第四节 向量组的秩和矩阵的秩 一、向量组的秩定义定义3.83.8 设有两个向量组 如果向量组(Ⅰ)的每一个向量 都可以由向量组(Ⅱ)表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出(线性表示)； 如果向量组(Ⅰ) 和(Ⅱ)可以相互线性表出，则称向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)等价等价，记作 或 例例1 1设向量组不难看出：即向量组(Ⅱ) 可以由向量组(Ⅰ)线性表出由此又可解出即向量组(Ⅰ)可由向量组 (Ⅱ)线性表出于是向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)等价 考虑向量组则向量组(Ⅲ) 可由向量组(Ⅰ)线性表示：故向量组(Ⅰ)不能由向量组 (Ⅲ)线性表示于是向量组(Ⅰ)、 (Ⅲ)不等价但向量 不能由 线性表示 向量组等价具有下述性质：(1) 反身性反身性任一向量组和它自身等价，即(2) 对称性对称性如果则(3) 传递性传递性如果则而 定理定理3.73.7 如果向量组 可由向量组 线性表示，并且s>t，则向量组 线性相关。
推论推论 如果向量组 线性无关，并且可以由向量组 线性表示，则 二、极大线性无关组和向量组的秩定义定义3.93.9如果向量组 的一个部分组 满足(1) 线性无关；(2) 向量组中的任意一个向量都可以由 线性表示， 则部分组 称为此 向量组的一个极大线性无关极大线性无关组组，简称极大无关组极大无关组2)’ 任意向量组 中的一个向量 添到部分组 中，则 线性无关 例例2 2 设向量组 不难看出，部分组 是线性无关的，且 中的任一向量都可以由此部分组线性表示：所以部分组 是向量组 的一个极大无关组。
例例3 设向量组 线性无关，其极大无关组就是自身如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组 定理定理3.83.8任一向量组和它的极大无关组等价推论推论1 向量组 中任意两个极大线性无关组等价推论推论2 2两个等价的线性无关的向量组所包含的向量的个数相同推论推论3 3 向量组 的任意两个极大无关组所包含向量的个数相同 定义定义3.103.10 向量组 的极大无关组中所包含向量的个数，称为次向量组的秩，记作若一个向量组仅含零向量，规定其秩为零例例4 4对于例2中的向量组 有 例例5 5 则仅含 的向量组必线性无关，其极大无关组就是其本身，所以设向量 定理定理3.93.9则它们的秩相等如果向量组 与向量组 等价，定理定理3.103.10 如果向量组 可由向量组 线性表示，且 ，则 三、矩阵的秩定义定义3.113.11 在m×n矩阵 中任取k行、k列 位于这些行、列交叉处的k2个元素按原来的相应位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式子式。
例例6 6在矩阵 中若取定A的第1行和第2列，交叉处元素可构成一阶子式若取定第1行、第2行，再取定第2列、第4列，可构成二阶子式 在例6中，已求得一个二阶子式不等于零由于A的第三行为零行，所以A的任意三阶子式都等于零，所以r (A)=2.定义定义3.123.12 设 ，A中不等于零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩秩，记作(A)=r或r (A)=r，即A中存在一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零时， r (A)=r.对于零矩阵 它的任一子式都等于零规定r (O)=0.例例7 7 注意到例6中，矩阵A是一个阶梯形矩阵，A的秩恰等于它的非零行的行数，一般，这一结论也是正确的 矩阵 的秩有下述性质： 特别地，当r (A)=m时，称A为行满秩矩阵行满秩矩阵；当r (A)=n时，称A为列满秩矩阵列满秩矩阵 当 时，称矩阵 A为满秩矩阵满秩矩阵定理定理3.113.11 矩阵经初等行变换后，其秩不变。
例例9 9设矩阵求A的秩解解对A施以初等行变换，化为阶梯形矩阵： 由最后一个矩阵，有三阶子阵而所有四阶子阵都等于0，得r (A)=3.如果继续对A施以初等列变换，A就可以化为等价标准形同样得到r (A)=3. 由定理3.11，得推论推论 设A为m×n矩阵， 其中 均为可逆矩阵，则定理定理3.123.12设A, B均为m×n矩阵，则矩阵A, B等价充分必要条件是 四、矩阵的秩与向量组的秩的关系设矩阵 如果A按行分块为则向量组 的秩称为矩阵A的行秩如果A按列分块为 ，其中则列向量组 的秩称为矩阵A的列秩 定理定理3.133.13矩阵 的秩等于A的秩推论推论矩阵的行秩和列秩相等，都等于矩阵的秩例例1010已知向量组 试求向量组 的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示 解解把向量 看作一个矩阵的行向量组，得矩阵 对A仅施以初等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换，把A化为阶梯形矩阵： 由最后的阶梯形矩阵，得r (A)=3。
因此向量组 的秩也是3 由阶梯形矩阵的最后一行，得由此可知于是向量组 可以由向量组 线性表示因此所以即 就是与原向量的一个极大线性方程组，且 例例1111设A, B均为m×n矩阵，证明：证证 设矩阵 A, B的列向量组分别为则要证只需证设向量 的一个极大无关组为向量组 的一个极大无关组为 向量组 的一个极大无关组为根据最大无关组的定义， 可由向量组线性表示；可由向量组 线性表示；于是 可由向量组线性表示因此可得即 例12证明证证设矩阵把矩阵A和C按列分块为其中 是矩阵A的第j列， 是矩阵C的第j列 所以则 可以写为 这相当于 的列向量组 可以由A的列向量组 线性表示。
根据定理3.10可得同时，由于利用上面的结果，又有所以利用同样的方法，可以证明 。