13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题点此播放教学视频点此播放教学视频点此播放教学视频点此播放教学视频 造桥选址问题造桥选址问题如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）的直线，桥要与河垂直）BA 思维分析思维分析BA 1、如图假定任选位置造、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，，那么怎样确定什么情况下最短那么怎样确定什么情况下最短呢？呢？ＭＭＮＮ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？么障碍呢？点此播放分析视频点此播放分析视频点此播放分析视频点此播放分析视频 我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BN的前提的前提下下把桥转化到一侧把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助呢？什么图形变换能帮助我们呢？我们呢？思维火花思维火花各抒己见各抒己见1、把、把A平移到岸边平移到岸边.2、把、把B平移到岸边平移到岸边.3、把桥平移到和、把桥平移到和A相连相连.4、把桥平移到和、把桥平移到和B相连相连. 上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请不变吗？请检验检验.合作与交流合作与交流1、、2两种方法改变了两种方法改变了.怎样调整呢？怎样调整呢？把把A或或B分别向下或上平移一个桥长分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢? 问题解决问题解决BAA1MN如图，平移如图，平移A到到A1，使Ａ，使ＡA1等于河宽，连接等于河宽，连接A1Ｂ交Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短短.理由；另任作桥Ｍ理由；另任作桥Ｍ１１ＮＮ１１，连接ＡＭ，连接ＡＭ１１，ＢＮ，ＢＮ１１，Ａ，Ａ１１ＮＮ１１.ＮＮ１１ＭＭ１１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１１Ｎ，ＡＡＮ，ＡＡ１１＝ＭＮ＝Ｍ＝ＭＮ＝Ｍ１１ＮＮ１１，ＡＭ，ＡＭ１１＝Ａ＝Ａ１１ＮＮ１１.AM+MN+BN转化为ＡＡ转化为ＡＡ１１＋Ａ＋Ａ１１Ｂ，而ＡＭＢ，而ＡＭ１１＋Ｍ＋Ｍ１１ＮＮ１１＋ＢＮ＋ＢＮ１１ 转 转化为ＡＡ化为ＡＡ１１＋Ａ＋Ａ１１ＮＮ１１＋ＢＮ＋ＢＮ１１.在在△△ＡＡ１１ＮＮ１１Ｂ中，由线段公理知Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞＞A1B因此ＡＭ因此ＡＭ１１＋Ｍ＋Ｍ１１ＮＮ１１＋ＢＮ＋ＢＮ１１＞＞ AM+MN+BN 作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E E，， 2. 2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M, 则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。
证证明明：：由由平平移移的的性性质质，，得得 BN∥EM BN∥EM 且且BN=EM, BN=EM, MN=CD, MN=CD, BDBD∥∥CE, CE, BD=CE,BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则ABAB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在△ACE△ACE中，中，∵AC+CE∵AC+CE＞＞AE,AE, ∴AC+CE+MN∴AC+CE+MN＞＞AE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB ＞＞AM+MN+BNAM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在CDCD处，处，ABAB两地的路程最短两地的路程最短A·BMNECD 问题问题延伸一延伸一如图，如图，A和和B两地两地之间之间有两有两条河，现要在条河，现要在两两条条河上河上各各造一座桥造一座桥MN和和PQ.桥分别建桥分别建在何处在何处才能使从才能使从A到到B的路径的路径最短？（假定河的两最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥岸是平行的直线，桥要与河要与河岸岸垂直）垂直）点此播放动画视频点此播放动画视频点此播放动画视频点此播放动画视频 思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．ＱＢ．桥桥MN和和PQ在中间，且方向不在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用能改变，仍无法直接利用“两两点之间，线段最短点之间，线段最短”解决问题，解决问题，只有利用平移变换转移到两侧只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移平移的方法有三种：两个桥长都平移到到A点处、都平移到点处、都平移到B点处、点处、MN平移平移到到A点处，点处，PQ平移到平移到B点处点处 思维方法一思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至点至AA1使使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题，此时问题转化为问题基本题型两点（型两点（A1、、B点）和一条河建桥（点）和一条河建桥（PQ））点此播放讲课视频点此播放讲课视频点此播放讲课视频点此播放讲课视频 2、利用基本问题的解决方法确定桥、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：：（（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至至A2，， 使使A1A2=PQ.（（2）连接）连接A2B交交A2的对岸的对岸Q点，在点处建桥点，在点处建桥PQ. 3、确定、确定PQ的位置，也确定了的位置，也确定了BQ和和PQ，此时问题可，此时问题可转化为由转化为由A点、点、P点和第一条河确定桥点和第一条河确定桥MN的位置的位置.连接连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ． 问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡＡ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ；ＰＱ ；连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；于Ｎ点，建桥ＭＮ；从Ａ点到Ｂ点的最短路径从Ａ点到Ｂ点的最短路径为Ａ为ＡM＋＋MN＋ＮＰ＋Ｐ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．Ｑ＋ＱＢ． 思维方法二思维方法二 沿垂直于第一条河岸方沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿垂直于第二条河岸方向平移垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交分别交A、、B的对岸于的对岸于N、、P两点，建桥两点，建桥MN和和PQ.最短路径最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为转化为AA1+A1B1+BB1. 思维方法三思维方法三沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把B点平移至点平移至B１、１、B２，使２，使BB１＝１＝PQ，，B１１B２ ２ ＝＝MN ； ；连接连接B２２A交于交于A点相邻河点相邻河岸于岸于M点，建桥点，建桥MN；；连接连接B１１N交交B１的对岸于１的对岸于P点，建桥点，建桥PQ；；从Ａ点到Ｂ点的最短路径从Ａ点到Ｂ点的最短路径为Ａ为ＡM＋＋MN＋＋NP＋ＭＮ＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为为AB2+B2B1+B1B．． 问题问题延伸二延伸二如图，如图，A和和B两地两地之间之间有三有三条河，现要在条河，现要在两两条条河上河上各各造一座桥造一座桥MN、、PQ和和GH.桥分别建桥分别建在在何处才能使从何处才能使从A到到B的的路径最短？（假定河路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，的两岸是平行的直线，桥要与河桥要与河岸岸垂直）垂直） 思维分析思维分析如图，问题中所走总路径是如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＱG+GH+HB．．桥桥MN、、PQ和和GH在中间，且方在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”解决解决问题，只有利用平移变换转移问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移平移的方法有四种：三个桥长都平移到到A点处；都平移到点处；都平移到B点处；点处；MN、、PQ平移到平移到A点处；点处；PQ、、GH平移到平移到B点处点处 问题解决问题解决沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平点平移至移至A１、１、A２、２、A3，使，使AA１１＝＝MN，，A１１A２ ＝２ ＝PQ，，A2A3 =GH ； ；连接连接A3B交于交于B点相邻河岸于点相邻河岸于H点，建桥点，建桥GH；；连接连接A2G交第二河与交第二河与G对岸的对岸的P点，建桥点，建桥PQ；；连接连接A1P交第一条河与交第一条河与A的对岸的对岸于于N点，建桥点，建桥MN.此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短. 沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平点平移至移至A１、１、A２、２、A3，使，使AA１１＝＝MN，，A１１A２ ＝２ ＝PQ，，A2A3 =GH ； ；连接连接A3B交于交于B点相邻河岸于点相邻河岸于H点，建桥点，建桥GH；；连接连接A2G交第二河与交第二河与G对岸的对岸的P点，建桥点，建桥PQ；；连接连接A1P交第一条河与交第一条河与A的对岸的对岸于于N点，建桥点，建桥MN.此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决点此播放讲题视频点此播放讲题视频点此播放讲题视频点此播放讲题视频 沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平移点平移至至A１，使１，使AA１＝１＝MN，平移，平移B点至点至B1、、B2 ,使使BB1＝＝GH，，B1B2 =PQ ；；连接连接A1B2交第一条河与交第一条河与A点相对河点相对河岸于岸于N点，交第二条河与点，交第二条河与N相邻河岸相邻河岸于于P点，建桥点，建桥MN、、PQ；；连接连接B1Q交第三条河与交第三条河与Q相邻河岸相邻河岸的的G点，建桥点，建桥GH；；此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决 沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A点平移点平移至至A１、１、A2，使，使AA１＝１＝MN，Ａ１，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移Ａ２＝ＰＱ，平移B点至点至B1 ,使使BB1＝＝GH ；；连接连接A２２B１交第三条河与Ｂ点相对１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；；连接Ａ连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；的Ｎ点，建桥ＭＮ；此时从此时从A到到B点路径最短点路径最短.问题解决问题解决点此播放解题视频点此播放解题视频点此播放解题视频点此播放解题视频 延伸小结延伸小结 同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题．平移转化桥长来解决问题． 例如例如：： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至Ａ１、Ａ２、ＡＡ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．， ，．．．，An,平移距离分平移距离分别等于各自河宽，别等于各自河宽，AnB交第交第n条河近条河近B点河岸于点河岸于Nn,建桥建桥MnNn,连接连接MnAn-1交第交第(n-1）条河近）条河近B点河岸与点河岸与Nn-1,建桥建桥Mn-1Nn-1，，...，连接，连接M1A交第一条河近交第一条河近B点河岸于点河岸于N1，建桥，建桥M1N1,此时所走路径最短此时所走路径最短. 。