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1、回顾旧知回顾旧知等差数列等差数列aan n 的通项公式：的通项公式：an=a1+（n-1）d也可整理为也可整理为an=dn+（a1-d） n=1时必须时必须得成立，才能得成立，才能这样写通项公这样写通项公式。式。新课导入新课导入 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V V形形架的最下面一层放一支铅架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面面一层多放一支，最上面一层放一层放100100支支. .这个这个V V形架形架上共放着多少支铅笔？上共放着多少支铅笔？ 问题就是求问题就是求“1+2+3+4+100=？” 高高斯斯算算法法的的高高明明之之处处在在于于他他发
2、发现现这这100个个数数可可以以分分为为50组组，第第一一个个数数与与最最后后一一个个数数一一组组，第第二二个个数数与与倒倒数数第第二二个个数数一一组组，第第三三个个数数与与倒倒数数第第三三个个数数一一组组，每每组组数数的的和和均均相相等等，都都等等于于101，50个个101就就等等于于5050了了. .高高斯斯算算法法将将加加法法问问题题转转化化为为乘乘法法运运算算，迅迅速速准确得到了结果准确得到了结果. .2.3 2.3 等差数列的等差数列的前前n n项和项和教学目标教学目标知识与能力知识与能力知识与能力知识与能力 （1 1）掌握等差数列前）掌握等差数列前n n项和公式项和公式. . （2
3、 2）掌握等差数列前）掌握等差数列前n n项和公式的推导过项和公式的推导过程程. . （3 3）会简单运用等差数列的前）会简单运用等差数列的前n n项和公式项和公式. .过程与方法过程与方法过程与方法过程与方法 （1 1）通过对等差数列前）通过对等差数列前n n项和公式的项和公式的推导过程推导过程, ,渗透倒序相加求和的数学方法渗透倒序相加求和的数学方法. . （2 2）通过公式的运用体会方程的思想）通过公式的运用体会方程的思想. . （3 3）通过运用公式的过程，提高学生）通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力类比化归、数形结合的能力. .情感态度与价值观情感态度与价值观情感态
4、度与价值观情感态度与价值观 结合具体模型结合具体模型, ,将教材知识和将教材知识和实际生活联系起来实际生活联系起来, ,使学生感受数学的使学生感受数学的实用性实用性, ,有效激发学习兴趣有效激发学习兴趣, ,并通过对等并通过对等差数列求和历史的了解差数列求和历史的了解, ,渗透数学史和渗透数学史和数学文化数学文化. .教学重难点教学重难点重点：重点： 等差数列前等差数列前n n项和的公项和的公式，有关等差数列问题求解的基式，有关等差数列问题求解的基本方法本方法. .难点：难点： 获得递推公式的思路，获得递推公式的思路，等差数列前等差数列前n n项和公式的其他形式项和公式的其他形式. . 思考：
5、图案中，第思考：图案中，第1层到第层到第21层一共有层一共有多少颗宝石？用什么办法做呢？多少颗宝石？用什么办法做呢？ 这这是是求求奇奇数数个个项项的的和和的的问问题题，能能不不能能直直接接用用高高斯斯的的办办法法呢呢求求和和呢？呢？ 问题问题:图案中，第图案中，第1层到第层到第21层层一共有多少颗宝石？一共有多少颗宝石？ 212120191123获得算法：获得算法： 设等差数列设等差数列 an 的首项为的首项为a1，公差，公差为为d d，如何求等差数列的前，如何求等差数列的前n n项和项和Sn= a1 +a2+a3+an?设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn
6、=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=例例 1 1：解解：(1)(2)两式左右分别相加，得两式左右分别相加，得这种方法叫倒序相加法这种方法叫倒序相加法.2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)能否用能否用a1,n,d表示表示Sn呢？呢？将将an=a1+(n-1)d代入代入【说明说明】 推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法项和公式的方
7、法叫叫 ； an为等差数列为等差数列 ，这是，这是一个关于一个关于 的，没有的，没有 的的“ ” .倒序相加法倒序相加法Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（ 注意注意 a 还可以是还可以是 0）等差数列前等差数列前n项和项和公式公式【公式记忆公式记忆】 用用梯梯形形面面积积公公式式记记忆忆等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式，这这里里对对图图形形进进行行了了割割、补补两两种种处处理理，对应着等差数列对应着等差数列前前n项和的两个公式项和的两个公式. 等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；梯形的面积公式梯形的面积公式(补成平行四边形补成平行四边形)a1a1
8、anan_n_na1a1(n-1)d（分割成一个（分割成一个平行四边形及平行四边形及一个三角形）一个三角形）1、若数列、若数列an为等差数列，则为等差数列，则s3m=3（s2m-sm） 2 2、若数列、若数列an为等差数列，且为等差数列，且sp=q，sq=p，sp+q=-（p+q） 3 3、若数列项数、若数列项数为为2n+1，则，则s奇奇+s偶偶=s2n+1= （a1+a2n+1）（2n+1），），s奇奇-s偶偶=an+1， 将等差数列的前将等差数列的前n n项和公式写成上项和公式写成上述形式述形式, ,有利于求其前有利于求其前n n项和的极值项和的极值: :a10a10,d0极大值极大值无无
9、有有极小值极小值有有无无n ns sn nn ns sn na a1 10,0,极小值极小值 a a1 10,d0,d0,极大值极大值 观察上面的式子观察上面的式子,我们可以看出它是关于我们可以看出它是关于n 的二次函数的二次函数,从而等差数列的前从而等差数列的前n项和可以写成项和可以写成形如形如:y = Ax2+ Bxy = Ax+ B 通过上面的例题，对于等通过上面的例题，对于等差数列的相关量差数列的相关量a a1 1、d d、n n、a an n、s sn n，一般确定几个量就可以确定其他，一般确定几个量就可以确定其他量？量？a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、
10、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d 由以上例题可以得出由以上例题可以得出:在求等差数列的前在求等差数列的前n n项的和时项的和时, ,当知道首项和公差当知道首项和公差, ,或者是知道首项和或者是知道首项和末项末项, ,均可以得出均可以得出. . 已知等差数列已知等差数列a an n中中a a2 2+a+a5 5+a+a1212+a+a1515=36.=36.求前求前1616项的和项的和? ? 由等差数列的性质可得由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=(16/2 )18=144 答答:前前16项的和为项的和为1
11、44. 分析：可以由等差数列性质，直接代入分析：可以由等差数列性质，直接代入前前n n项和公式项和公式. .例例 2 2：解解： 等差数列等差数列 -10，-6，-2，2，前多少项的和是前多少项的和是5454？解解： n1= =9，n2=-=-3 (舍去舍去)等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前前9项的和是项的和是54.例例3 3：设题中的等差数列为设题中的等差数列为anan，前，前n n项和是项和是 SnSn，则则a1= -10，d= -6-(-10) = 4,设设 SnSn=54=54，根据等差数列前根据等差数列前 n n项和公式，得项和公式，得n要为正整数要为正整数 已知一个等差数
12、列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前前20项的和是项的和是1220，求，求Sn.解：解： S S1010=310=310，S S2020=1 220=1 220例例 4 4：法法二：相减得二：相减得5d=5d=110110即即 d=d=2222一个等差数列，共有一个等差数列，共有 10 10 项，其中奇项，其中奇数项的和为数项的和为 125125，偶数项的和为，偶数项的和为 1515，求，求 a a 1 1、d.d.例例 5 5：解：解： 归纳：归纳：等差数列中，等差数列中，n为奇数，必有为奇数，必有n为偶数，必有为偶数，必有 等差数列中，等差数列中，a a5 5=14=1
13、4，a a2 2+ a+ a9 9=31=31，求求S S1212法法二：二： a 5 + a 6 = a 2 + a 9 a 6 = 17公差公差 d = a 6 a 5 = 3 a 7 = 20= ( a 6 + a 7 )6= 222例例6 6：解：解： 等差数列等差数列 a n 中，中，S 15 = 90，求求 a 8法一：法一：a 1 + a 1 + 14d = 12即即 a 1 + a 15 = 12即即 a 1 + 7d = 6 a 8 = a 1 + 7d = 6= 6例例7 7：解：解： 选用中项求等差数列的前选用中项求等差数列的前 n 项之和项之和 S n当当 n 为奇数时
14、，为奇数时，S n = _；当当 n 为偶数时，为偶数时， S n = _.归纳：归纳： 南北朝时，张丘建始创等差数列求和南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在解法。他在张丘建算经张丘建算经里给出了几个里给出了几个等差数列问题等差数列问题.例如：例如：“今有女子不善织布，逐日所今有女子不善织布，逐日所织之布以同数递减，初日织五尺，末一日织之布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？织一尺，计织三十日，问共织几何？” 原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.” 思考与余味思考与余味: :再如：再如：“今有女子善织布，逐日所织的布今有女子善织布，逐日
15、所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？九匹三丈，问日增几何？” 这是一道等差数列知道前这是一道等差数列知道前3030项和，项和，a a1 1的的值，求等差数列的公差值，求等差数列的公差. .课堂小结课堂小结本节课本节课主要讲述了等差数列的前主要讲述了等差数列的前n n项和公式：项和公式： s n=n（a1+an）/2 s n=na1+n（n-1）d/2 以及他们的推导过程，在具体使用时以及他们的推导过程，在具体使用时,不不一定完全套用公式一定完全套用公式,要灵活变通要灵活变通. 1.1.推导等差数列前推导等差数列前 n n
16、项和公式的方法项和公式的方法. .2.2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想. . -倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.3.公式中五个量公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个. .-知三求二知三求二裂项求和裂项求和 有些数列求和的有些数列求和的问题，可以，可以对相相应的数列的通的数列的通项公式加以公式加以变形，将其写成两形，将其写成两项的差，的差，这样整个数整个数列求和的各加数都按同列求和的各加数都按同样的方法裂成两的方法裂成两项之差，其之差，其中每中每项的被减数一定是后面某的被减数一定是后面某项的减数，
17、从而的减数，从而经过逐逐项相消相消仅剩下有限剩下有限项，可得出前，可得出前n n项和公式。和公式。如求和：如求和：提示：提示：则：则：高考链接高考链接（2009全国）全国）解：设解：设anan的公差为，则的公差为，则（a1+2d)(a1+6d)=-16,a1+2d)(a1+6d)=-16, a1+3d+a1+5d=0. a1+3d+a1+5d=0.a a1 12 2+8da+8da1 1+12d+12d2 2=-16,=-16,a a1 1=-4d.=-4d.即：即：因此因此 ： SnSn= =-8n+n(n-1)8n+n(n-1)=n(n-9),n(n-9), 或或 snsn=8n-n(n-
18、1)=-n(n-9).=8n-n(n-1)=-n(n-9).a1=-8,a1=-8,d=2.d=2.解得：解得： a1=8, a1=8, d=-2. d=-2.或：或：随堂练习随堂练习1 1、如图，一个堆放铅笔的、如图，一个堆放铅笔的 V V形架的最下面形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放一层多一支，最上面一层放120120支支. .这个这个V V形形架上共放着多少支铅笔？架上共放着多少支铅笔？ 由题意可知，这个由题意可知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差层铅笔，且自下而上各层的铅笔
19、数成等差数列，记为数列，记为an,其中其中 a1=1 , a120=120.根据根据等差数列前等差数列前n项和的公式，得项和的公式，得答：答：V V形架上共放着形架上共放着 7260支铅笔支铅笔. .解：解：2 2、在等差数列、在等差数列 a an n 中，中，（2 2）a a1 1=14.5=14.5，d=0.7d=0.7，a an n=32=32，求求S Sn n（1 1）a a3 3= -2= -2，a a8 8=12=12，求，求S S1010（2 2）由等差数列的通项公式，得）由等差数列的通项公式，得1 4 . 5 + ( n- - 1 ) 0.7=32 n = 2 6（1 1）a
20、a1 1+a+a10 10 = a= a3 3+a+a8 8 = 10= 10解：解：3 3、凸、凸 n n 边形各内角成等差数列，公差为边形各内角成等差数列，公差为 10 10，最小内角为，最小内角为 100 100，则，则n n等于（等于（）（A A）7 7（B B）8 8（C C）9 9（D D）8 8或或 9 9由题意，得由题意，得 : :解得解得 n=8 n=8 或或 n=9n=9B( (舍舍) )解：解： 这位长跑运动员每天的训练量成等差数这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为列，记为a an n, , 其中其中 a a1 1=7500,a=7500,a7 7=10500.=10500. 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式，得项和公式，得答答：这位长跑运动员：这位长跑运动员7天共跑了天共跑了63000m.4 4、某长跑运动员、某长跑运动员7 7天里每天的训练量是：天里每天的训练量是： 7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500,10500这位运动员这位运动员7 7天共跑了多少米？天共跑了多少米？ （单位：（单位：m m）解：解：习题答案习题答案
