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1、YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率对于不同的曲线对于不同的曲线, 其弯曲程度一般不同其弯曲程度一般不同. 例如：例如：ABAB一、曲率的定义一、曲率的定义 YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率AABBo 曲线的弯曲程度与其曲线的弯曲程度与其切线方向变化的夹角切线方向变化的夹角 的大小及其弧长的大小及其弧长 有关有关.结论：结论：YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率yxoA将将B任意弧段任意弧段 AB = = R ， 有有称为曲线段称为曲线段 AB 的的平均曲率平均曲率，它刻，它刻画了一段曲线的平均弯曲程
2、度画了一段曲线的平均弯曲程度. OABR 对于半径为对于半径为R的圆，的圆，YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率对于直线对于直线, 其切线方向不变其切线方向不变, 即即 , 有有同一条曲线的不同点处同一条曲线的不同点处同一条曲线的不同点处同一条曲线的不同点处, , 曲线弯曲的程度可能不同曲线弯曲的程度可能不同曲线弯曲的程度可能不同曲线弯曲的程度可能不同. . Def :Def : 曲线在曲线在 A 点的点的曲率曲率为为其中其中 为点为点A及其邻点及其邻点B之间弧长之间弧长, 为为AB上切线上切线方向变化的角度方向变化的角度. 曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度曲率刻画
3、了曲线在一点的弯曲程度.YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率x yoxA如图，设曲线的弧长如图，设曲线的弧长s 由点由点 A 起算起算. 任取任取MN = ，有，有由此由此当当 充分小时，在一些假定之下充分小时，在一些假定之下( 如如曲线有连续导数曲线有连续导数 )，二、弧长的微分二、弧长的微分YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率从而即得从而即得 弧长微分的公式弧长微分的公式或或YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率关于关于 的具体表示式：的具体表示式：YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平
4、面曲线的曲率三、曲率的计算三、曲率的计算先计算先计算 , 考虑曲线考虑曲线 在在 M 点的切线点的切线, 有有 两边求微分，得两边求微分，得YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率四、曲率半径与曲率圆四、曲率半径与曲率圆对半径为对半径为 R 的圆的圆,Def : 曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的 曲率半径，记作曲率半径，记作几何意义：几何意义：几何意义：几何意义： 如图，在如图，在如图，在如图，在A A点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取点作曲线的法线，
5、并在曲线凹的一侧的法线上取点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取一点一点一点一点O O，使得，使得，使得，使得 OAOA= (= (曲线在曲线在曲线在曲线在A A点的曲率半径点的曲率半径点的曲率半径点的曲率半径). ). 以以以以O O为圆心，为圆心，为圆心，为圆心， 为半径作一个圆，称之为曲线在为半径作一个圆，称之为曲线在为半径作一个圆，称之为曲线在为半径作一个圆，称之为曲线在A A点的曲率圆点的曲率圆点的曲率圆点的曲率圆. .Ao曲率中心曲率中心曲率中心曲率中心YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率曲率圆与曲线在曲率
6、圆与曲线在A A点具有以下关系点具有以下关系: : 有共同的切线，即圆与曲线在点有共同的切线，即圆与曲线在点 A 相切；相切； 有相同的曲率；有相同的曲率； 圆和曲线在点圆和曲线在点 A 具有相同的一阶和二阶导数具有相同的一阶和二阶导数. 表明：表明：表明：表明：讨论讨论 y = f (x) 在某点在某点 x 的性质时，若此性质仅的性质时，若此性质仅与与 x , y , 有关，则只要讨论曲线在有关，则只要讨论曲线在 x 点的曲率圆点的曲率圆的性质，即可知这曲线在的性质，即可知这曲线在 x 点附近的性质点附近的性质.YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率例例1. 求抛
7、物线求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径上任一点处的曲率和曲率半径.解：解：xyOAYunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率法线： x = 0 .切线：y = 0 ,求求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程的最小曲率半径时的曲率圆的方程.YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率例例2. 2. 铁道的弯道分析铁道的弯道分析YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率证明证明: : 如图如图在缓冲段上在缓冲段上,根据实际要求根据实际要求YunnanUniversi
8、ty4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率例例3 3解解如图如图,受力分析受力分析视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅的压力为千克力飞行员对座椅的压力为千克力.YunnanUniversity4. 平面曲线的曲率平面曲线的曲率 运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学研究曲线和曲面的性质的数学分支分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).四、小结四、小结
