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1、第三章离散傅里叶变换（DFT）傅立叶级数（DFS）傅立叶变换（DFT）DFT应用DFT存在的问题FS FT DFS DTFT ：FS：傅立叶级数展开,用于分析连续周期信号,时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点。FT：傅立叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。DTFT：离散时间傅立叶变换，它用于离散非周期序列分析，由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周
2、期对应频域连续周期的特点。DFS：离散时间傅立叶级数，离散周期序列信号，取主值序列，得出每个主值在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。离散性离散性离散性离散性 谐波性谐波性谐波性谐波性 周期性周期性周期性周期性离散性离散性离散性离散性 谐谐谐谐波性波性波性波性 衰减衰减衰减衰减性性性性连续连续周期周期离散离散FS非周期非周期DTFTDFSFT密度性密度性密度性密度性 连连连连续性续性续性续性 周期周期周期周期性性性性密度性密度性密度性密度性 连续性连续性连续性连续性 衰衰衰衰减性减性减性减性采样采样采样采样采样采样采样采样周周周周期期期期 周周周周期期期期 DFT的提出：离散
3、傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT，它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。0、离散时间傅立叶变换“DTFT”是“DiscreteTimeFourierTransformation”的缩写。传统的傅立叶变换（FT）一般只能用来分析连续时
4、间信号的频谱，而计算机只会处理离散的数字编码消息，所以应用中需要对大量的离散时间序列信号进行傅立叶分析。DTFT就是对离散非周期时间信号进行频谱分析的数学工具之一。其中为数字角频率，单位为弧度。注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。局限性局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变
5、换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角频率上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须建立时域离散和频域离散的对应关系。1、傅里叶级数周期为周期为N的序列的序列基频序列为k次谐波序列为因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1). 也是以N为周期的周期序列故所有谐波成分中只有N个是独立的，可以用这N个独立成分将展开。是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：习惯上：记1. 1.周期性周期性2. 2
6、.共轭对称性共轭对称性3. 3.可约性可约性4. 4.正交性正交性WN的性质的性质:是周期序列离散傅立叶级数第k次谐波分量的系数，也称为周期序列的频谱。可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为，幅度为DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系本质的联系。则DFS变换对可写为DFS离散傅里叶级数变换IDFS离散傅里叶级数反变换。与连续周期信号的傅立叶级数相比较，周期序列的离散傅立叶级数的特
7、点特点：（1）连续性周期信号的傅立叶级数对应的谐波分量的系数有无穷多。而周期为N的周期序列，其离散傅立叶级数谐波分量只有N个是独立的。（2）周期序列的频谱也是一个以N为周期的周期序列。例例：一个周期矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4，一个周期的采样点数为16点，显示3个周期的信号序列波形，并要求：（1）用傅立叶级数求信号的幅度频谱和相位频谱。（2）求傅立叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行对比。clear;N=16;xn=ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4);xn=xn,xn,xn;n=0:3*N-1;k=0:3*N-1;Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).(n*k);
8、%DFS变换x=(Xk*exp(j*2*pi/N).(n*k)/N;%IDFS变换subplot(2,2,1),stem(n,xn);title(x(n);axis(-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn);subplot(2,2,2),stem(n,abs(x);%显示IDFS结果title(IDFS|X(k)|);axis(-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x);subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk);%序列幅度谱title(|X(k)|);axis(-1,3*N,1.1*min(abs(Xk),1.1*max(abs(Xk);su
9、bplot(2,2,4);stem(k,angle(Xk);%序列相位谱title(arg|X(k)|);axis(-1,3*N,1.1*min(angle(Xk),1.1*max(angle(Xk);比较可知，逆变换的图形比原信号的图形幅度扩大很多，主要因为周期序列长度为单周期序列的3倍，做逆变换时未做处理。可将IDFS改成：x=(Xk*exp(j*2*pi/N).(n*k)/(3*3*N);序列周期重复次数对序列频谱的影响：序列周期重复次数对序列频谱的影响：理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理，然后再让K趋于无穷大，研究
10、其极限情况。基于该思想，可以观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向离散谱过渡的过程。例例：一个矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2，一个周期的采样点数为10点，要求用傅立叶级数求信号的幅度频谱。重复周期数分别为：1，4，7，10.clear;xn=ones(1,5),zeros(1,5);Nx=length(xn);%单周期序列长度Nw=1000;dw=2*pi/Nw;%把2*pi分为Nw份频率分辨率为dwk=floor(-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5);%建立关于纵轴对称的频率相量forr=0:3;K=3*r+1;%1,4,7,10nx=0:(K*Nx-1);%周期
11、延拓后的时间向量x=xn(mod(nx,Nx)+1);%周期延拓后的时间信号xXk=x*(exp(-j*dw*nx*k)/K;%DFSsubplot(4,2,2*r+1),stem(nx,x);axis(0,K*Nx-1,0,1.1);ylabel(x(n);subplot(4,2,2*r+2),plot(k*dw,abs(Xk);axis(-4,4,0,1.1*max(abs(Xk);ylabel(X(k);end结论：序列的周期数越多，频谱越是向几个频点集中，当序列信号的周期数N为无穷大时，频谱转化为离散谱。DFS的局限性的局限性：在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时间n 上
12、是离散的，在频率上也是离散的，且频谱是的周期函数，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此，还有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：2、离散傅里叶变换（DFT）1）主值区间与主值序列对于周期序列，定义其第一个周期n=0N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值
13、序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：其中：RN(n)为矩形序列。符号(n)N是余数运算表达式，表示n对N 求余数。周期序列的主值区间与主值序列周期序列的主值区间与主值序列：即nmodN：x(n)与的图形表示：nn00例：是周期为N=4的序列，求n=6和n=-1对N的余数。因此:nn003362-1例：解：结论：频域上的主值区间与主值序列：频域上的主值区间与主值序列：周期序列的离散付氏级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。数学表示：周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1），它们完全适用于主值序列x(n)
14、与X(k)，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。2）离散傅里叶变换的定义即有限长序列的DTFT长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)，实际上x(n)与X(k)都是长度为N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。有限长序列隐含着周期性。由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时又对区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带有了周期性。另外，
15、DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。DFT的矩阵方程表示：的矩阵方程表示：有限长序列的离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT）的意义：1、为序列在离散频率点上的频谱值。2、相当于频谱在范围内实施了等间隔采样，采样间隔为DFT与与Z变换的关系：变换的关系：长度为N的序列其Z变换：与离散傅立叶变换（DFT）相比较有：可见序列的N点点DFT是是x(n)的Z变换在单位圆上N点的等间隔采样。显然，对于同一序列，当频率采样点数不同时，其DFT的值也不同。例：已知，分别求和时的。
16、解：解：由该例可知：由该例可知：频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT的结果也不同。3）DFT性质：以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列的DFS有关。假定x1(n)与x2(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅里叶变换分别为：X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n)(1)线性DFTax1(n)+bx2(n)=aX1(k)+bX2(k),a,b为任意常数注意：如果两序列的长度各不相同，x1(n)为N1点，x2(n)为N2点，则ax1(n)+bx2(n)的长度为N3=max(N1,N2)点，其DFT也应为N3点。如果N1+=-=O=-=qNNmcLMmlqNn
17、xnxNNaLMaLNLMLNmnxLMNLMNmnxmhnxnhnymnxmhnhnxnyLnhMnx)()(,)(,max,max)()()()()()()()(*)()()()(1010：点进行周期延拓，因此对在计算循环卷积时，要点，为补零点，总之需要取其中时）点（当要么就是时），点（当的取值要么是则由于循环卷积：线性卷积：点序列。是点序列，是假定*N)(*)()()(1)()()() 1()(),()(),(22,01, 1 , 0)()(2,01, 1 , 0)()() 1()(),()()(1nhnxnynyLMNnhnxnyLMnhnxnhnxLMLnLnnhnhLMMnMnnx
18、nxLMnhnxnhLnxM=-+=-+-+=-=-+=-=-+而，直接计算：长度为的一个周期，周期各是周期序列：认为步骤点，即：，它们的长度都是列分别作扩展，构成新序点序列，点序列：对步骤LLLL计算方法与步骤：NN（2）用）用DFT计算线性卷积计算线性卷积例：例：x(n)(a)0n211h(n)(b)0n2 21y(n)(c)0n46 631*=解：因为M=3,L=3，所以M+L-1=5，即N=50n2114n021240n21240n2124计算910111213以上可以依规律由线性卷积写出0 , 0 , 1 , 3 , 6 ,10,14,18,18,14, 9 , 3 , 0)()()
19、(0 , 1 , 3 , 6 ,10,14,18,18,14, 9 , 3 , 0)()()(1 , 3 , 6 ,10,14,18,18,14, 9 , 3 , 0)()()(3 , 6 ,10,14,18,18,14, 9 , 3 , 1)()()(6 ,10,14,18,18,14, 9 , 4 , 3)()()(8)(1 , 3 , 6 ,10,14,18,18,14, 9 , 3 , 0)(210,14,18,18,14,10, 6 , 6)(12121212121=nxnxnynxnxnynxnxnynxnxnynxnxnynynynyllc并计算：点周期的周期性延拓，作如果对）算
20、方法，可得：解：依前述循环卷积计，例例:8)(*)()()()()(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 3 , 0)(1 , 1 , 1 , 1)(212121=nxnxnynxnxnynxnxlc。和求，设两个序列分别为：混叠点数为前(M+L-1)-N)，N为循环卷积点数，(M+L-1)为线性卷积长度。圆周卷积等于线性卷积而不产生圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件混淆的必要条件是：NM+L-1（3）无限长序列的线性卷积）无限长序列的线性卷积叠接相加法原理：说明说明：由于线性卷积的特点是将一个序列（如h(n)）翻转后，沿坐标轴从左边移入x(n)，在右边移出x(n)，所以在x
21、(n)的前后将有一“过渡过程”，其长度为M-1。因此，将x(n)分段后，在每一小段的前后都将产生这样的过渡过程，（4）用）用DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析采样截短DFT用DFT对连续信号进行谱分析是一种近似分析方法。对于连续的单一频率周期信号:为信号的频率可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度N选得合理，XN(k)可完全等于Xa(j)的采样。窗口傅立叶变换对离散时间信号序列加窗截取会造成两个影响两个影响：a）降低了频率分辨率，也称为物理分辨率；b）造成频率的泄漏。051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810
22、kX(k)051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)(a)(b)(c)(d)不同截取长度的正弦信号及其DFT结果物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分，或者说越能体现细节（即在频域中描述得比较精确）对离散时间信号xa(n)截取有限长度为N的信号过程可以表示为：比如你的信号中有个5Hz，10Hz，10.2Hz，20Hz，25Hz等正弦成分，他们相邻的最小频率间隔是10.2-10=0.2Hz，也就是说你需要把10和10.2Hz这两个成分分开即可（如果分辨率太高则数据量太长，浪费计算时间，如果分辨率太低，则无法把这两个频率分开），所以你可以选择截
23、取的最小时长为t=1/(10.2-10)=5秒。这样再根据你的采样频率取设定采样点数，比如采样频率是fs=100Hz，那么5秒则需要N=t*fs=5*100=500点。这是满足以上理论的最小点数。物理频率分辨率对于补零至M点的DFT，只能说它的分辨率仅具有计算上的意义，并不是真正的、物理意义上的频谱。频谱分辨率的提高只能在满足采样定理的条件下增加时域采样长度来实现。DFT相当于对单位圆上Z变换所作的等间隔的采样，也就是说对于DTFT在频率上作了N点的采样。那么其频率的分辨率：这就是所谓的计算分辨率。若一定，则要求的采样点的数目N应该满足靠补零来增加DFT的点数，只能提高其“名义”分辨率，实际的
24、分辨率是有数据窗的宽度决定的计算分辨率5）DFT应用中的几个问题应用中的几个问题（1）频率分辨率及DFT参数的选择（2）栅栏效应N点DFT是在频率区间0，2上对信号频谱进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点X(k)，且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡，所以称之为栅栏效应。因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这就有可能漏掉一些较大频率分量。当然，在实际问题中，大的频谱分量被挡住的情形还是很少的，栅栏效应并不是一个很严重的问题。从根本上讲，用离散的DFT谱来近似连续的DTFT谱，误差总是
25、有的，即从理论上，栅栏效应是不可能消除的。减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。补零问题补零问题：（即增加DFT的计算式中的N值，同时保持原有数据不改变）填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上通常规定DFT的频率分辨率为，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。补零内插提高的叫计算分析精确度，
26、扩展时间长度提高的是物理精确度，前者只是看着频谱变精确了，却可能忽略掉了一些细节，而后者是实实在在的提高精度。序列补零带来分析分辨率的提高，但是弥补不了物理分辨率的不足红色的曲线是矩形窗序列的DTFT和正弦信号的正频率分量在频域卷积后频移的结果，蓝色的对应负频率分量，绿色的曲线是最终有限长正弦序列的DTFT的模值扩展时间长度提高物理精确度（物理分辨率）（3）频谱泄漏在分析信号频谱的时候，由于受到计算能力的影响，只能处理有限长的信号。这就必须截取时间函数的一个有限范围，即把观测到的信号限制在一定的时间间隔之内。换句话说，就是要取出信号的某一个时间段。这种过程就是截断数据的过程。这种截断过程相当于
27、对信号进行加窗，即信号乘以窗函数。根据傅里叶变换的卷积定理，信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗信号的频谱在频域作卷积。显然，这种卷积过程将造成信号频谱的失真。而且，如果信号所乘的是矩形窗函数（通常，简单的截取信号就相当于乘的是矩形窗），失真频谱将产生“拖尾”（频谱延伸扩展）现象原有受限的频谱图形“扩展”开来，这就称之为频谱泄漏。注意，泄漏并不能与混叠完全分开。这是因为，频率泄漏会导致频谱扩展，从而使信号的最高频率有可能超过折叠频率fs/2，造成混叠失真。由于实际应用的需要，对信号进行截断是必须的，所以由此引起的频谱泄漏也显然是无法避免的。不过，通过改善窗函数的形状，可以达到减少泄漏的目的。通
28、常的矩形窗在时域有突变，使得频域拖尾严重，收敛很慢。为了解决这个矛盾，人们已经研究了各种形式的窗函数，例如：海明(Hamming)窗汉宁(Hanning)窗布莱克曼(Blackman)窗它们都在不同程度上压低了窗函数频谱的旁瓣，减弱了频率泄漏现象。矩形窗函数的缺点：矩形窗的特性是非常重要的，因为不管你是否乐意，只要是有限长的序列，就等于先加上了一个矩形窗，那么这个“配送”的窗函数的频谱特性必然永远如影随形般的跟着我们的有限长信号。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱
29、延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。例如，信号为，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数进行卷积，原来在0处的一根谱线变成了以0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（s）内只有一个频率上有非零值，而现在一个周期内几乎所有频率上都有非零值，即的频率成份从0处“泄漏”到其它频率处去了。考虑各采样频率周期间频谱“泄漏”后的互相串漏，卷积后还有频谱混迭现象产生（见图）。RN()X(ej)Y(ej)|RN(ejw)|RN(ejw)DTFT：矩形窗长度的影响（复数模值）矩形窗长度的影响（复数模值）：N4点N8点N16点N3
30、2点线性坐标幅度谱对数坐标幅度谱N8点N16点N32点N8点N16点N32点汉宁（hanning）窗复数模值gauss窗复数模值N8点N16点N32点N8点N16点N32点汉明（hamming）窗复数模值blackman窗复数模值因此，减小泄漏的方法，首先是取更长的数据，也就是窗宽加宽，当然数据太长，必然使运算存储量都增加，其次数据不要突然截断，也就是不要加矩形窗，而是要缓慢截断，即加各种缓变的窗。（4）混迭对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。参数选择的一般原则：若已知信号的最高频率fmax，为防止混叠，选定采样频率根据频率分辩率f，确定所需DFT的长度fs和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度这里T是采样周期。
