,设异面直线氐与恻所成角为a,所以=34B y M 0N I T X 1 +_ 2 X 1+O X 1|立-1 2+-2 2+02-y 1-1 2+l2+l2-1 5 改炖5.(20 24 河南安阳调研)已知平面a,交于直线1,直线出满意小 a ,n l 8且 n,贝!J(C )A.a _ L B._ L aC.m/1 D.ml.解析 由图可知A、B、D错 误.故 选 C.6.（20 24 安徽芜湖期中联考）已知正方体AB C D A BCM的棱长为2,E、尸分别是棱4 4、4的中点，点 尸 为 底 面 四 边 形 5 内（包括边界）的一动点，若直线“尸 与 平 面 财无公共点，则点尸的轨迹长度为（B）A.2B.乖C.乖 D.2A/2 解析 取 8 c 的中点G,连接AG,RG,A R,如图所示:E、尸分别是棱川、4的中点，所以砂留，又因为E F u平面B EF,平 面 颇，所以/平面庞氏因为FD J/B G,F MBG,所以四边形飒B 为平行四边形，所以FB G 0.又因为小平面庞尸，应平面庞况所以做平面B EF.因为所以平面4 AG 平 面 板所以产的轨迹为线段/G,则钉=/.故选B.7.（2 0 2 4 广东潮州模拟）已知区是边长为3的等边三角形，三棱锥户一/回 全部顶点都在表面积为1 6“的球。
的球面上，则三棱锥P N 6 c的体积的最大值为（C ）A.小B.平C幽 D也4 2 解析 球的半径为此 则 4 口#=1 6”，解得：R=2,由已知可得：S k c=X32=平,其 中/=|助=/（为力比1 外接圆圆心），球 心到平面/%的距离为N万一=1,故三棱锥P/的高的最大值为3,体积最大值为:&城 3=半.故 选 C.8.（2 0 2 4 甘肃兰州西北师大附中期中）已 知 如n,，是不同的直线，a,是不同的平面，以下命题正确的是（D ）若必 ，me.a ,n u 8,贝!若 g a ,n u S,l Y m,则/_ L ；若 m V a ,B,a ，贝!J m/n；若 a _ L ,m/a ,n/8,则 mLn.A.B.C.D.解析若m n,w e a,u ,则 a 或 a,相交；若 归a ,n u 8,a /）,则/_!_ 或 1n或 1,A异面；若 mA.a ,a ，贝！|m/n,正确；若 a _ L ,m/a ,n/,则/_ 1 _ 或勿或加，异面.故选D.二、多选题（本题共4 个小题，每个小题5 分，共 2 0 分.在每个小题给出的四个选项中有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分）9.（2 0 2 4 河北邢台部分校月考）已 知 如 为两条不同的直线，a,为两个不同的平面，下列说法错误的是（ABC ）A.线 段 为 平 面a外的线段，若/、8 两点到平面a的距离相等，则 4 5 aB.若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等C.右 m/7 2,n u a,则 m/QD.若 T Z7_L a ,/n _L,则。
解析 对于选项A,也可能力6 u a ,A 错；对于选项B 也可能这两个角互补，B 错；对于选项C,可能k a ,C错；D明显正确.1 0.（2 0 2 4 广东模拟）在全部棱长都相等的正三棱柱中，点/是三棱柱的顶点，M.N、是所在棱的中点，则下列选项中直线与直线版垂直的是（AC ）解析 可设棱长都相等的正三棱柱的棱长为2,在正三棱柱中建立如图所示的空间直角坐标系：确；：而=正确-1,于 B,A,从 事,0,0),0(0,0,0),“(0,1,1),M 0,0,2),故 作(一/，0,0),而 =(0,:.由而=(一 事,0,0)(0,-1,1)=0,故就U 麻 B P A Q LM N,故 A 正确；对)/21-2yO1亍2-1o),故4 0=平，I，2,0),则而当，1,2j (0,1,0)=-I，c,A(p o,o),0(0,1,1),Mo,-i,i),则 幽 J（一 小，1,1）故A Q,就不垂直，故 B不正i&AQ LM N,即 A Q L M N,故 C；对于 D,J（0,1,0）,坐，一1，2）,I，o TV（O,1,1）,故彩=1 ,则 质.而二-I 221f故 4 0,知不垂直，故 D不正确；故选A C.1 1.（20 24 湖南湘潭一中期中）在 棱 长 为 1的正方体/8 切一4 6 1 G 中，。
为正方形4 6 1 G q 的中心，则下列结论正确的是（A B C ）A.B O L A CB.阳平面/C BC.点 6到 平 面 的 距 离 为 手J ID.直线方与直线/的夹角为7 解析 如图，连接4 G,BM,则 4 G C 6 1 =连接劭，交 AC 于 G,连接“G,则 加/0U,且 宛=如，可得四边形加A G 为平行四边形，於 B 0 D G ALK =C K,G 为/C 的中点，.2人/G 可得反L/C,故 A正确；由上可知，B O/I XG,2 6 t 平 面/切，6a平 面/必，B 0/平 面/切，故 B正确；：D G=B G,：.点B、，到平面AC D,的距离相等，VB-=|X X I X I1 3 1=,5=,乂隹义镜乎=半，设到平面4 7 A 的距离为力，则9 义半7?=!，得 力=乎，6 1 z v v 2 2 3 2 o 3JI故 C正确；直 线 即 与 直 线 皿 的 夹 角 等 于/加/刀 故 D错 误.故 选 A B C.1 2.（20 24 重庆长寿区期末）正方体4 6 少一4 6 1 0 中，只分别为棱加1 和第的中点，则下列说法正确的是（A C D ）A.6 a 平面/初B.平面/8C.异面直线4c与闾所成角为9 0 D.平面48截正方体所得截面为等腰梯形 解析 如图，：户，0 分别为棱区和C G 的中点，m 比I.：/七 平 面/仍 6 G C 平面 留正，平面/仍 故 A正确；若 平 面 力 仍 贝 1|X A.D V AB,AB HAP=4；.4 2_L 平面被力，与 4。
与平面力以力不垂直冲突，故 B错误；由4 6 i _L 8 G,B.C LB G,小得 园，平面4 6 1 G 得 4人 园，则 4入户0,即异面直线4C与园所成角为9 0 ,故 C正确；平面力配截正方体所得截面为力胤人 为等腰梯形，故 D正 确.故 选 A C D.三、填空题（本题共4个小题，每个小题5 分，共 20 分）1 3.（20 24 陕西西安一中模拟）已 知n、是两个不同的平面，m、均 为 a、外的两条不同直线，给出四个论断：小；n _Lf；，a.请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命题为n（或n）.（示例：请将答案写成如下形式：“今”）1 4.（20 24 山西临汾模拟）已知四边形26 切为菱形，26=1,/B AD=6 Q ,将其沿对角线M折成四面体卬B C D,使/C=d B,若四面体的全部顶点在同一球面上，则该球.3 兀的表面积为=.一 2-解析 由题意可知四面体 8 切为正四面体.如图，将其放到正方体中，该四面体的外接球和该正方体的外接球相同，又 A B=L所以正方体的棱长为手，所以外接球的半A1 5.（20 24 浙江温州适应性考试）在棱长为1 的正方体/6。
一4 6 储 中，是线段4笈的中点，尸为线段四的中点，则直线到平面阳的距离等于芋 解析 方法一：以，为坐标原点建系，/（1,0,0）,G（0,1,1），/h 1zX设 平 面 的 法 向 量 为x,y,z)n ,AC i=O G E=Qx+y+z=OAl 1X一不妨设X=l,则 尸 2,Z=1,A=(1,2,-1),CF平面即求到 平 面 距 离，、上 一 1 1 1 1方法一：VC-AFE=X 1 X-X 1 X-=,i 3 2 z Iz月 =园=乎,AG=y 3,1-316.(2024 江西鹰潭模拟)如图,在棱长为1 的正方体A B C D-A C M中，点是线段被上的动点，下列四个结论:存在点必 使 得 G平面第C；坊存在点忆 使得一GM 的体积为:；存在点瓶 使得平面G 飒交正方体力%一4 笈G 的截面为正三角形；若D1M=3 M B,过点作正方体A B C D-A B C B的外接球的截面，则截面的面积最小值Q 兀为言 则上述结论正确的是.解析 对于，连接M,G A,如图，由正方体的几何特征可得平面2 G 4平面A B C令平面2 G 4 c被=弘 则 G 平面第C,所以存在点弘 使 得 G 平面留C,故正确；对于，VD-CDM=VM-CDD -CBB=1X-X 1 X 1 X 所以不存在点瓶 使一C W 的体1 1 1 1 11 a Z 0 o积为5,故错误；对于，与6重合后截面庞G为正三角形，故正确；对于，当且仅当为截面圆的圆心时，截面圆的面积最小，由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球心为能的中点，且 半 径 为 学=半，所 以 最 小 截 面 的 半 径 惇 停一9 JI此时截面面积为十,故正确.故答案为：.1 b四、解答题（本题共6小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 7.（2 0 2 4 广西名校联考）（本题满分1 0 分）如图所示，在四棱锥4 6 缪 中，C D/EB,C D=2 D E=2 B E=2 B C=2,/庞为等边三角形，且平面/庞_ L 平面 纪的，户为棱/C 的中点.（1）求四棱锥A-B C D E的体积；（2）证明：B FA.C E.JI 解析（1）由条件可得底面6 侬是等腰梯形，Z C D E=Z B C D=,O所以 S 梯 形 =5（1 +2）取应的中点，连 。