第第2 2节 节 万有引力定律的应用万有引力定律的应用第第3 3节 节 人类对太空的不懈探索人类对太空的不懈探索 一、天体质量的计算一、天体质量的计算【【思考思考】】17981798年年, ,卡文迪许利用扭秤实验卡文迪许利用扭秤实验, ,巧妙巧妙地测出了引力常量地测出了引力常量, ,他因此被称为他因此被称为““能称出地球质量的能称出地球质量的人人” ” 如图为卡文迪许测定引力常量的实验装置如图为卡文迪许测定引力常量的实验装置卡文迪许为什么被人们称为文迪许为什么被人们称为““能称出地球质量的人能称出地球质量的人””? ? 提示提示: :因为卡文迪许测出引力常量因为卡文迪许测出引力常量G G值之后值之后, ,它使万有引它使万有引力定律有了真正的实用价值力定律有了真正的实用价值, ,利用万有引力定律便可以利用万有引力定律便可以计算出地球的质量计算出地球的质量, ,所以卡文迪许被称为所以卡文迪许被称为““能称出地球能称出地球质量的人质量的人”” 1.1.地球质量的计算地球质量的计算: :在地面上在地面上, ,忽略地球的自转所造成忽略地球的自转所造成的影响的影响, ,由由mg=G ,mg=G ,可以求得地球的质量可以求得地球的质量:M=____;:M=____;同理同理: :若已知某天体的表面加速度若已知某天体的表面加速度g′g′和其半径和其半径R′,R′,与与地球质量的计算方法类似地球质量的计算方法类似, ,即可计算出此天体的质量即可计算出此天体的质量M′=_____M′=_____。
2.2.一般天体质量的计算一般天体质量的计算: :分析围绕该天体运动的行星分析围绕该天体运动的行星( (或卫星或卫星),),测出行星测出行星( (或卫星或卫星) )的运行周期和轨道半径的运行周期和轨道半径, ,由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量由由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量由 , ,得得M=_________M=_________ 二、人造卫星上天二、人造卫星上天1.1.卫星原理卫星原理: :一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做__________________运动运动, ,向心力由地球对它的向心力由地球对它的__________________提供提供, ,即即_____ ,_____ ,则卫星在轨道上运行的线速度则卫星在轨道上运行的线速度v=______v=______匀速圆周匀速圆周万有引力万有引力 2.2.宇宙速度宇宙速度: :(1)(1)第一宇宙速度第一宇宙速度使卫星能环绕地球运行所需的使卫星能环绕地球运行所需的__________________速度速度, ,其大小为其大小为v v1 1=__________,=__________,又称环绕速度。
又称环绕速度 最小发射最小发射7.9 km/s7.9 km/s (2)(2)第二宇宙速度第二宇宙速度使人造卫星脱离地球的引力束缚使人造卫星脱离地球的引力束缚, ,不再绕地球运行不再绕地球运行, ,从从__________表面发射所需的最小速度表面发射所需的最小速度, ,其大小为其大小为v v2 2=_________,=_________,又称脱离速度又称脱离速度 11.2 km/s11.2 km/s地球地球 (3)(3)第三宇宙速度第三宇宙速度使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系使物体脱离太阳的束缚而飞离太阳系, ,从地球表面发射从地球表面发射所需的最小速度所需的最小速度, ,其大小为其大小为v v3 3=___________,=___________,也叫逃逸速也叫逃逸速度 16.7 km/s16.7 km/s 一 天体质量和密度的计算一 天体质量和密度的计算1.1.天体质量的两种计算方法天体质量的两种计算方法: :(1)“(1)“自力更生法自力更生法””: :若已知天体若已知天体( (如地球如地球) )的半径的半径R R和表和表面的重力加速度面的重力加速度g,g,根据物体的重力近似等于天体对物根据物体的重力近似等于天体对物体的引力体的引力, ,得得mg=G ,mg=G ,解得天体质量为解得天体质量为M= ,M= ,因因g g、、R R是天体自身的参量是天体自身的参量, ,故称故称““自力更生法自力更生法””。
(2)“(2)“借助外援法借助外援法””: :借助绕中心天体做圆周运动的行借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星星或卫星, ,计算中心天体的质量计算中心天体的质量, ,常见的情况常见的情况: : 2.2.天体密度的计算方法天体密度的计算方法: :若天体的半径为若天体的半径为R,R,则天体的密度则天体的密度ρ= ,ρ= ,将将M= M= 代入上式得代入上式得:ρ= ,:ρ= ,特别地特别地, ,当卫星环绕天体表面运动时当卫星环绕天体表面运动时, ,其轨道半径其轨道半径r r等于等于天体半径天体半径R,R,则则ρ= ρ= 【【思考思考··讨论讨论】】若已知月球绕地球转动的周期若已知月球绕地球转动的周期T T和半径和半径r,r,由此可以求出由此可以求出地球的质量吗地球的质量吗? ?能否求出月球的质量呢能否求出月球的质量呢? ?( (物理观念物理观念) ) 提示提示: :能求出地球的质量利用能求出地球的质量利用 求出的求出的质量质量M= M= 为中心天体的质量。
做圆周运动的月球的为中心天体的质量做圆周运动的月球的质量质量m m在等式中已约掉在等式中已约掉, ,所以根据月球的周期所以根据月球的周期T T、公转半、公转半径径r,r,无法计算月球的质量无法计算月球的质量 【【典例示范典例示范】】20182018年年1212月月8 8日日, ,我国于西昌卫星发射中心成功将我国于西昌卫星发射中心成功将““嫦嫦娥四号娥四号””发射升空假设卫星贴近月球表面做圆周运发射升空假设卫星贴近月球表面做圆周运动动, , 已知卫星绕月球运行的周期为已知卫星绕月球运行的周期为T T1 1, ,月球的半径为月球的半径为R,R,引力常量为引力常量为G G试求月球的密度是多少试求月球的密度是多少? ?世纪金榜导世纪金榜导学号学号 【【解析解析】】设月球的质量为设月球的质量为M M月月,“,“嫦娥四号嫦娥四号””的质量设为的质量设为m,m,卫星运行过程中卫星运行过程中, ,月球对其吸引力为其做圆周运动提月球对其吸引力为其做圆周运动提供向心力供向心力, ,可得可得: ,: ,解得解得M M月月= = 根据数学知识可知月球的体积为根据数学知识可知月球的体积为V= πRV= πR3 3故月球的密度为故月球的密度为ρ= ρ= 答案答案: : 【【误区警示误区警示】】计算天体质量和密度的两点注意计算天体质量和密度的两点注意(1)(1)计算天体质量和密度的公式计算天体质量和密度的公式, ,既可以计算地球质量既可以计算地球质量, ,也可以计算太阳等其他星体的质量也可以计算太阳等其他星体的质量, ,需明确计算的是中需明确计算的是中心天体的质量。
心天体的质量2)(2)要注意理解并区分公式中的要注意理解并区分公式中的R R、、r,Rr,R指中心天体的半指中心天体的半径径,r,r指行星或卫星的轨道半径指行星或卫星的轨道半径, ,只有在近只有在近““地地””轨道运轨道运行时才有行时才有r=Rr=R 【【母题追问母题追问】】1.1.在在【【典例示范典例示范】】情境中情境中, ,某宇航员登陆月球后某宇航员登陆月球后, ,在距在距月球表面月球表面h h0 0处将一小球以初速度处将一小球以初速度v v0 0水平抛出水平抛出, ,求落地点求落地点和抛出点的水平距离和抛出点的水平距离 【【解析解析】】设月球表面的重力加速度为设月球表面的重力加速度为g′,g′,在月球表面在月球表面放一质量为放一质量为m m0 0的物体的物体, ,月球对其引力等于它所受月球对其引力等于它所受““重重力力””, ,即即小球竖直方向做初速度为小球竖直方向做初速度为0,0,加速度为加速度为g′g′的匀加速直线的匀加速直线运动运动, ,设运动时间为设运动时间为t,t,即即 g′tg′t2 2=h=h0 0解得解得 水平方向匀速直线运动水平方向匀速直线运动, ,即即答案答案: : 2.2.在在【【典例示范典例示范】】情境中情境中, ,若若““嫦娥四号嫦娥四号””距离月球表距离月球表面的高度为面的高度为h,h,测得在该处做圆周运动的周期为测得在该处做圆周运动的周期为T T2 2, ,则月则月球的密度如何表示球的密度如何表示? ? 【【解析解析】】当当““嫦娥四号嫦娥四号””距离月球表面的距离为距离月球表面的距离为h h时时, ,忽略自转有忽略自转有 答案答案: : 【【补偿训练补偿训练】】 1.1.已知引力常量已知引力常量G G、月球中心到地球中心的距离、月球中心到地球中心的距离R R和月球绕地球运行的周期和月球绕地球运行的周期T,T,仅利用这三个数据仅利用这三个数据, ,可以估可以估算出的物理量有算出的物理量有 ( ( ) )A.A.月球的质量 月球的质量 B.B.地球的质量地球的质量C.C.地球的半径地球的半径D.D.地球的密度地球的密度 【【解析解析】】选选B B。
由天体运动的受力特点由天体运动的受力特点, ,得得 , ,可得地球的质量可得地球的质量M= ,M= ,由于不知道地球的半径由于不知道地球的半径, ,无法无法求解地球的密度和环绕天体的质量、密度求解地球的密度和环绕天体的质量、密度, ,故故B B正确 2.2.登月舱在离月球表面登月舱在离月球表面112 km112 km的高空绕月球运行的高空绕月球运行, ,运行运行周期为周期为120.5 min,120.5 min,已知月球半径为已知月球半径为1.7×101.7×103 3 km, km,试估算试估算月球的质量月球的质量 (答案保留两位有效数字答案保留两位有效数字) ) 【【解析解析】】设登月舱的质量为设登月舱的质量为m m舱舱, ,月球的质量为月球的质量为M M月月, ,月球月球的半径为的半径为r r月月, ,登月舱离月球表面的距离为登月舱离月球表面的距离为r,Fr,F引引= = 舱绕月球做圆周运动舱绕月球做圆周运动, ,所以向心力的大小为所以向心力的大小为F F向向=m=m舱舱(r(r月月+r) +r) 因为因为F F引引=F=F向向, ,所以所以得得M M月月= = 将已知的数据代入上式将已知的数据代入上式, ,可得月球的质量为可得月球的质量为6.7×106.7×102222 kg kg。
答案答案: :6.7×106.7×102222 kg kg 二 发射速度和宇宙速度二 发射速度和宇宙速度1.1.人造卫星的两个速度人造卫星的两个速度: :(1)(1)发射速度发射速度: :指将人造卫星送入预定轨道运行所必须指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度卫星离地面越高具有的速度卫星离地面越高, ,卫星的发射速度越大卫星的发射速度越大2)(2)绕行速度绕行速度: :卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度根据的线速度根据v= v= 可知可知, ,半径越大半径越大, ,卫星的绕行速卫星的绕行速度就越小度就越小 2.2.第一宇宙速度的推导第一宇宙速度的推导: :方法一方法一: :由由 得得 =7.9×10=7.9×103 3 m/s m/s方法二方法二: :万有引力近似等于星球表面的重力万有引力近似等于星球表面的重力, ,由由得得 =7.9×10=7.9×103 3 m/s m/s 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度, ,也是人造卫也是人造卫星的最大环绕速度。
星的最大环绕速度 3.3.宇宙速度与运动轨迹的关系宇宙速度与运动轨迹的关系: :(1)v(1)v发发=7.9 km/s=7.9 km/s时时, ,卫星绕地球做匀速圆周运动卫星绕地球做匀速圆周运动2)7.9 km/s
节省发射所需要的能量 (2)(2)飞入轨道的卫星是否不再受到地球引力的作用飞入轨道的卫星是否不再受到地球引力的作用? ?( (科学思维科学思维) )提示提示: :不是不是, ,卫星仍然受到地球引力的作用卫星仍然受到地球引力的作用, ,但地球引力但地球引力全部用来提供向心力全部用来提供向心力 【【典例示范典例示范】】已知地球的质量约为火星质量的已知地球的质量约为火星质量的1010倍倍, ,地球的半径约为地球的半径约为火星半径的火星半径的2 2倍倍, ,则航天器在火星表面附近绕火星做匀则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为速圆周运动的速率约为 世纪金榜导学号世纪金榜导学号( ( ) )A.3.5 km/sA.3.5 km/s B.5.0 km/sB.5.0 km/sC.17.7 km/sC.17.7 km/sD.35.2 km/sD.35.2 km/s 【【解析解析】】选选A A根据题设条件可知根据题设条件可知:M:M地地=10 M=10 M火火,R,R地地=2R=2R火火, ,由万有引力提供向心力由万有引力提供向心力 因为地球的第一宇宙速度为因为地球的第一宇宙速度为v v地地=7.9 km/s,=7.9 km/s,所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率速率v v火火≈≈3.5 km/s,3.5 km/s,选项选项A A正确。
正确 【【素养训练素养训练】】1.1.北京时间北京时间20192019年年4 4月月1010日日2121点点, ,人类首张黑洞照片发人类首张黑洞照片发布了布了, ,在包括中国上海在内的六地同时召开新闻发布会在包括中国上海在内的六地同时召开新闻发布会, ,向全球宣布了这一项重大成果向全球宣布了这一项重大成果, ,连光也不能逃逸进入连光也不能逃逸进入太空的天体叫黑洞关于黑洞的说法正确的是太空的天体叫黑洞关于黑洞的说法正确的是 ( ( ) ) A.A.黑洞的第一宇宙速度大于光速黑洞的第一宇宙速度大于光速B.B.黑洞的第一宇宙速度等于光速黑洞的第一宇宙速度等于光速C.C.黑洞的第二宇宙速度大于光速黑洞的第二宇宙速度大于光速D.D.黑洞的第二宇宙速度小于光速黑洞的第二宇宙速度小于光速【【解析解析】】选选C C黑洞是指密度极大的天体它的逃逸速黑洞是指密度极大的天体它的逃逸速度度( (黑洞的第二宇宙速度黑洞的第二宇宙速度) )大于光速大于光速, ,也就是说连光也不也就是说连光也不能从黑洞的引力场逃逸出来故能从黑洞的引力场逃逸出来故C C正确正确,A,A、、B B、、D D错误 2.2.若取地球的第一宇宙速度为若取地球的第一宇宙速度为8 km/s,8 km/s,某行星的质量是某行星的质量是地球质量的地球质量的6 6倍倍, ,半径是地球半径的半径是地球半径的1.51.5倍倍, ,此行星的第此行星的第一宇宙速度约为一宇宙速度约为 ( ( ) )A.16 km/sA.16 km/s B.32 km/sB.32 km/s C.4 km/sC.4 km/s D.2 km/sD.2 km/s 【【解析解析】】选选A A。
第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度, ,对于近地卫星对于近地卫星, ,其轨道半径近似等于地球半径其轨道半径近似等于地球半径, ,所受万所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力有引力提供其做匀速圆周运动的向心力, ,根据万有引力根据万有引力定律和牛顿第二定律得定律和牛顿第二定律得 因行因行星的质量星的质量M′M′是地球质量的是地球质量的6 6倍倍, ,半径半径R′R′是地球半径的是地球半径的1.51.5倍倍, ,则则 =2,=2,故故v′=2v=16 km/s,Av′=2v=16 km/s,A正确 【【补偿训练补偿训练】】 一探月卫星的轨道是圆形的 一探月卫星的轨道是圆形的, ,且贴近月球表面已且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的知月球的质量约为地球质量的 , ,月球的半径约为地月球的半径约为地球半径的球半径的 , ,地球上的第一宇宙速度约为地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s,7.9 km/s,则则该探月卫星绕月球运行的速率约为该探月卫星绕月球运行的速率约为 ( ( ) )A.0.4 km/sA.0.4 km/s B.1.8 km/sB.1.8 km/sC.11 km/sC.11 km/sD.36 km/sD.36 km/s 【【解析解析】】选选B B。
对于环绕地球或月球的人造卫星对于环绕地球或月球的人造卫星, ,其其所受万有引力即为它们做圆周运动所需的向心力所受万有引力即为它们做圆周运动所需的向心力, ,即即 第一宇宙速度指的是最第一宇宙速度指的是最小发射速度小发射速度, ,同时也是近地卫星的环绕速度对于地同时也是近地卫星的环绕速度对于地球的近地卫星来说球的近地卫星来说, ,其轨道半径近似等于地球半径其轨道半径近似等于地球半径, ,探月卫星绕月球飞行的轨道半径约等于月球半径探月卫星绕月球飞行的轨道半径约等于月球半径, ,所以所以 ×7.9 km/s≈ ×7.9 km/s≈1.8 km/s1.8 km/s故正确答案为故正确答案为B B 【【拓展例题拓展例题】】考查内容考查内容: :万有引力定律的应用万有引力定律的应用【【典例典例】】位于贵州的位于贵州的““中国天眼中国天眼””(FAST)(FAST)是目前世界是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜。
通过上口径最大的单天线射电望远镜通过FASTFAST测得水星测得水星与太阳的视角为与太阳的视角为θ(θ(水星、太阳分别与观察者的连线所水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角夹的角),),如图所示若最大视角的正弦值为如图所示若最大视角的正弦值为k,k,地球和地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动, ,则水星的公转周则水星的公转周期为期为 ( ( ) ) 【【解析解析】】选选C C如图所示如图所示, ,连接太阳、水星和观察者连接太阳、水星和观察者, ,构构成虚线三角形成虚线三角形, ,由正弦定理得由正弦定理得 , ,当当sinα=1,sinα=1,即即α=90°α=90°时时θθ最大最大, ,即此时观察者与水星的连线应与即此时观察者与水星的连线应与水星轨道相切水星轨道相切, ,由三角函数可得由三角函数可得, ,此时此时sinθ= =k,sinθ= =k,由由万有引力提供向心力 万有引力提供向心力 , ,解得解得:T= :T= ( (也可以直接由开普勒第三定律得到也可以直接由开普勒第三定律得到),), 得得T T水水=T=T地地· ,· ,而而T T地地=1=1年年, ,故故T T水水= = 年年, ,故选故选C C。
【【课堂回眸课堂回眸】】 。