第三章 力学量的算符§3-1 算符的引入代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号 由于算符只是一种运算符号，所以它单独存由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：函数做相应的运算才有意义，例如： Ô u = v 表示表示 Ô 把函数把函数 u 变成成 v，， Ô 就是就是这种种变 换的算符1））du / dx = v ，， d / dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是是对函数函数 u 微商，微商， 故称故称为微商算符微商算符2））x u = v，， x 也是算符也是算符 它它对 u 作用作用 是使是使 u 变成成 v 体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) ψ(r) 描描写时，坐标写时，坐标 x x 的算符就是其的算符就是其自身自身，即，即说明力学量在说明力学量在自身表象中的算符形式最简单自身表象中的算符形式最简单而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：必须改造成动量算符形式：三维情况三维情况：： 角动量算符角动量算符 Hamilton Hamilton 算符算符的粒子的粒子在势场中在势场中)(2)(ˆˆ)(22rVmrVTHVTHrVrhrr+ +Ñ Ñ- -= =+ += =®®+ += =问题：问题：算符、动量算符、算符、动量算符、 Hamilton算符算符 其其中中F Fn n, , ψψn n 分分别别称称为为算算符符 F F的的本本征征值值和和相相应应的的本本征征态态，，上上式式即即是是算算符符F F的的本本征征方方程程。
求求解解时时，，ψ ψ 作作为为力力学学量量的的本本征征态态或或本本征征函函数数还还要要满满足足物物理理上上对对波波函函数数的的要要求求即波函数的标准条件即波函数的标准条件§3-2 §3-2 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数问题：问题：本征值、本征态、本征方程本征值、本征态、本征方程 （（1 1）线性算符）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2其中其中c1, c2是任意复常数，是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数是任意两个波函数满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 Ô Ô 称为线性算符称为线性算符例如：例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符开方算符、取复共轭就不是线性算符 注意：注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映加原理的反映§3-3 算符的运算规则 线性厄米算符 （（2 2）算符相等）算符相等 若两个算符若两个算符 Ô、、Û对体系的任何波函数体系的任何波函数 ψ的运算的运算结果都相果都相 同，即同，即Ôψ= Ûψ，，则算符算符Ô 和算符和算符Û 相等相等记为Ô = Û。
（（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符若两个算符 Ô、、Û 对体系的任何波函数体系的任何波函数ψ 有：有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称称为算符之和算符之和算符求和满足交换率和结合率算符求和满足交换率和结合率例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替 Ô - Û = Ô + Ô - Û = Ô + （（-Û-Û） 很易证明线性算符之和仍为线性算符很易证明线性算符之和仍为线性算符 （（4 4）算符之积）算符之积若若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中其中ψ是任意波函数是任意波函数一般来一般来说算符之算符之积不不满足交足交换律，即律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ这是算符与通常数运算是算符与通常数运算规则的唯一不同之的唯一不同之处 （（5 5）对易关系）对易关系若若ÔÛ ≠ ÛÔ，，则称称Ô 与与 Û 不不对易易显然二者然二者结果不相等果不相等对易易关系关系 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
对易，各动量之间相互对易 （（6 6）对易括号）对易括号为了表述了表述简洁，运算便利和研究量子，运算便利和研究量子 力学与力学与经典力学的关系，人典力学的关系，人们定定义了了 对易括号：易括号： [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ 不不难证明明对易括号易括号满足如下足如下对易关系：易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 上面的第四式称上面的第四式称为 Jacobi 恒等式返回返回 （（7 7）逆算符）逆算符1. 定义定义: 设设Ôψ= φ, 能够唯一的解出能够唯一的解出ψ, 则可定义则可定义算符算符Ô之逆之逆Ô-1 为为:Ô-1 φ = ψ并不是所有算符都存并不是所有算符都存在逆算符在逆算符, ,例如投影例如投影算符就不存在逆算符就不存在逆. . 2.性质性质 I: 若算符若算符Ô之逆之逆Ô-1存在存在,则则 Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0证证: ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为因为ψ是任意函数是任意函数,所以所以Ô-1Ô=I成立成立. 同理同理,ÔÔ-1=I 亦成立亦成立.3.性质性质 II: 若若 Ô, Û 均存在逆算符均存在逆算符, 则则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1 例如例如: : 设给定一函数设给定一函数 F(x), F(x),其各阶导数均存在其各阶导数均存在, ,其幂级数展开收敛其幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符 Û 的函数的函数 F(Û)为为:（（8 8）算符函数）算符函数 （（9 9）复共轭算符）复共轭算符算符算符Û的复共轭算符的复共轭算符Û*就是把就是把Û表达式中表达式中的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭.例如例如: : 坐标表象中坐标表象中 （（1010）转置算符）转置算符 利用波函数标准条件利用波函数标准条件: 当当|x|→∞ 时时ψ, → 0。
由于由于ψ、、φ是任意波是任意波函数函数, 所以所以同理可证同理可证: : (11)厄密共轭算符厄密共轭算符由此可得：由此可得：:转置算符转置算符的定义的定义厄密共轭厄密共轭算符亦可算符亦可写成：写成：算符算符 Ô 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 Ô+ 定义定义:可以证明可以证明: (Ô Â)+ = Â+ Ô+ (Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â+ Ô+ (12) (12) 厄米算符厄米算符满足如右关系的算符足如右关系的算符称称为厄密算符厄密算符.性性质 I: 两个厄密算符之和两个厄密算符之和仍是厄密算符仍是厄密算符 Ô Ô+ = Ô Ô, Û+ = Û(Ô+Ô+Û)+ = Ô Ô+ + Û+ = (Ô+Ô+Û) 性性质 II: 两个厄密算符之两个厄密算符之积一般一般不是厄密算符不是厄密算符, 除非二算符除非二算符对易 因因为 (Ô Ô Û)+ = Û+ Ô Ô+ = Û Ô Ô ≠ Ô Ô Û仅当当 [Ô, Ô, Û] = 0 成立成立时, (Ô Ô Û)+ = Ô Ô Û 才成立。
才成立问题：问题：厄米算符厄米算符 定理定理I I：：体系任何状态体系任何状态ψψ下，其厄密算符的平下，其厄密算符的平 均值必为实数均值必为实数证：：逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符实数的算符必为厄密算符 定理定理IIII：：厄密算符的本征值必为实厄密算符的本征值必为实 当当体体系系处处于于 F F 的的本本征征态态ψψn n 时时，，则则每每次次测测量量结果都是结果都是 F Fn n 由由 本本征征方方程程可可以以看看出出，，在在ψψn n（设已归一）态下（设已归一）态下证量子力学基本假定量子力学基本假定IIIIII(I) (I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示量子力学中的力学量用线性厄密算符表示II) (II) 测测量量力力学学量量F F时时所所有有可可能能出出现现的的值值，，都都对对应应于于线线性性厄厄密密算算符符 F F的的本本征征值值 F Fn n（（即即测测量量值值是是本本征征值值之之一一）），该本征值由力学量算符，该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出的本征方程给出（问题？）（问题？） （（1 1）正交性）正交性定理定理III：： 厄密算符属于不同本征厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交的本征函数彼此正交证：设取复共轭，取复共轭， F Fm m 为实数为实数两两边右乘右乘 φn 后后积分分二式相减得二式相减得:若若Fm≠Fn，，则必有：必有：[ [证毕] ]§3-4 §3-4 厄密算符本征函数的正交性和完全性厄密算符本征函数的正交性和完全性 （（2 2）分立）分立谱、、连续谱正交正交归一表示式一表示式1. 分立分立谱正正 交交归一条一条 件分件分别为：：2. 连续谱正正 交交归一条一条 件表示件表示为：：3. 正交正交归一系一系满足上式的函数系足上式的函数系 φn 或或φλ 称称为正交正交归一（函数）系。
一（函数）系 （（4））简并情况并情况如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：φφn1n1 ,φ ,φn2 n2 , ..., φ, ..., φnfnf 满足本征方程：足本征方程：一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交并不一定正交证证明明由由这 f 个个φn i 线性性组合成合成 f 个新函数个新函数 ψn j可以可以满足正交足正交归一化条件：一化条件： 算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的简并的本质是当本质是当 F Fn n 确定后还不确定后还不能唯一的确定状态，要能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力寻找另外一个或几个力学量算符，学量算符，F F 算符与这算符与这些算符对易，其本征值些算符对易，其本征值与与 F Fn n 共同确定状态共同确定状态综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
都是正交归一化的，即组成正交归一系 1. 函数的完函数的完备性性有一有一组函数函数φφn n(x) (n=1,2,...),(x) (n=1,2,...),如果任意如果任意函数函数ψ(x)ψ(x)可以按可以按这组函数展开函数展开: :则称称这组函数函数φn(x) 是完是完备的例如：例如：动量本征函数量本征函数 组成完成完备系系(2) 力学量算符本征函数组成完备系力学量算符本征函数组成完备系 2. 2. 力学量算符的本征函数力学量算符的本征函数组成完成完备系系则任意函数任意函数ψ(x) 可可 按按φn(x) 展开：展开： 但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题不管怎样，由上述两点分析，量子力学的数学问题不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系问题：问题：正交性和完全性正交性和完全性 量量子子力力学学基基本本假假定定IIIIII告告诉诉人人们们，，在在任任意意态态ψ(r)ψ(r)中中测测量量任任一一力力学学量量 F F，，所所得得的的结结果果只只能能是是由由算算符符 F F 的本征方程的本征方程解得的本征值解得的本征值λλn n之一。
之一但是但是还有有 两点两点问题 没有搞清楚：没有搞清楚：1. 1. 测得得每每个个本本征征值λλn n的的几几率率是是多多少少？？也也就就是是说，，哪哪些些本本征征值能能够测到，到，对应几率是多少，哪些几率是多少，哪些测不到，几率不到，几率为零2. 是否会出是否会出现各次各次测量都得到同一个本征量都得到同一个本征值，即有确定，即有确定值要解决上述问题，要解决上述问题， 我们还得从讨论我们还得从讨论 本征函数的另一本征函数的另一 重要性质入手重要性质入手§3-5 §3-5 力学量平均值的计算力学量平均值的计算 力学量的可能值和相应几率力学量的可能值和相应几率 现现在在我我们们再再来来讨讨论论在在一一般般状状态态 (x) (x) 中中测测量量力力学学量量F F，，将将会会得得到到哪哪些些值值，，即即测测量量的的可可能能值值及及其其每每一一可可能能值值对应的几率对应的几率{ c{ cn n } } 则是则是 F F 空间的波函数空间的波函数 证明：当证明：当ψ(x)ψ(x)已归一时，同样已归一时，同样 c cn n 也是也是 归一的所所以以|c|cn n| |2 2 具具有有几几率率的的意意义义，，c cn n 称称为为几几率率振振幅幅。
我我们们知知道道|ψ(x)||ψ(x)|2 2 表表示示在在x x点点找找到到粒粒子子的的几几率率密密度度，，|c(p)||c(p)|2 2 表表示示粒粒子子具具有有动动量量 p p 的的几几率率，，那那末末同同样样，，|c|cn n| |2 2 则则表表示示 F F 取取 λλn n 的几率综上所述，量子力学作如下假定：综上所述，量子力学作如下假定： 量子力学基本假定量子力学基本假定IVIV 任何力学量算符任何力学量算符 F F 的本征函数的本征函数φφn n(x)(x)组成正交成正交归一完一完备系，在任意已系，在任意已归一一态ψ(x)ψ(x)中中测量力学量量力学量 F F 得到本征得到本征值λλn n 的几率等于的几率等于ψ(x)ψ(x)按按φφn n(x)(x)展开式中展开式中对应本征函数本征函数φφn n(x)(x)前的系数前的系数 c cn n 的的绝对值平方问题：问题：量子力学基本假定量子力学基本假定IV 如果波函数未如果波函数未归一化一化同样，在任一态同样，在任一态ψ(x) ψ(x) 中测量某力学量中测量某力学量 F F 的的 平均值（在理论上）平均值（在理论上） 可写为：可写为：此式此式等价于等价于 以前的平均以前的平均 值公式值公式力学量的平均值力学量的平均值 §3-6 §3-6 不同力学量同时有确定值的条件不同力学量同时有确定值的条件l l体系处于任意状态体系处于任意状态体系处于任意状态体系处于任意状态 （（（（x x x x）时，力学量）时，力学量）时，力学量）时，力学量 F F F F 一般没有确定值。
一般没有确定值一般没有确定值一般没有确定值如果力学量如果力学量 F F 有确定值，有确定值， （（x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定值，态中也有确定值， 则则 必也是必也是 G G 的一个本征态，即的一个本征态，即结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，如果同时具有确定时，如果同时具有确定值，那么值，那么 必是二力学量共同本征函数必是二力学量共同本征函数 两算符对易的物理含义两算符对易的物理含义是特定函数，是特定函数， 非任意函数也！非任意函数也！但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易考察前面二式：考察前面二式： 定理：定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征若两个力学量算符有一组共同完备的本征 函数系，则二算符对易函数系，则二算符对易。
证：证：则则因为因为 (x) (x) 是是任意函数任意函数 定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系一组力学量算符具有共同完备本征函数系 的充要条件是这组算符两两对易的充要条件是这组算符两两对易例例 问题：问题：不同力学量同时有确定值的条件不同力学量同时有确定值的条件 力学量完全集合力学量完全集合（（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集例例 1 1：：三维空间中自由粒子，完全确定其状三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：态需要三个两两对易的力学量：例例 2 2：：一维谐振子，只需要一个力一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：学量就可完全确定其状态：（（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同（（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开 §3-7 §3-7 测不准关系的严格证明测不准关系的严格证明 两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。
说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值问题：问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？证：证： II II 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：设二厄密算符对易关系为：是算符或是算符或普通数普通数 最后有：最后有：对任意实数对任意实数 均成立均成立由代数二次式理论可知，该不等式成由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：立的条件是系数必须满足下列关系：测不准关系测不准关系 均方偏差均方偏差其中：其中： 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小，另一就越大另一就越大。