§1.1 集合 集合§1.2 函数 函数§1.4 无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量§1.3 函数的极限 函数的极限§1.5 函数的连续性 函数的连续性 一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类三、连续函数的性质三、连续函数的性质 初等函数的连续性初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 1.5 1.5 函数的连续性函数的连续性 1.1.函数的增量函数的增量一、连续函数的概念一、连续函数的概念 考虑： 等价的形式用“ε－δ〞语言来表达2.2.连续的定义连续的定义 定理1 例例2 2证证 例例3 3解解右连续但不左连续右连续但不左连续 , 例例4 4解解 考察函数的图形：考察函数的图形：图图1图图2几何上易见图几何上易见图1- 2 都是连续不断的曲线都是连续不断的曲线!!!连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.总结： 二、函数间断点及其分类二、函数间断点及其分类 二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类图图3图图4图图5图图6观察函数的图形 图图7oyx图图8图图3- 8曲线在某点断开了曲线在某点断开了!!! 1 1 可去间断点可去间断点图图3图图4 如在图如在图3，，4的情形的情形,注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. . ２２ 跳跃间断点跳跃间断点图图5跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点 3 3 第二类间断点第二类间断点图图6 图图7oyx图图8 三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图) 可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx 思考题思考题 且且2、、但反之不成立但反之不成立.例例但但 Z 思考思考题题 定理定理2 2〔连续函数的四则运算）〔连续函数的四则运算）三、连续函数的性质三、连续函数的性质 初等函数的连续性初等函数的连续性例如例如,１ 连续函数的性质１ 连续函数的性质 定理定理3 3〔反函数的连续性）〔反函数的连续性）p6的定理的定理1:注意注意: : 定理３对开区间定理３对开区间, ,无穷区间均成立无穷区间均成立. . 例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.又例如，又例如， 定理５〔复合函数的连续性）定理５〔复合函数的连续性）设函数设函数y=f (u)y=f (u)及及u=u= (x) (x)构成复合函数构成复合函数y=f [y=f [ (x)]. (x)].则复合函数则复合函数f [f [ (x)] (x)] 在点在点x0x0处连续处连续. .注意 定理注意 定理5 5是复合函数求极限〔见是复合函数求极限〔见P27P27定理定理1515〕的〕的特殊情况特殊情况. .例如例如, 证证综合两步综合两步: : 注意注意意义意义极限符号可以与函数符号互换，即极限符号可以与函数符号互换，即（（See P40See P40定理４，定理定理４，定理5 5是该结论的特殊情况）是该结论的特殊情况） 例例1 1解解例例2 2解解同理可得同理可得 Ex:Ex:说明说明: 当当时时, , 有有解解 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.★★★★★★２２ 初等函数的连续性初等函数的连续性常数函数在常数函数在(-∞,+ ∞)内是连续的内是连续的.★★ 基本初等函数在其定义域内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的. .★★(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. .注意：定义区间是指包含在定义域内的区间注意：定义区间是指包含在定义域内的区间. . 例例3 3例例4 4解解解解2. 初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法. Ex Ex 求求解解说明说明 假设假设则有则有 例如例如假设假设 小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别:2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:跳跃型跳跃型,可去型可去型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点4 连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.5 初等函数的连续性初等函数的连续性.求极限的又一种方法求极限的又一种方法.反函数的连续性反函数的连续性. 思考题思考题 思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点 Z 思考思考题题 。