第一讲第一讲 极限与连续极限与连续 一、极限的求法一、极限的求法1. 利用极限的运算性质利用极限的运算性质方法：将所求函数或数列通过一些初等变换：因方法：将所求函数或数列通过一些初等变换：因式分解、根式有理化、三角公式变换等，再利用式分解、根式有理化、三角公式变换等，再利用极限的四则运算法则、复合函数极限的运算法则、极限的四则运算法则、复合函数极限的运算法则、无穷小的运算法则无穷小的运算法则 2. 利用等价无穷小替换利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：常用的等价无穷小关系： 3. 利用重要极限利用重要极限 4. 利用洛必达法则利用洛必达法则方方法法：：先先化化简简（（初初等等变变换换、、等等价价无无穷穷小小替替换换、、非非零零因子极限先求出、变量替换），再用洛必达法则因子极限先求出、变量替换），再用洛必达法则 解法一：解法一： 原极限原极限解法二：先求解法二：先求: 原极限原极限 注：数列极限利用函数极限来求注：数列极限利用函数极限来求 例例7 已知已知 (x)为连续函数，求为连续函数，求 5. 利用左右极限利用左右极限 一一般般分分段段函函数数求求趋趋于于分分段段点点的的极极限限用用左左右右极极限限，，特别含有以下几个极限也用左右极限特别含有以下几个极限也用左右极限 例例1 求求解解:原式原式 = 1 注意此项含绝对值注意此项含绝对值 6. 利用夹逼准则利用夹逼准则(1). 一般的放一般的放缩 例例3．求．求 解解 (2). 对积分型极限利用分型极限利用积分的性分的性质放放缩例例4．求．求 解：解： (3). 进行初等行初等变形后再用形后再用夹逼定理逼定理解：解： 7. 递归数列极限的求法数列极限的求法 (1). 证明明单调有界有界方法：方法：1）、归纳法）、归纳法2）、利用函数）、利用函数 解解 解解 (2). 利用利用结论 解解 (3). 先求出极限，再先求出极限，再证明明解解 先求出先求出考察考察 7. 利用定利用定积分的定分的定义 利用利用 特别特别 解解 8. 利用泰勒公式利用泰勒公式 9. 利用利用导数的定数的定义 解解 解解 10. 利用中利用中值定理定理解解 二、由极限值确定参数二、由极限值确定参数解解 2. 确定常数确定常数 a , b , c 的值的值, 使使解解:原式原式 =又由又由～～, 得得 解解: 解解: ，在在0的某的某邻域有二域有二阶连续导数，且在数，且在x=0处解解:由题设及洛必达法则由题设及洛必达法则 解解: 三、无穷小的比较、无穷小阶的估计三、无穷小的比较、无穷小阶的估计 方法：无穷小比较实质是求极限。
方法：无穷小比较实质是求极限无穷小阶的估计最好的方法利用泰勒展开式无穷小阶的估计最好的方法利用泰勒展开式 四、函数的连续与间断四、函数的连续与间断1、判别函数连续的方法、判别函数连续的方法；（；（1））用定义2）、初等函数的连续性初等函数的连续性2、间断点类型的判别实质是求极限、间断点类型的判别实质是求极限 解解. 其中其中 x=0为跳跃间断点为跳跃间断点,x= -1x= -2 ,-3,…….为无穷间断点为无穷间断点. 例例2 解解 2、利用连续求函数、利用连续求函数 3、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质 。