解排列组合的常用技巧

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1、解排列组合的常用技巧解排列组合的常用技巧 解排列问题的常用技巧解排列问题的常用技巧 解排列组合问题，首先必须认真审题，明解排列组合问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列组合问题，其次是抓住问确问题是否是排列组合问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。刃而解。 下面就不同的题型介绍几种常用的解题技下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。巧。总的原则总的原则合理分类和准确分步合理分类

2、和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。解法解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例例1 6个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相， 2个个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有

3、种方法种方法.2)若甲在第若甲在第2、3、6、7位，则位，则排尾的排法有排尾的排法有 种，种，1位的排法位的排法有有 种种, 第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 种种，根据分步计数，根据分步计数原理，不同的站法有原理，不同的站法有 种。种。再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？且能被五整除的五位数？练练 习习 1分类：后两位数字为分类：后两位数字为5或或0：个位数为个位数为0：个位数为个位数为5：（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250

4、的五位数？的五位数？分类：分类：引申引申1：31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）引申引申2：由：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的组成的无重复数字的五位数中大于五位数中大于31250，小于，小于50124的数共有多少个？的数共有多少个？2004 全国12 在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复的5位数中，大于23145且小于43512的数共有（ 58 ）个（一）（一）“特殊元素、特殊位置优先安排法特殊元素、特殊位置优先

5、安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。素，再考虑其它元素。 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（的三位数，其中偶数共有（ ）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优元素，应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类；1

6、)0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2)0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；3)由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.B解题技巧解题技巧 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？数字的五位数？（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字的五位奇数？字的五位奇数？练练 习习 2（3）(2005 北京北京文文)五个工程队承建某项工程五个工程队承建某项工程的的5个不同的子项目，每个工程队承建个不同的子项目，每

7、个工程队承建1项，其项，其中甲工程队不能承建中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建号子项目，则不同的承建方案共有（方案共有（ ）种。）种。（4）(2005 全国全国II 理理)在由数字在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有被整除的数共有_个个 解：不能被解：不能被5整除的有两种情况：情况整除的有两种情况：情况1、首位为、首位为5有有 种，情况种，情况2、首位不是、首位不是5的有的有 种，故在由数字种，故在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，所组成的没有重复数字的四位数中，不能被整除的数共有

8、不能被整除的数共有 + =192(个个) 例例3 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中数字的三位数，其中1不在个位的数共有不在个位的数共有_种。种。（二）间接法（二）间接法 (总体淘汰法总体淘汰法,正难则反）正难则反） 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。 分析分析：五个数组成三位数的全排列有五个数组成三位数的全排列有 个，个，0排在首位的排在首位的有有 个个 ，1排在末尾的有排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为法数，再加回百位为0同时个位为同时个位

9、为1的排列数的排列数 （为什么？）（为什么？）故共有故共有 种。种。（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？在最左，乙不在最右，有几种不同方法？ （2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72直接练练 习习 3 （3）用用间接法解例间接法解例1“6个同学和个同学和2个老师排成一个老师排成一排照相，排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙个老师站中间，学生甲不站排头，

10、学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？不站排尾，共有多少种不同的排法？”（4）（）（2005福建福建理）从理）从6人中选人中选4人分别到巴黎、人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A300种种B240种种 C144种种 D96种种B（直接法）分三种情况：（直接法）分三种情况：情况一情况一,不选甲、乙两个去游览不选甲、乙两个去游览:则有则有 种选择方案种选择

11、方案,情况二情况二:甲、乙中有一人去游览：有甲、乙中有一人去游览：有 种选择方案种选择方案;情况三情况三：甲、乙两人都去游览甲、乙两人都去游览,有有 种选择方案种选择方案,综上不同的选择方案共有综上不同的选择方案共有 + + =240 （间接法）（三）相邻问题（三）相邻问题捆绑法捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素邻的元素“捆绑捆绑”在一起，看作一个在一起，看作一个“大大”的元（组）的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部，与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。进行排列。例例4 7人站成一排照相，要

12、求甲，乙，丙三人相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余与其余4人共有人共有5个元素做全排列，有个元素做全排列，有 种排法，然后种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列。对甲，乙，丙三人进行全排列。由分步计数原理可得：由分步计数原理可得： 种不同排法。种不同排法。（四）不相邻问题（四）不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不

13、相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。例例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：可先让其余分析：可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法。同的排法。（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？各站一起

14、，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：插空法：插空法：（3）(2005 辽宁辽宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有有_个（用数字作答）个（用数字作答） 练练 习习 4(3)(2005 辽宁辽宁)用、用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，与相邻，与相邻

15、，而与不相邻，这样的八位数共有这样的八位数共有_个（用数字作答）个（用数字作答） 将与，与，与捆绑在一起排成一列将与，与，与捆绑在一起排成一列有有 种，再将、插入种，再将、插入4个空位中的两个个空位中的两个有有 种，故有种，故有 种种 引申引申:用、组成没有重复数字用、组成没有重复数字的六位数，要求与相邻，与相邻，与的六位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，现将相邻，现将7、8 插进去，仍要求与相邻，与插进去，仍要求与相邻，与相邻，与相邻，那么插法共有相邻，与相邻，那么插法共有_种种（用数字作答）（用数字作答） 例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，

16、将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？（五）顺序固定问题用（五）顺序固定问题用“除法除法”（或用（或用“瑜静法瑜静法”） 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。 分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮

17、到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，（1）三个男生，四个女生排成一排，其中三个男生，四个女生排成一排，其中甲、甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？练练 习习 5引申引申:三个男生，四个女生排成一排，其中三个男生，四个女生排成一排，其中男生三人和男生三人和女生四人的顺序均不变，有几种不同排法？女生四人的顺序均不变，有几种不同排法？（六）指标问题采用（六）指标问题采用“隔板法隔板法”例例7 有有10个三好生名额，分配给高三年级个三好生名额，分配给高三年级6个班，每个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案。班

18、至少一个名额，共有多少种不同的分配方案。分析：6个班分，用5个隔板，将10个名额并成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故共有 种。隔板法（相同的元素分成若干部分，每部分隔板法（相同的元素分成若干部分，每部分至少一个）至少一个）练练 习习 6（1）将）将10个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给7个不同个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有案共有 （ ）种。）种。（2）不定方程）不定方程 的正整数解的正整数解共有（共有（ ）组）组（七）分排问题用（七）分排问题用“直排法直排法” 把把

19、n个元素排成若干排的问题，若没有其他个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例例8 七人坐两排座位，第一排坐七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？人，则有多少种不同的坐法？ 分析：分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有不同的坐法有 种种.（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？后排四

20、人，有几种不同排法？或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以所以两排可看作一排来处理两排可看作一排来处理不同的坐法有不同的坐法有 种种练练 习习 7（八）实验法（穷举法）（八）实验法（穷举法） 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例例9 将数字将数字1，2，3，4填入标号为填入标号为1，2，3，4的的四个方格内，每个方格填四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有

21、（所填的数字均不相同的填法种数有（ ）A.6 B.9 C.11 D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。可用实验法逐步解决。第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4。如填。如填2，则第二方格中内可填，则第二方格中内可填1或或3或或4。若第二方格内填若第二方格内填1，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填3。若第二方格内填若第二方格内填3，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填1。同理，若第二方格内填同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填

22、，则第三方格只能填1，第四方格应，第四方格应填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3种方法。种方法。不难得到，当第一格填不难得到，当第一格填3或或4时也各有时也各有3种，所以共有种，所以共有9种。种。练练 习习 8（不对号入座问题）（不对号入座问题）（1）（）（2004湖北）将标号为湖北）将标号为1，2，3，10的的10个球放入标号为个球放入标号为1，2，3，10的的10个盒子中，个盒子中，每个盒内放一个球，恰好有每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有的标号不一致的放入方法有_种种（2）编号为）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编

23、号为的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有的五个盒子里，至多有2个对号入个对号入座的情形有座的情形有_种种109直接法：直接法：间接法：间接法：（九）住店法（九）住店法解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”要注意区分两类元素：要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作的元素看作“客客”，能重复的元素看作，能重复的元素看作“店店”，再利，再利用乘法原理直接求解。用乘法原理直接求解。例例10 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有

24、（人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）A. B. C D.分析：因同一学生可以同时夺得分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作将七名学生看作7家家“店店”，五项冠军看作，五项冠军看作5名名“客客”，每个，每个“客客”有有7种住宿法，由乘法原理得种住宿法，由乘法原理得 种。种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？呢？用分步计数原理看，用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。是步骤数，自然是指数。(十十) 对应法对应法例例11 在在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场名选手之间进行单循环淘汰赛（

25、即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？举行几场？ 分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要名选手就需要99场比赛。场比赛。（十一）特征分析（十一）特征分析 研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。 例例12 由

26、由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少六个数字可以组成多少个无重复且是个无重复且是6的倍数的五位数？的倍数的五位数？分析数字特征：分析数字特征：6的倍数既是的倍数既是2的倍数又是的倍数又是3的倍数。其中的倍数。其中3的倍数又满足的倍数又满足“各个数位上的数字之和是各个数位上的数字之和是3的倍数的倍数”的特征。的特征。把把6分成分成4组，（组，（3，3），（），（6），（），（1，5），（），（2，4），每），每组的数字和都是组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；的倍数。因此可分成两类讨论；第一类：由第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从作数码；首先从2，4，6中任选中任选一个作

27、个位数字有一个作个位数字有 ，然后其余四个数在其他数位上全排，然后其余四个数在其他数位上全排列有列有 ，所以，所以第二类：由第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有作数码。依上法有（1）练习）练习:（徐州二检）从（徐州二检）从6人中选人中选4人组成人组成4100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？后一棒，有多少种选法？分析：（一）直接法分析：（一）直接法 （二）间接法（二）间接法（2）从正方体的从正方体的8个顶点中选个顶点中选4个作四面个作四面体，则不同的四面体的个数为体，则不同的四面体的个数为 。练练 习习 958（3）一个三位数，其十

28、位上的数字既一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字小于百位上的数字也小于个位上的数字， 且个位百位上的数字不重复（如等）且个位百位上的数字不重复（如等）那么这样的三位数有那么这样的三位数有 个个小结小结 本节课，我们对有关排列组合的几种本节课，我们对有关排列组合的几种常见的基本解法加以复习巩固。排列组合常见的基本解法加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的历来是学习中的难点，通过我们平时做的历届高考题，不难发现其应用题的特点是历届高考题，不难发现其应用题的特点是条件隐晦，难以挖掘，题目多变，解法独条件隐晦，难以挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的几种解法熟练掌握，然后再本着先基本的几种解法熟练掌握，然后再本着先分类再分步的原则，把复杂的问题简单化，分类再分步的原则，把复杂的问题简单化，才能做到举一反三，触类旁通，进而为下才能做到举一反三，触类旁通，进而为下一章概率的学习打下坚实的基础。一章概率的学习打下坚实的基础。