同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同；由洛朗级数的唯一性可知，般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同 例例1：：在在z z0=0的邻域上把的邻域上把 展开 有孤立奇点有孤立奇点z z=0，并在，并在0<| |z z| |<∞内有内有无负幂无负幂项项若定义若定义则则 为为f1( (z z) )的泰勒级数的泰勒级数 实际是对实际是对f( (z z) )的解析延拓的解析延拓 例例2：：将将 分别在区域分别在区域| |z z| |<1、、1<| |z z| |<∞以以及及z z0=1的邻域的邻域上上展成洛朗级数展成洛朗级数 f( (z z) )的奇点为的奇点为z z=±1，展开中心，展开中心z z0=0不是奇不是奇 点，点，z z0=1是奇点 ( (1) )若在若在| |z z| |<1上，只可展开上，只可展开为泰勒泰勒级数数 ( (2) ) 无穷多个负幂项，但无穷多个负幂项，但z z0=0不是不是f( (z z) )的的奇点奇点( (3) )展开中心展开中心z z0=1 ，，为奇点奇点第一项第一项已经是展开式的一项，第二项已经是展开式的一项，第二项z z=1不是奇不是奇点，点，z z=- -1是奇点，可在是奇点，可在| |z z- -1| |<2上展开为泰勒级上展开为泰勒级数数 有限项负幂项有限项负幂项 例例3：：将函数将函数 在区域在区域| |z z| |<1、、1<| |z z| |<2、、2<| |z z| |<∞内内展成洛朗级数。
展成洛朗级数 (1) )在在| |z z| |<1内，有内，有| |z z/ /2| |<1 无负幂项，因为无负幂项，因为f( (z z) )在圆域在圆域| |z z| |<1内处处解析内处处解析 ( (2) )在在1<| |z z| |<2内，有内，有| |1/ /z z| |<1( (3) )在在2<| |z z| |<∞内，内，| |z z/ /2| |>1，，有有| |2/ /z z| |<1，，| |1/ /z z| |<1无限多无限多项正正幂项和和负幂项 无正无正幂项和和无限多无限多项负幂项例例4：：将将 在在0<| |z z| |<1及及1<| |z z| |<∞上上展成洛朗级展成洛朗级数 (1) )在在0<| |z z| |<1内内 令令n=k- -2( (2) )在在1 <| |z z| |< ∞内内令令n=-(-(k+2) 例例5：：把把 在以在以z z=0为中心的圆环区域内为中心的圆环区域内展展成洛朗级数成洛朗级数例：例：把函数把函数 在在0<| |z z| |<∞内内展开成洛朗级展开成洛朗级数。
数 e1/z z在在0<| |z z| |<∞内处处解析，从而有内处处解析，从而有展开式是唯一的！展开式是唯一的！ 。