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1、 在数学中大家都注意到在数学中大家都注意到这样的的现象：有象：有时候一个候一个有限的和很有限的和很难求求, , 但一但一经取极限由有限取极限由有限过渡到无限渡到无限, , 则问题反而好反而好办. . 例如例如, , 若若对某一某一x, ,要要计算和算和 而一而一经取极限，取极限，则有有简单的的结果果 1 事事实证明明这是可能的，而且在一般情况下和的是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是极限分布就是正态分布正态分布，由此可，由此可见正正态分布的重要分布的重要性性. . 对和的分布收和的分布收敛于正于正态分布的分布的这一一类极限定理极限定理的研究，在的研究，在长达两个世达两个世纪的的时期内成了
2、概率期内成了概率论研究研究的中心的中心课题，因此得到了，因此得到了“中心极限定理中心极限定理”的名称的名称. . 本章将列述本章将列述这类定理中最定理中最简单，然而也是最重要的，然而也是最重要的情况情况. .2中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响所产生的总影响 . 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响许多随机因素的影响 .3空气阻力所产生的误差空气阻力所产生的误差 ，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响对我们来说重要的是这些随机因素
3、的总影响 .如瞄准时的误差如瞄准时的误差 ，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等 .4 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而机因素的影响所造成，而 每一个别因素在总影响中每一个别因素在总影响中所起的作用不大，所起的作用不大， 则这种量一般都服从或近似服从则这种量一般都服从或近似服从正态分布正态分布. 自自从从高高斯斯指指出出测测量量误误差差服服从从正正态态分分布布之之后后，人人们们发发现现，正正态态分分布布在在自自 然然 界界 中中 极极 为为 常常 见见.5 中心极限定理，正是从理中心极限定理，正是从理
4、论上上证明，明，对于大量的于大量的独立随机独立随机变量来量来说，只要每个随机，只要每个随机变量在量在总和中所占和中所占比重很小，那么不比重很小，那么不论其中各个随机其中各个随机变量的分布函数是量的分布函数是什么形状，也不什么形状，也不论它它们是已知是已知还是未知，它是未知，它们的和的的和的分布函数必然和正分布函数必然和正态分布函数都很近似分布函数都很近似. . 这就是就是为什什么么实际中中 遇到的随机遇到的随机变量很多都量很多都 服从正服从正态分布的原分布的原因，也正因因，也正因为如此，正如此，正态分布在概率分布在概率论和数理和数理统计中中占有极其重要的地位占有极其重要的地位 . . 下面介下
5、面介绍几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理 . . 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理 .6 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们不直接研究不直接研究 n 个随机变量之和本身个随机变量之和本身，而考虑它的而考虑它的标准化标准化的随机变量的随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限 .7独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理(列维一林德伯格定理列维一林德伯格定理)8（证略）略） 9此定理此定理说明明, ,当当n充分充分大大时时, ,有有 或
6、或10 将将n个观测数据相加时，首先对小数部分按个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五四舍五入入”舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计，舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计， 例例1 1解解(1) (1) 当当n= =1500时，舍入误差之和的绝对值大于时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率；的概率； (2) (2) n满足何条件时，能以不小于满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差的概率使舍入误差 之和的绝对值小于之和的绝对值小于10 根据列维根据列维- -林德伯格中心极限定理，当林德伯格中心极限定理，当n充分大时充分大时 11(1)(1)12(2)(2) 数据个数数
7、据个数n应满足条件：应满足条件： 即当即当 时，才能使误差之和的绝对值小于时，才能使误差之和的绝对值小于10的的概率不小于概率不小于0.90 13 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的随机的, ,假设每箱的平均重假设每箱的平均重50千克千克, , 标准差标准差5千克千克. 若若用最大载重量为用最大载重量为5吨的汽车承运吨的汽车承运, , 试利用中心极限定试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱理说明每辆车最多可以装多少箱, ,才能才能保证保证不超载的不超载的概率大于概率大于0.977.例例2 2解解由列由列维- -林德伯格中心极限定理林德伯
8、格中心极限定理, ,有有 总重量总重量14所以所以 n 必须满足必须满足即最多可以装即最多可以装 98 箱箱 . . 15下面下面给出上述定理的一个重要特例出上述定理的一个重要特例. . 棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理证证由列由列维- -林德伯格定理可知，林德伯格定理可知， 16由列由列维一林德伯格定理可知，一林德伯格定理可知， 17由列由列维一林德伯格定理可知，一林德伯格定理可知， 18或或即有近似即有近似计算公式算公式 19例例3 3 设在某保在某保险公司有公司有1 1万万个人参加投保个人参加投保, ,每人每年每人每年付付120120元保元保险费. .在一年内一个人死亡的概率在
9、一年内一个人死亡的概率为0.006,0.006,死亡死亡时其家属可向保其家属可向保险公司公司领得得1 1万万元元, , 问: :(1)该保保险公司公司亏亏本的概率本的概率为多少多少? ? (2)该保保险公司一年的利公司一年的利润不少于不少于40,60,8040,60,80万元的概率各是多少万元的概率各是多少? ? 解解 设一年内死亡的人数一年内死亡的人数为X, ,则 由由D- -L中心极限定理中心极限定理, , 即即该保保险公司公司亏亏本的概率本的概率几乎几乎为0.0. 2021 (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床, 在生产期间在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调
10、换零件等由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换零件等常需停车常需停车. 设开工率为设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力独立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦. 问应供应多少瓦问应供应多少瓦电力就能以电力就能以 99.9% 的概率保证该车间不会因供电不的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产足而影响生产?例例4 4解解 某一时刻开动的车床数某一时刻开动的车床数 要求最小的要求最小的k, ,使使 由由D- -L定理定理, , 22这里这里 np=120, np(1-p)=48查表得查表得 所以若供所以若供电141.5千瓦，那么由于供千瓦，那么由于供电不足
11、而影不足而影响生响生产的可能性不到的可能性不到0.001，相当于，相当于8小小时内内约有半有半分分钟受影响，受影响，这一般是允一般是允许的的. . 23 某产品次品率某产品次品率p = = 0.05, ,试估计在试估计在10001000件产品中次件产品中次品数在品数在 之间的概率之间的概率 .例例5 5解解由由棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯拉普拉斯中心极限定理中心极限定理, ,有有 次品数次品数24次品数次品数注注 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 , , 显然这是过于显然这是过于保守的估保守的估计. . 25练习：练习：P114 习题三习题三 26补充题补充题解解由中心极限定理知由中心极限定理知
12、, ,27解解 由中心极限定理知由中心极限定理知, ,28解解由中心极限定理，由中心极限定理， 3.3.某某射射手手打打靶靶, ,得得1010分分、9 9分分、8 8分分、7 7分分、6 6分分的的概概率率分分别别为为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 现现独独立立射射击击100100次次, ,求总分在求总分在900900分与分与930930分之间的概率分之间的概率 .294. 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷10000次，出现正面次，出现正面5800次，是否次，是否有理由认为这枚硬币不均匀有理由认为这枚硬币不均匀? 解解: 设设X为为100
13、00次试验中出现正面的次数，次试验中出现正面的次数，若硬币是均匀的若硬币是均匀的, 则则 XB(10000, 0.5),由由D-L定理定理, , 此概率接近于此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀是合理的，故认为这枚硬币不均匀是合理的 .305. 假假设生生产线组装每件成品的装每件成品的时间服从指数分布服从指数分布, ,统计资料表明每件成品的料表明每件成品的组装装时间平均平均为1010分分钟. .设各件各件产品的品的组装装时间相互独立相互独立. . (1)(1)试求求组装装100100件成品需要件成品需要1515到到2020小小时的概率；的概率； (2)(2)以以95%95%的概率在的概率在16
14、16小小时内最多可以内最多可以组装多少件成品装多少件成品? ? 解解 设第第i件件组装的装的时间为Xi分分钟, ,i=1,100.=1,100. 利用独立同分布中心极限定理利用独立同分布中心极限定理. . (1(1) )31(2(2) )查表得查表得 解得解得故故最多可最多可组装装 81 81件成品件成品. . 32 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大独立同分布，且期望存在，故能使用大数数定律定律, , 解解k=1,2, E(Xk)=0.1,6. 在一个罐子中在一个罐子中, 装有装有10个编号为个编号为09的同样的球的同样的球, 从从 罐中有放回地罐中有放回地 抽取若干次，每次抽一个
15、，并记抽取若干次，每次抽一个，并记 下号码下号码 .问对序列问对序列Xk, 能否应用大数定律？能否应用大数定律？(1)设设k = 1,2, 33(2) 至少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使 “0”出现的频出现的频率在率在0.090.11之间的概率至少是之间的概率至少是 0.95?设应取球设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为由中心极限由中心极限定理定理, ,解解34查表得查表得35(3) 用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中, 数码数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率之间的概率 .在在100次抽取中次抽取中, 数码数码“0”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,即即E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09,解解36即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之之间的概率为间的概率为0.6826.37
