不定积分的定义和性质

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1、第一节 不定积分的定义和性质v一、原函数与不定积分的概念v二、基本积分表v三、不定积分的性质v四、小结例例一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义1 设函数 在某区间上有定义，如果存在函数 ，对于该区间上任一点 ，使则称函数 是已知函数 在该区间上的一个原原函数函数。原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. .例例（ 为任意常数） 如果函数 在区间 内连续，那么在区间 内存在可导函数 ，使 都有问题：问题：(1) (1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2) (2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？关于

2、原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意常数 ，（2）若 和 都是 的原函数，则（ 为任意常数）证：（ 为任意常数）都是 的原函数。不定积分的定义：不定积分的定义： 在区间 内，函数 的带有任意常数项的原函数原函数 称为 在区间 内的不定积分，记为 。 积分号被积函数积分变量积分常数即：即： 求不定积分的中心问题中心问题是寻求被积函数 的一个原函数。原函数。例例1 1 求解:解:例例2 2 求由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的. .二、不定积分的基本性质二、不定积分的基本性质实例实例: :结论：结论：既然

3、积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式. .能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？说明：说明：基本积分表基本积分表有一个导数公式就有一个导数公式就相应地有一个不定相应地有一个不定积分公式。积分公式。根据积分公式（根据积分公式（2 2）例例3 3 求积分解解例例4 4 求积分解解对被积函数稍加变形，化为指数函数形式。据公式（13）现证现证(1)(1)等式成立等式成立. .（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质三、不定积分的性质例例

4、5 5 求积分解:例例6 6 求积分解：例例7 7 求积分解例例8 8 求积分解 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.它对应的图形是一族积分曲线，称为积分曲线族。积分曲线族。四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义若 是 的一个原函数，则称 的图形是 的积分曲线积分曲线。积分曲线族积分曲线族 的特点是：的特点是：（1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，例如，曲线 沿y轴平行移 位而得到。当 时向上移动；当 时，向下移动。（2）由于 ，即横坐标相同点 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于 ，从而使相应点的切线平行。oxy例例9 9：设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解：设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为即即 是 的一个原函数。基本积分表基本积分表(1)(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、 小结