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1、Nanjing University of Technology第七章第七章A 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2021/7/11 杆杆杆杆件件件件承承承承受受受受横横横横向向向向力力力力或或或或面面面面内内内内力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用时时时时，其其其其轴轴轴轴线线线线将将将将弯弯弯弯曲曲曲曲成成成成曲曲曲曲线线线线，这这这这种种种种变变变变形形形形形形形形式式式式称称称称为为为为弯弯弯弯曲曲曲曲。主主主主要要要要承承承承受受受受弯弯弯弯曲的杆件称为曲的杆件称为曲的杆件称为曲的杆件称为梁梁梁梁。 梁的横截面上将产生梁的横截面上将产生梁的横截面上将产生梁的横截面上将产生剪力剪力剪力剪力和和
2、和和弯矩弯矩弯矩弯矩两种内力。两种内力。两种内力。两种内力。 梁梁梁梁横横横横截截截截面面面面上上上上应应应应力力力力非非非非均均均均匀匀匀匀分分分分布布布布，强强强强度度度度失失失失效效效效最最最最先先先先从从从从应应应应力力力力最最最最大大大大点点点点处处处处发发发发生生生生。其其其其强强强强度度度度计计计计算算算算不不不不仅仅仅仅要要要要考考考考虑虑虑虑内内内内力力力力最最最最大大大大的的的的“ “危危危危险险险险截截截截面面面面” ”，而而而而且且且且要要要要考考考考虑虑虑虑应应应应力力力力最最最最大大大大的的的的“ “危危危危险险险险点点点点” ” 绝绝绝绝大大大大多多多多数数数数细
3、细细细长长长长梁梁梁梁的的的的失失失失效效效效，主主主主要要要要与与与与正正正正应应应应力力力力有有有有关关关关，剪应力的影响是次要的。剪应力的影响是次要的。剪应力的影响是次要的。剪应力的影响是次要的。 建立剪力方程和弯矩方程；建立剪力方程和弯矩方程； 绘制剪力图与弯矩图，绘制剪力图与弯矩图， 推导弯曲应力和变形公式；推导弯曲应力和变形公式； 建立弯曲强度和刚度设计方法。建立弯曲强度和刚度设计方法。 2021/7/12工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的: :桥式吊车的大梁可桥式吊车的大梁可桥式吊车的大梁可桥式吊车的大梁可以简化为两端铰支以简化为两端铰支以简化为两端铰支
4、以简化为两端铰支的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁直立式反应塔可以简化直立式反应塔可以简化直立式反应塔可以简化直立式反应塔可以简化为一悬臂梁为一悬臂梁为一悬臂梁为一悬臂梁火车轮轴可以简化为两端火车轮轴可以简化为两端火车轮轴可以简化为两端火车轮轴可以简化为两端外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁2021/7/13 弯曲弯曲梁的内力梁的内力2021/7/14 弯曲变形的内弯曲变形的内力力请思考：弯曲变形有请思考：弯曲变形有几个内力参数？几个内力参数？Q QQQ1 1、求支反力、求支反力、求支反力、求支反力2 2、1-11-1面上的内力面上的内力面上的内力面上的内力 自左向右计算自左向右计算自左向右计算自左向右计
5、算 自右向左计算又如何？自右向左计算又如何？截面法，平衡分析；截面法，平衡分析；截面法，平衡分析；截面法，平衡分析；刚刚刚刚体体体体平平平平衡衡衡衡概概概概念念念念的的的的扩扩扩扩展展展展和和和和延延延延伸伸伸伸：总总总总体体体体平平平平衡衡衡衡，则则则则其其其其任任任任何何何何局部也必然是平衡的。局部也必然是平衡的。局部也必然是平衡的。局部也必然是平衡的。弯曲变形有两个内力参数： 剪力Q和弯矩M2021/7/15剪力符号规定：剪力符号规定：剪力符号规定：剪力符号规定：弯矩符号规定：弯矩符号规定：弯矩符号规定：弯矩符号规定：左上右下为正左上右下为正左上右下为正左上右下为正下侧受拉下侧受拉下侧受
6、拉下侧受拉( (上凹下凸、左顺右逆上凹下凸、左顺右逆上凹下凸、左顺右逆上凹下凸、左顺右逆) )为正为正为正为正或使该段梁顺时针或使该段梁顺时针或使该段梁顺时针或使该段梁顺时针转动为正转动为正转动为正转动为正MMMMMMMMQ QQ QQ QQ Q 弯曲变形的内弯曲变形的内力力 左和右指什么，左和右指什么，左和右指什么，左和右指什么，上和下又指上和下又指上和下又指上和下又指什么？什么？什么？什么？ 左右、上下的左右、上下的左右、上下的左右、上下的两种解释两种解释两种解释两种解释 左和右指什么，左和右指什么，左和右指什么，左和右指什么，顺和逆又指顺和逆又指顺和逆又指顺和逆又指什么？什么？什么？什么
7、？ 左右、顺逆的左右、顺逆的左右、顺逆的左右、顺逆的两种解释两种解释两种解释两种解释2021/7/16 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可以简化为三种基本形式：以简化为三种基本形式：以简化为三种基本形式：以简化为三种基本形式：1 1、 固定铰支座固定铰支座固定铰支座固定铰支座2. 2. 可动铰支座可动铰支座可动铰支座可动铰支座3. 3. 固定端支座固定端支座固定端支座固定端支座 支座的分类支座的分类1 1、简支梁、简支梁、简支梁、简支梁2 2、外伸梁、外伸梁、外
8、伸梁、外伸梁3 3、悬臂梁、悬臂梁、悬臂梁、悬臂梁 梁的类型梁的类型2021/7/17 指定横截面上弯矩和剪力的确定指定横截面上弯矩和剪力的确定 2021/7/18FPll例例 题题ABCD 一一一一端端端端固固固固定定定定另另另另一一一一端端端端自自自自由由由由的的的的梁梁梁梁，称称称称为为为为悬悬悬悬臂臂臂臂梁梁梁梁。梁梁梁梁承承承承受受受受集集集集中中中中力力力力F FP P及及及及集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶MMO O的作用。的作用。的作用。的作用。MO=2FPl 试试试试确确确确定定定定: :截截截截面面面面C C及及及及截截截截面面面面D D上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和
9、和和弯弯弯弯矩矩矩矩。C C、D D截面与加力点无限接近。截面与加力点无限接近。截面与加力点无限接近。截面与加力点无限接近。 用用用用假假假假想想想想横横横横截截截截面面面面从从从从指指指指定定定定横横横横截截截截面面面面处处处处将将将将梁梁梁梁一一一一分分分分为为为为二二二二。考考考考察察察察其其其其中中中中任任任任意意意意一一一一部部部部分分分分的的的的受受受受力力力力，由由由由平平平平衡衡衡衡条条条条件件件件，即即即即可可可可得得得得到该截面上的剪力和弯矩。到该截面上的剪力和弯矩。到该截面上的剪力和弯矩。到该截面上的剪力和弯矩。 2021/7/19FPFPllABCDMO=2FPl 解解
10、：1 1、 应应应应用用用用静静静静力力力力学学学学平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程确确确确定定定定固固固固定定定定端端端端的的的的约约约约束力。束力。束力。束力。 2 2、应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定C C截面上的内力分量截面上的内力分量截面上的内力分量截面上的内力分量 用用用用假假假假想想想想截截截截面面面面将将将将梁梁梁梁C C截截截截面面面面处处处处截截截截开开开开，以以以以左左左左边边边边部部部部分分分分为为为为平衡对象平衡对象平衡对象平衡对象 横横横横截截截截面面面面上上上上没没没没有有有有轴轴轴轴力力力力和和和和扭扭扭扭矩矩矩矩，只只只只有有有有剪剪剪
11、剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩两两两两种种种种内力分量内力分量内力分量内力分量MA0AClFPMA02021/7/110FQCMCFPMA0FPllABCDMO=2FPl2. 2. 应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定C C截截截截面面面面上上上上的内力分量的内力分量的内力分量的内力分量CAFPlMA0 假假假假设设设设截截截截开开开开横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩均均均均为为为为正正正正方方方方向向向向。根根根根据据据据截截截截开开开开的的的的局局局局部部部部平平平平衡衡衡衡建建建建立立立立平平平平衡衡衡衡方方方方程：
12、程：程：程：结结结结果果果果均均均均为为为为正正正正值值值值表表表表明明明明所所所所假假假假设设设设的的的的C C截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的正方向是正确的。正方向是正确的。正方向是正确的。正方向是正确的。2021/7/111FPMA0FPllABCDMO=2FPl3 3、应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定D D截截截截面面面面上的内力分量上的内力分量上的内力分量上的内力分量 假假假假设设设设截截截截开开开开横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩均均均均为为为为正正正正方方方方向
13、向向向。根根根根据据据据截截截截开开开开的的的的局局局局部部部部平平平平衡衡衡衡建建建建立立立立平衡方程：平衡方程：平衡方程：平衡方程：MDFQDAFPMA0llMO=2FPlD 本本例例中中所所选选择择的的研研究究对对象象都都是是C C、 D D截截面面以以左左部部分分梁梁，如如果果以以C C、 D D截截面面以以右右部部分分梁梁作作为为平平衡对象，会如何？衡对象，会如何？2021/7/112求图示梁求图示梁求图示梁求图示梁1-11-1、2-22-2、3-33-3、4-44-4截面上的截面上的截面上的截面上的剪力和弯矩。剪力和弯矩。剪力和弯矩。剪力和弯矩。例题例题B BA A P=qP=q
14、1 11 12 22 23 33 34 44 4q q2021/7/113B BA AP=qP=qQ Q3 3MM3 3A AP=qP=q Q Q2 2MM2 2MM1 1Q Q1 1A AR RA AQ Q4 4MM4 4q qR RB BQ1RqaA54 = =Q2RqaqaA4=-=Q3=Q4qaRqaB34=-= -BA P=qP=q q q1 21 23344R RB BR RA A将将将将Q Q2 2与与与与Q Q1 1相比，观察相比，观察相比，观察相比，观察剪力的跳跃问题剪力的跳跃问题剪力的跳跃问题剪力的跳跃问题R RA AR RA A通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一
15、侧杆上通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力求得截面上的内力求得截面上的内力求得截面上的内力. .2021/7/114 可可可可以以以以直直直直接接接接通通通通过过过过截截截截面面面面一一一一侧侧侧侧杆杆杆杆段段段段上上上上的的的的横横横横向向向向力力力力的的的的代代代代
16、数数数数和和和和直直直直接接接接求求求求得得得得截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力，通通通通过过过过一一一一侧侧侧侧杆杆杆杆段段段段上上上上横横横横向向向向力力力力对对对对截截截截面面面面的的的的力矩以及力偶之代数和力矩以及力偶之代数和力矩以及力偶之代数和力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩求得截面上的弯矩求得截面上的弯矩求得截面上的弯矩 必须注意求代数和时各项的必须注意求代数和时各项的必须注意求代数和时各项的必须注意求代数和时各项的正负号正负号正负号正负号 求求求求剪剪剪剪力力力力时时时时的的的的横横横横向向向向力力力力为为为为“左左左左上上上上右右右右下下下下为为为为正正正正
17、，左左左左下下下下右右右右上为负上为负上为负上为负” 求求求求弯弯弯弯矩矩矩矩时时时时的的的的横横横横向向向向力力力力对对对对截截截截面面面面形形形形心心心心的的的的力力力力矩矩矩矩以以以以及及及及一一一一侧侧侧侧杆杆杆杆段段段段上上上上的的的的力力力力偶偶偶偶为为为为“左左左左顺顺顺顺右右右右逆逆逆逆为为为为正正正正，左左左左逆逆逆逆右右右右顺顺顺顺为为为为负负负负” 注注注注意意意意上上上上述述述述规规规规定定定定均均均均基基基基于于于于x x轴轴轴轴正正正正向向向向位位位位于于于于右右右右手手手手侧侧侧侧，若若若若相反则规定相反相反则规定相反相反则规定相反相反则规定相反2021/7/11
18、5l l: :力的作用线至所求截面的距离力的作用线至所求截面的距离力的作用线至所求截面的距离力的作用线至所求截面的距离MMQ QMMQ QmmmmQ Q =-Q Q =-轴向集中力作用面两侧轴力分量会跳跃；轴向集中力作用面两侧轴力分量会跳跃；轴向集中力作用面两侧轴力分量会跳跃；轴向集中力作用面两侧轴力分量会跳跃；集中扭矩作用面两侧扭矩内力分量会跳跃；集中扭矩作用面两侧扭矩内力分量会跳跃；集中扭矩作用面两侧扭矩内力分量会跳跃；集中扭矩作用面两侧扭矩内力分量会跳跃；横向集中力作用面两侧剪力发生跳跃；横向集中力作用面两侧剪力发生跳跃；横向集中力作用面两侧剪力发生跳跃；横向集中力作用面两侧剪力发生跳跃
19、；那么什么力作用面两侧弯矩会发生跳跃？2021/7/1161 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP P=8KN=8KNq q=12KN/m=12KN/mA AB B例题例题例题例题 求图示简支梁求图示简支梁求图示简支梁求图示简支梁1-11-11-11-1、2-22-22-22-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。R RA A R RB B R RA A =15kN =15kNR RB B =29kN=29kN根据根据根据根据1-11-1截面截面截面截面左左左左侧的外力计算侧的外力计算侧的外力计算侧的外力计算Q Q1 1 、 MM1 1 Q
20、1=+RAP =158 =7kN MM1 1 =+=+R RA A22P P(2(21.5) =1521.5) =15280.5 =26 80.5 =26 kNkNmm解：解：解：解：若根据若根据若根据若根据1-11-1截面截面截面截面右右右右侧的外力计算侧的外力计算侧的外力计算侧的外力计算Q Q1 1 、 MM1 1Q Q1 1=+(=+(q q3)3)R RB B =123=12329 =7kN29 =7kNMM1 1 =-(=-(q q3)2.5+3)2.5+R RB B4 =4 =(123)2.5+294 =26 (123)2.5+294 =26 kNmkNm2021/7/117R R
21、A A =15kN =15kNR RB B =29kN =29kN根据根据根据根据2-22-2截面截面截面截面右右右右侧的外力计算侧的外力计算侧的外力计算侧的外力计算Q Q2 2 、 MM2 2Q Q2 2 =+(=+(q q1.5)1.5)R RB B =121.5=121.529 =29 =11kN11kNMM2 2 = =( (q q1.5)1.5/2+1.5)1.5/2+R RB B1.5 1.5 = =(121.5)1.5/2+291.5 = 30 kNm(121.5)1.5/2+291.5 = 30 kNm根据根据2-2截面左侧外力计算截面左侧外力计算Q2、M2 , 请自己完成请自
22、己完成!1 11 12 22 21.5m1.5m1.5m3m2mP=8KNq=12KN/mA AB BR RA A R RB B 2021/7/118 梁的梁的内力方程内力方程 内力图内力图2021/7/119 建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和际上与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的弯矩的方法和过程是相似的，
23、所不同的，现在的弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的弯矩的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为指定横截面是坐标为指定横截面是坐标为指定横截面是坐标为x x的横截面的横截面的横截面的横截面。 需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量，而Q(x)和M(x)则是x的函数。2021/7/120例题例题例题例题 悬悬悬悬臂臂臂臂梁梁梁梁在在在在B B、C C两两两两处处处处分分分分别别别别承承承承受受受受集集集集中中中中力力力力F FP P和和和和集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶MM2 2F FP Pl l 的的的的作作作作用用用用。梁梁梁梁的的的的全全全全长长长长为为
24、为为2 2l l。试试试试求求求求梁梁梁梁的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩方程。矩方程。矩方程。矩方程。 FPllABC CMO=2FPl 解：解：解：解： 由载荷分布可知需要分为由载荷分布可知需要分为由载荷分布可知需要分为由载荷分布可知需要分为ACAC和和和和CBCB两段分析。两段分析。两段分析。两段分析。 Oyx 以梁的左端以梁的左端以梁的左端以梁的左端A A为坐标原点，建立为坐标原点，建立为坐标原点，建立为坐标原点，建立OxyOxy坐标系。坐标系。坐标系。坐标系。 x1x2 在在在在ACAC和和和和CBCB两两两两段段段段分分分分别别别别以以以以坐坐坐坐标标标标为为为为x x1
25、 1和和和和x x2 2的的的的横横横横截截截截面面面面将将将将梁梁梁梁截截截截开开开开，然然然然后后后后考考考考察察察察截截截截开开开开的的的的右右右右边边边边部部部部分分分分梁梁梁梁的的的的平平平平衡衡衡衡，由由由由平平平平衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。衡方程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。 2021/7/121FQ(x)M(x) 对对对对于于于于ACAC段段段段梁梁梁梁的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程，在在在在x x1 1处处处处截截截截开开开开后后后后，考
26、考考考察右边部分的平衡。察右边部分的平衡。察右边部分的平衡。察右边部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l x1CB 根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程 x1得得得得到到到到ACAC段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程与与与与弯弯弯弯矩方程：矩方程：矩方程：矩方程： 2021/7/122FQ(x2)M(x2)得得得得到到到到CBCB段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程与与与与弯弯弯弯矩方程：矩方程：矩方程：矩方程： FPllABMO=2FPlOyxCFP2l x2B 对对对对于于于于CBCB段段段段梁梁梁梁的的的的剪剪剪剪力力
27、力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程，在在在在x x2 2处处处处截截截截开开开开后后后后，考考考考察右边部分的平衡。察右边部分的平衡。察右边部分的平衡。察右边部分的平衡。 根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程 x2 上上上上述述述述结结结结果果果果表表表表明明明明，ACAC段段段段和和和和CBCB段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程是是是是相相相相同的；弯矩方程不同，但都是同的；弯矩方程不同，但都是同的；弯矩方程不同，但都是同的；弯矩方程不同，但都是x x的线性函数。的线性函数。的线性函数。的线性函数。 注意：注意：C截面两侧弯矩的跳跃情况！截面两侧弯矩的跳跃
28、情况！ 2021/7/123 如如如如图图图图简简简简支支支支梁梁梁梁，梁梁梁梁上上上上承承承承受受受受集集集集度度度度为为为为q q的的的的均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，梁梁梁梁的的的的长长长长度度度度为为为为2 2l l。试试试试求求求求梁的剪力和弯矩方程。梁的剪力和弯矩方程。梁的剪力和弯矩方程。梁的剪力和弯矩方程。ql ll lBAC例题例题例题例题根据平衡条件不难求得：根据平衡条件不难求得：根据平衡条件不难求得：根据平衡条件不难求得： FRBFRAOyx建立建立建立建立OxyOxy坐标系如图。此梁不需分段分析。坐标系如图。此梁不需分段分析。坐标系如图。此梁不需分段分
29、析。坐标系如图。此梁不需分段分析。xFRAFQ(x)M(x) 以以以以A A、B B之之之之间间间间坐坐坐坐标标标标为为为为x x的的的的任任任任意意意意截截截截面面面面为为为为假假假假想想想想截截截截面面面面，将将将将梁梁梁梁截截截截开开开开，取取取取左左左左段段段段为研究对象。为研究对象。为研究对象。为研究对象。x2021/7/124xFRAFQ(x)M(x)xOyxllBACqFRBFRA由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 得得得得到到到到梁梁梁梁的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方程分别为方程分别为方程分别为方程分别为
30、 这一结果表明，梁上的剪力方程是这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是的线性函数；弯矩方程是x的二次函数。的二次函数。 2021/7/125例例例例题题题题 Q QQ(xRqxqlqxA)=-=-22021/7/126例题例题例题例题Q(xRPblA)=Q(xRPalB)=-=- Q Q2021/7/127例题例题例题例题Q QMMA AB BMMabC C注意：集中力注意：集中力偶偶M M作用点作用点C C处弯矩的跳跃处弯矩的跳跃 )()()()()(:22xLLMxLRxMLMRxQlxaCBBB-=-=2021/7/128例题例题P PB BA AL Lx x简支梁受移动
31、荷载简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载简支梁受移动荷载P P作用，试求梁的最作用，试求梁的最作用，试求梁的最作用，试求梁的最大弯矩为极大时荷载大弯矩为极大时荷载大弯矩为极大时荷载大弯矩为极大时荷载P P的位置。的位置。的位置。的位置。解：解：荷载荷载荷载荷载P P移至移至移至移至x x截面处，截面处，截面处，截面处，Mmax (x)=Px(L-x)/L位置：位置：位置：位置：x x截面截面截面截面令令dMc dx=0x=L/2时，时， Mmax =P L/4跨中为最不利位置2021/7/129例题例题作图示平面刚架的内力图作图示平面刚架的内力图作图示平面刚架的内力图作图示平面刚架的内力图. .B
32、CA20kN20kN10kN10kN3m3m2m2m解：解：x xBCBC段段段段FN =0Q =10kNM= -10x kNm (0x2)BABA段段段段x xFN =-10kNQ =20kNM= -20-20x kNm (0x3)一般将竖直杆的下端看作左端10kN轴轴轴轴力力力力图图图图剪剪剪剪力力力力图图图图10kN10kN 20kN20kN弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图20kNm20kNm20kNm20kNm80kNm80kNm 轴力正值画在外侧，负值画在内侧。轴力正值画在外侧，负值画在内侧。轴力正值画在外侧，负值画在内侧。轴力正值画在外侧，负值画在内侧。 剪力正值画在外侧，负值画在内侧。剪
33、力正值画在外侧，负值画在内侧。剪力正值画在外侧，负值画在内侧。剪力正值画在外侧，负值画在内侧。 弯矩正值画在受压侧。弯矩正值画在受压侧。弯矩正值画在受压侧。弯矩正值画在受压侧。2021/7/130 载荷集度、剪力、弯矩之间的载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系微分关系 2021/7/131dxxFQFQ+ dFQMM+d Mq(x)考察考察 dx 微段的受力与平衡微段的受力与平衡 剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明 OxydxFy=0:MC=0:C略去高阶项，得到略去高阶项，得到略去高阶项，得到略去高阶项，得到2021/7/1321 1、梁上无分布荷载
34、作用：、梁上无分布荷载作用：、梁上无分布荷载作用：、梁上无分布荷载作用：q(x)=0剪力图斜率为零，为平行于剪力图斜率为零，为平行于剪力图斜率为零，为平行于剪力图斜率为零，为平行于x x轴的直线轴的直线轴的直线轴的直线QC0C0C C0有有极小值极小值0有有极大值极大值注意坐标方向注意坐标方向不同，曲线开不同，曲线开口方向不同口方向不同Qq0q0q0q0MM由：由：由：由：EDxCxxMDCxxQ(xxM+=+=221)()d)(d求出求出令令令令0)d)(d=xQ(xxM 实际上，除了在剪力实际上，除了在剪力为为0 0的截面上存在弯矩的极值外，的截面上存在弯矩的极值外，在集中力偶和横向集中力
35、作用在集中力偶和横向集中力作用截面处，也有可能获得弯矩的截面处，也有可能获得弯矩的极值。极值。为何？另另外外，除除非非有有横横向向集集中中力力作作用用，否否则则杆杆件件端端截截面面处处的的剪剪力力一一定定为零为零另另外外，除除非非有有集集中中力力偶偶作作用用，否否则则杆杆件件端端截截面面处处的的弯弯矩矩一一定定为为零零2021/7/134 各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图CC尖角尖角尖角尖角突变突变突变突变PC无变化无变化无变化无变化突变突变突变突变mmQ0Q0Q0Q0q0q0q0q02021/7/135剪力图与弯矩图的绘制方法剪力图与弯矩图的绘制方法 根根根根
36、据据据据载载载载荷荷荷荷及及及及约约约约束束束束力力力力情情情情况况况况对对对对杆杆杆杆件件件件分分分分段段段段，且且且且确确确确定定定定关关关关键面。键面。键面。键面。 应用截面法确定关键面上的剪力和弯矩数值应用截面法确定关键面上的剪力和弯矩数值应用截面法确定关键面上的剪力和弯矩数值应用截面法确定关键面上的剪力和弯矩数值（假定剪力和弯矩都为正方向）。（假定剪力和弯矩都为正方向）。（假定剪力和弯矩都为正方向）。（假定剪力和弯矩都为正方向）。 建建建建立立立立Q Qx x和和和和MMx x坐坐坐坐标标标标系系系系，并并并并将将将将关关关关键键键键面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力和弯矩值标在相应
37、的坐标系中。力和弯矩值标在相应的坐标系中。力和弯矩值标在相应的坐标系中。力和弯矩值标在相应的坐标系中。 应应应应用用用用平平平平衡衡衡衡微微微微分分分分方方方方程程程程确确确确定定定定各各各各段段段段关关关关键键键键面面面面之之之之间间间间的的的的剪剪剪剪力力力力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。 2021/7/136FA简简简简支支支支梁梁梁梁受受受受力力力力的的的的大大大大小小小小和和和和方方方方向向向向如如如如图图图图所所所所示示示示。试试试试画画画画出出
38、出出：其其其其剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图，并并并并确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩绝绝绝绝对对对对值值值值的最大值。的最大值。的最大值。的最大值。例例 题题1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5mFRAFRF求得求得求得求得A A、B B 两处的约束力两处的约束力两处的约束力两处的约束力 F FR RA A0.89 kN , 0.89 kN , F FR RF F1.11 kN1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2021/7/137 因因因因为为为为梁梁梁梁上上上上无无无无分分分分布布布布
39、载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，所所所所以以以以剪剪剪剪力力力力Q Q图图图图形形形形均均均均为为为为平行于平行于平行于平行于x x轴的直线。轴的直线。轴的直线。轴的直线。xQ/kNOxM/kN.mO确确确确定定定定关关关关键键键键面面面面两两两两侧侧侧侧的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩值值值值，并并并并将将将将其其其其标标标标在在在在坐坐坐坐标标标标系中。系中。系中。系中。1.11f0.89d d,e 1.665f0b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRFBCDEFRA 弯弯弯弯矩矩矩矩MM图图图图形形形形均均均均
40、为为为为斜斜斜斜直直直直线线线线。顺顺顺顺序序序序连连连连接接接接Q Qx x和和和和MMx x坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中各各各各点点点点，得得得得到到到到剪剪剪剪力力力力图图图图与与与与弯矩图。弯矩图。弯矩图。弯矩图。 c0.335建立建立建立建立Q- xQ- x和和和和M - xM - x坐标系。坐标系。坐标系。坐标系。 ( (发生在发生在发生在发生在EFEF段段段段) ) ( (发生在发生在发生在发生在D D、E E截面上截面上截面上截面上) ) 始终要注意剪力、始终要注意剪力、弯矩的跳跃问题！弯矩的跳跃问题！2021/7/138例例 题题qBADa4aqaFAyFBy 外外外外伸
41、伸伸伸梁梁梁梁的的的的受受受受力力力力以以以以及及及及各各各各部部部部分分分分尺尺尺尺寸寸寸寸如如如如图图图图所所所所示示示示。试试试试画画画画出出出出其其其其剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图，并并并并确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩绝对值的最大值。绝对值的最大值。绝对值的最大值。绝对值的最大值。根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得：求得：求得：求得： 2021/7/139qBADa4aqaFAyFByCOxQOxM 建建建建立立立立Q Qx x和和和和MMx x坐标系。坐标系。坐标系。坐标系。
42、9qa/4a7qa/4bdqacqaab,cqa2d 确确确确定定定定关关关关键键键键面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩值值值值，并将其标在并将其标在并将其标在并将其标在Q Qx x和和和和MMx x坐标系中。坐标系中。坐标系中。坐标系中。 在在在在ABAB段段段段上上上上，因因因因有有有有均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，剪剪剪剪力力力力图图图图为为为为一一一一斜斜斜斜直直直直线线线线；在在在在CDCD段段段段，因因因因无无无无分分分分布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，故故故故剪剪剪剪力力力力图图图图为为为为平平平平行行行行于于于于x x
43、轴轴轴轴的的的的直线。直线。直线。直线。 在在在在ABAB段段段段上上上上，因因因因有有有有均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图为为为为二二二二次次次次抛抛抛抛物物物物线线线线。且且且且因因因因q q向向向向下下下下为为为为负负负负，为为为为上上上上凸凸凸凸抛抛抛抛物物物物线线线线。从从从从剪剪剪剪力力力力图图图图可可可可知知知知在在在在e e点点点点剪剪剪剪力力力力为为为为零零零零，故故故故此此此此处处处处有有有有弯矩极值。弯矩极值。弯矩极值。弯矩极值。 极值点的位置极值点的位置极值点的位置极值点的位置可由几何关系可由几何关系可由几何关系可由几何关系求得
44、求得求得求得 从从从从图图图图中中中中不不不不难难难难得得得得到到到到剪剪剪剪力力力力与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值的的的的最最最最大大大大值值值值分分分分别为别为别为别为 2021/7/140例例题题4m4m4m3mABCDEMMq q解：解：求支反力求支反力求支反力求支反力作剪力图作剪力图作剪力图作剪力图Q Q7331kNqRQkNRQACACAA347:=-=-+斜直线斜直线斜直线斜直线段kNPqRFskNPqRFsCDADAC3814:11-=-=-=+斜直线斜直线斜直线斜直线段2021/7/1414m4m4m3mABCDEMMq qQ Q7313BDBD：水
45、平直线水平直线水平直线水平直线BEBE：水平直线：水平直线：水平直线：水平直线2作弯矩图作弯矩图作弯矩图作弯矩图MM2020.516x x mkNQB3-=-kNPQB22=+mqPRxPqxRx)Q(CDCDAA50:11=-=-=令抛物线抛物线抛物线抛物线2021/7/1424m4m4m3mABCDEMMq qQ Q73132MM2020.51666x2021/7/143例题例题一般作剪力图一般作剪力图时，从左往右，时，从左往右，随力的方向走。随力的方向走。2021/7/144例题例题Q2021/7/145例题例题Q2021/7/146 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
