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1、第十二章第十二章 结构的极限荷载结构的极限荷载121 概述概述弹性分析方法弹性分析方法容许应力法容许应力法计算结构强度计算结构强度强度条件：强度条件：max = u / k（材料极限荷载（材料极限荷载 / 安全系数）安全系数）（如图，受弯曲的杆件，弹性受力变形阶段的截面应力分布）（如图，受弯曲的杆件，弹性受力变形阶段的截面应力分布）对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态，弹性计算能够给出足够准确的结果。弹性计算能够给出足够准确的结果。缺点：对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，缺点：对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，当最大应力到达屈服极限，某一局
2、部进入塑性阶段时，当最大应力到达屈服极限，某一局部进入塑性阶段时，结构并没有破坏，因而弹性设计是不够经济合理的。结构并没有破坏，因而弹性设计是不够经济合理的。塑性分析方法塑性分析方法极限荷载方法极限荷载方法强度条件：强度条件：P P = Pu / K(实际承受的荷载实际承受的荷载 极限荷载极限荷载 / 安全系数安全系数)极限状态极限状态结构破坏标志：结构破坏标志：结构进入塑性阶段，并最后丧失承载能力结构进入塑性阶段，并最后丧失承载能力截面完全达到最大应力截面完全达到最大应力首先要确定结构破坏时所能承担的荷载首先要确定结构破坏时所能承担的荷载极限荷载，极限荷载，然后将极限荷载除以安全系数得出然后
3、将极限荷载除以安全系数得出容许荷载，容许荷载，并以此为依据来进行设计。并以此为依据来进行设计。为了确定结构的极限荷载，必须考虑材料的塑性变形，为了确定结构的极限荷载，必须考虑材料的塑性变形，进行结构的塑性分析：进行结构的塑性分析：极限荷载方法极限荷载方法经济合理经济合理局限性局限性只反映结构最后状态：只反映结构最后状态： 不反映弹性不反映弹性塑性塑性极限状态过程极限状态过程 给定给定K在实际荷载作用下结构工作状态无法确定在实际荷载作用下结构工作状态无法确定设计荷载作用下，大多数为弹性状态设计荷载作用下，大多数为弹性状态结构设计结构设计弹性与塑性计算相互补充弹性与塑性计算相互补充 简化计算：简化
4、计算： 假设材料假设材料为理想弹塑性材料，为理想弹塑性材料， 其应力应变关系其应力应变关系如图如图121所示。所示。加载加载应力增加应力增加材料弹塑性材料弹塑性卸载卸载应力减少应力减少材料弹性材料弹性在经历塑性变形之后，在经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系，应力与应变之间不再存在单值对应关系，同一个应力值可对应于不同的应变值，同一个应力值可对应于不同的应变值，同一个应变值可对应于不同的应力值。同一个应变值可对应于不同的应力值。要得到弹塑性问题的解，要得到弹塑性问题的解，需要追踪全部受力变形过程。需要追踪全部受力变形过程。叠加原理不适用叠加原理不适用比例加载比例加载 各荷载按同
5、一比例增加各荷载按同一比例增加12-2 极限弯矩和塑性铰极限弯矩和塑性铰 破坏机构破坏机构 静定梁的静定梁的计算计算一、弹塑性阶段工作情况一、弹塑性阶段工作情况 理想弹塑性材料理想弹塑性材料T形截面梁形截面梁（图（图122a）纯弯曲状态纯弯曲状态基本概念。基本概念。图图b：截面处于弹性阶段，：截面处于弹性阶段，Mu）机构机构2 ：A、C塑性塑性铰（图12-7c），求得），求得可破坏荷可破坏荷载，满足机构条件和平衡条件；足机构条件和平衡条件；分段叠加法分段叠加法绘出出M图（图f），），满足内力极限条件，足内力极限条件，即同即同时为可接受荷可接受荷载极限荷极限荷载12-6 连续梁的极限荷载连续梁的
6、极限荷载连续梁（图连续梁（图128a）破坏机构的可能形式：破坏机构的可能形式：各跨独立形成破坏机构各跨独立形成破坏机构（图（图b、c、d），），不可能由相邻几跨联合不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构（图形成一个破坏机构（图e）因为荷载方向均向下，因为荷载方向均向下，各跨的最大负弯矩各跨的最大负弯矩只可能发生在支座截面处。只可能发生在支座截面处。不可能一跨中部出现不可能一跨中部出现负弯矩塑性铰（图负弯矩塑性铰（图e）连续梁的极限荷载计算：连续梁的极限荷载计算：对每一个单跨破坏机构分别求对每一个单跨破坏机构分别求出相应的破坏荷载出相应的破坏荷载取其中的最小值取其中的最小值得到连续梁的极限荷载。得
7、到连续梁的极限荷载。【例例12-4 】 试求求图所示所示连续梁的极限荷梁的极限荷载。各跨各跨为等截面，极限弯矩如等截面，极限弯矩如图每一个每一个单跨破坏机构跨破坏机构为图b、c、d： （图d中中应为F截面截面为塑性塑性铰）AB跨破坏跨破坏时（图b）：）： BC跨破坏跨破坏时（图c）：）：CD跨破坏跨破坏时（图d）C支座支座处取取较小的小的Mu ： 比比较以上以上结果，果，可知可知CD跨首先破坏，跨首先破坏，所以极限荷所以极限荷载为 12-7 刚架的极限荷载刚架的极限荷载刚架极限荷载计算：穷举法和试算法。刚架极限荷载计算：穷举法和试算法。 【图图1210】图示刚架，图示刚架，各杆为等截面，各杆为
8、等截面，极限弯矩：极限弯矩：AC、BEMu；CE2Mu。计算极限荷载。计算极限荷载。首先确定破坏机构的可能形式：首先确定破坏机构的可能形式：由弯矩图的形状（求解器计算）由弯矩图的形状（求解器计算）可知塑性铰只可能可知塑性铰只可能在在A、B、C、D、E五个截面出现。五个截面出现。刚架刚架3次超静定次超静定故只要出现故只要出现4个塑性铰，个塑性铰，或直杆上出现三个塑性铰或直杆上出现三个塑性铰即为破坏机构即为破坏机构可能的破坏机构：可能的破坏机构：穷举法：法： 机构机构1（图1210b）：）： 机构机构2（图1210c）：）：机构机构3（图1210d） 机构机构4（图1210e） 选取最小的，取最小
9、的，所以极限荷所以极限荷载为 试算法：算法：选机构机构2（图1210c）：）：求相求相应荷荷载 作作M图（图1211a）：）：叠加法作叠加法作CE的的M图得得MD = 2.67Mu 2 Mu ，不不满足足CE的内力局限条件的内力局限条件荷荷载P不是可接受荷不是可接受荷载。选机构机构3（图1210d）：）：求相求相应荷荷载 作作M图（图1211b）：）：叠加法作叠加法作CE的的M图得得MC = 0.42Mu Mu ，满足足AC的内力局限条件的内力局限条件荷荷载是可接受荷是可接受荷载。故机构故机构3即即为极限状极限状态，极限荷极限荷载为*12-8 矩阵位移法求刚架的极限荷载矩阵位移法求刚架的极限荷
10、载以矩阵位移法为基础的增量变刚度法，以矩阵位移法为基础的增量变刚度法，简称为增量法或变刚度法，简称为增量法或变刚度法，适合电算解复杂的极限荷载问题。适合电算解复杂的极限荷载问题。假设：假设：（1）当出现塑性铰时，假设塑性区）当出现塑性铰时，假设塑性区退化为一个截面退化为一个截面（塑性铰处的截面），而其余部分仍为弹性区。（塑性铰处的截面），而其余部分仍为弹性区。（2）荷载按比例增加荷载按比例增加所有荷载可用一个荷载参数所有荷载可用一个荷载参数F表示，表示，且为结点荷载且为结点荷载因而塑性铰只出现在结点处。因而塑性铰只出现在结点处。 若有非结点集中荷载，可把荷载作用截面当做结点处理若有非结点集中荷
11、载，可把荷载作用截面当做结点处理（3）每个杆件的极限弯矩为常数每个杆件的极限弯矩为常数，但各杆的极限弯矩可不相同。但各杆的极限弯矩可不相同。（4）忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。 1增量变刚度法的基本思路增量变刚度法的基本思路把原来的非线性问题转化为分阶段的几个线性问题把原来的非线性问题转化为分阶段的几个线性问题两个特点：两个特点：（1）把总的荷载分成几个荷载增量，）把总的荷载分成几个荷载增量，进行分阶段计算，因而叫做增量法。进行分阶段计算，因而叫做增量法。以新塑性铰的出现作为分界标志，以新塑性铰的出现作为分界标志，把加载的全过程分成几个阶段：把加载的全过程分成几
12、个阶段： 由弹性阶段开始，过渡到一个塑性铰阶段，由弹性阶段开始，过渡到一个塑性铰阶段， 再过渡到两个塑性铰阶段，再过渡到两个塑性铰阶段， 最后达到结构的极限状态。最后达到结构的极限状态。每一个阶段有一个相应的荷载增量，每一个阶段有一个相应的荷载增量，由此可算出相应的内力和位移增量，由此可算出相应的内力和位移增量，累加后便得到总的内力和位移。累加后便得到总的内力和位移。（2）对于每个荷载增量，仍按弹性方法计算，）对于每个荷载增量，仍按弹性方法计算，但不同阶段要采用不同的刚度矩阵，但不同阶段要采用不同的刚度矩阵，因而叫做变刚度法。因而叫做变刚度法。在施加某个荷载增量的阶段内，在施加某个荷载增量的阶
13、段内，由于没有新的塑性铰出现，由于没有新的塑性铰出现，因此结构中塑性铰的个数和位置都保持不变因此结构中塑性铰的个数和位置都保持不变在此阶段内的结构在此阶段内的结构可看作是具有几个指定铰结点的弹性结构；可看作是具有几个指定铰结点的弹性结构；当由前一阶段转到新的阶段时，当由前一阶段转到新的阶段时，由于有新的塑性铰出现，由于有新的塑性铰出现，结构就变为具有新的铰结点的弹性结构，结构就变为具有新的铰结点的弹性结构，其刚度矩阵需要根据新塑性铰情况进行修改其刚度矩阵需要根据新塑性铰情况进行修改F1F1F=F1+FF1F=+以以图a所示的梁所示的梁为例加以例加以说明。明。（1）弹性性阶段：段：零荷零荷载P1
14、 第一个塑性第一个塑性铰出出现【解解】单位荷位荷载P=1作用作用单位弯矩位弯矩图（ 图），图），其中控制截面其中控制截面A和和B的弯矩的弯矩组成成单位荷位荷载的弯矩向量的弯矩向量相相应截面的极限弯矩截面的极限弯矩和和单位弯矩相比位弯矩相比:A点比值较小点比值较小最小比值发生在最小比值发生在A点，其值为点，其值为上述最小比值我们用上述最小比值我们用P1来表示。来表示。当荷载增大到：当荷载增大到： 梁的弯矩为：梁的弯矩为：相应的弯矩向量相应的弯矩向量为：为： （2）一个塑性）一个塑性铰阶段：段：P1 P2 第二个塑性第二个塑性铰出出现【解解】截面截面A应改改为单向向铰结点点结构降低一次超静定，构降
15、低一次超静定，改成改成简支梁。支梁。单位荷位荷载P=1作用作用弯矩弯矩图（ 图）。图）。第二个塑性铰出现时第二个塑性铰出现时所需施加的荷载增量所需施加的荷载增量可按下式确定：可按下式确定：此荷载增量引起弯矩增量为此荷载增量引起弯矩增量为（3）极限状）极限状态 出出现两个塑性两个塑性铰后，后，结构已成构已成为单向机构，向机构，从而达到极限状从而达到极限状态。极限状。极限状态的弯矩的弯矩M：极限荷载为：例例12-6试用增量用增量变刚度法求度法求图示示刚架的极限荷架的极限荷载。解解（1）第一）第一阶段段计算算原原刚架在架在单位荷位荷载P=1作用下，作用下，单位（力）弯矩位（力）弯矩图（图图b ）各控
16、制截面的比值各控制截面的比值 中，中，以截面以截面D的比的比值为最小，最小，即即为第一第一阶段段终结荷荷载：第一个塑性第一个塑性铰出出现在截面在截面D。(图c) （2）第二）第二阶段段计算算把截面把截面D改改为铰结点，点，P=1，作出新的作出新的单位弯矩位弯矩图（图a- 图）在各控制截面中在各控制截面中以截面以截面E的比的比值为最小，最小，这个比个比值就是第二就是第二阶段的荷段的荷载增量，即增量，即弯矩增量弯矩增量为荷荷载和弯矩的累加和弯矩的累加值分分别为：第二个塑性第二个塑性铰在截面在截面E出出现(图c)（3）第三）第三阶段段计算算除截面除截面D外，外，再把截面再把截面E改改为铰结点，点，P
17、=1，作出新的作出新的单位弯矩位弯矩图（ 图a- 图）求各控制截面的比求各控制截面的比值其中以截面其中以截面A的比的比值为最小最小P3作用下的弯矩增量作用下的弯矩增量为荷荷载和弯矩的累加和弯矩的累加值分分别为第三个塑性第三个塑性铰在截面在截面A处出出现(图c) （4）第四）第四阶段段计算算再把截面再把截面A改改为铰结点，点，P=1，新的，新的单位弯矩位弯矩图（ )求各控制截面的比求各控制截面的比值其中以截面其中以截面C的比的比值为最小最小M4 = M4P4（图b） （5）极限状）极限状态除除D、E、A处，再把截面再把截面C改改为铰结点，点，刚架已架已变为机构，机构，处于极限状于极限状态M4，于
18、是于是P4就是极限荷就是极限荷载，即，即荷荷载和弯矩的累加和弯矩的累加值分分别为第四个塑性第四个塑性铰在截面在截面C处出出现。使用使用SMSolver计算计算Mi图图VB程序设计程序设计变刚度法变刚度法第十三章第十三章 结构弹性稳定结构弹性稳定131 概述概述结构设计结构设计强度验算：最基本的和必不可少的强度验算：最基本的和必不可少的稳定验算：在某些情况下显得重要稳定验算：在某些情况下显得重要薄壁结构薄壁结构高层建筑：剪力墙、筒中筒结构高层建筑：剪力墙、筒中筒结构高强度材料结构高强度材料结构钢结构：钢结构：钢框架、大跨屋架、桥梁钢框架、大跨屋架、桥梁受压比较容易丧失稳定受压比较容易丧失稳定结构
19、稳定计算：结构稳定计算：小挠度理论小挠度理论方法简单，结论基本正确。方法简单，结论基本正确。大挠度理论大挠度理论结论精确，方法复杂。结论精确，方法复杂。结构失稳：结构失稳：原始的平衡状态，随荷载增大，丧失其稳定性原始的平衡状态，随荷载增大，丧失其稳定性（由稳定平衡（由稳定平衡不稳定平衡状态）不稳定平衡状态）两类稳定问题两类稳定问题两种基本形式：两种基本形式：第一类稳定问题第一类稳定问题分支点失稳分支点失稳第二类稳定问题第二类稳定问题极值点失稳。极值点失稳。结构的平衡状态结构的平衡状态稳定性稳定性（以直杆受压为例）（以直杆受压为例）设结构：设结构：原来处于某个平衡状态，原来处于某个平衡状态，受到
20、轻微干扰受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置；而稍微偏离其原来位置；干扰消失后：干扰消失后：稳定平衡状态稳定平衡状态恢复平衡位置：恢复平衡位置： 直线平衡形式，只受压力直线平衡形式，只受压力不稳定平衡状态不稳定平衡状态继续偏离，不能回到原来位置；继续偏离，不能回到原来位置；弯曲平衡形式，受压、弯弯曲平衡形式，受压、弯中性平衡状态（随遇平衡）中性平衡状态（随遇平衡）由稳定平衡到不稳定平衡过渡的由稳定平衡到不稳定平衡过渡的 中间状态。中间状态。P PP PP PcrcrP P 1分支点失分支点失稳（第一（第一类稳定定问题）以以简支支压杆杆为例。（例。（图a）完善体系（理想体系）完善体系（理想体系）:杆
21、杆轴理想直理想直线荷荷载理想中心受理想中心受压荷荷载（无偏心）（无偏心）微小干微小干扰发生弯曲（生弯曲（图b） 随随压力力P增大，增大，考考查F与中点与中点挠度度之之间的关系曲的关系曲线F-曲曲线（平衡路径）（平衡路径）（图c）：）：OAFFcr，0，直，直线平衡平衡A点点FFcr，直，直线平衡平衡 弯曲平衡弯曲平衡（力不增加，位移可以增加）（力不增加，位移可以增加）直线形式的平衡状态直线形式的平衡状态稳定：稳定：单纯受压，无弯曲单纯受压，无弯曲原始平衡状态：原始平衡状态：路径路径I原始平衡路径：原始平衡路径：曲线由直线曲线由直线OA表示。表示。（受到干扰，偏离平衡位置；（受到干扰，偏离平衡位
22、置；干扰消失，恢复平衡位置）干扰消失，恢复平衡位置）原始平衡状态是稳定的。原始平衡状态是稳定的。（唯一的平衡形式）；（唯一的平衡形式）；F2 Fcr ：两种不同形式的平衡状态：两种不同形式的平衡状态：直线形式直线形式路径路径I （AD段）段）弯曲形式弯曲形式路径路径II（AC段：大挠度理论）段：大挠度理论）（AB段：小挠度理论）段：小挠度理论）点点D 对应的平衡状态对应的平衡状态是不稳定的：是不稳定的：受到干扰而弯曲，受到干扰而弯曲，干扰消失，继续弯曲（偏离）干扰消失，继续弯曲（偏离）直到直到CD分支点：分支点：两条平衡路径两条平衡路径和和的交点的交点A分支点失稳：分支点失稳：平衡形式的二重性
23、：平衡形式的二重性：OA稳定平衡稳定平衡AD不稳定平衡不稳定平衡 稳定性的转变。稳定性的转变。分支点分支点A对应的荷载对应的荷载临界荷载临界荷载对应平衡状态对应平衡状态临界状态。临界状态。结构结构分支点失稳分支点失稳特征：分支点特征：分支点 F Fcr原始平衡形式原始平衡形式由稳定转为不稳定，由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。并出现新的平衡形式。DI I（稳定）稳定）I I（不稳定）不稳定）IIII丧失第一类稳定的现象可在其他结构中发生。丧失第一类稳定的现象可在其他结构中发生。图示承受荷载的结构：图示承受荷载的结构： a所示承受均布水压力的圆环：园所示承受均布水压力的圆环：园非园非园b承受
24、均布荷载的抛物线拱承受均布荷载的抛物线拱c刚架：轴向受压刚架：轴向受压压缩和弯曲压缩和弯曲d悬臂工字梁：平面弯曲悬臂工字梁：平面弯曲斜弯曲和扭转斜弯曲和扭转丧失第一类稳定性的特征：丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式结构的平衡形式即内力和变形状态即内力和变形状态发生质的突变：发生质的突变：原有平衡形式成为不稳定，原有平衡形式成为不稳定，同时出现同时出现新的有质的区别的新的有质的区别的平衡形式。平衡形式。2极极值点失点失稳（第二（第二类稳定定问题）以以简支支压杆杆为例例（图133）非完善体系非完善体系（图（图a） ：具有初曲率具有初曲率承受偏心荷载承受偏心荷载加载加载处于受压和弯曲平衡状态处于
25、受压和弯曲平衡状态F曲线曲线（图（图b）小挠度理论（小挠度理论（- - - -）F Fe(欧拉临界值欧拉临界值)挠度挠度 大挠度理论（大挠度理论（-）F Fcr（极值点（极值点A）极值点后荷载下降极值点后荷载下降不稳定不稳定 Pe大挠度理论：大挠度理论：F 0Y” 0xy通解：通解：已知已知边界条件：界条件：x 0，y 0 ， y 0，x l，y 0代入通解，可得关于代入通解，可得关于A、B、FS/F 的的齐次方程：次方程：零解零解原始直原始直线平衡形式平衡形式非零解非零解新的平衡形式新的平衡形式系数行列式系数行列式应等于零等于零特征方程：特征方程：D0y1 nl 和和 y2 tgnl 的函数
26、的函数图线，其交点横坐其交点横坐标即即为方程的根。方程的根。3/2= 4.71，nl=4.7左右左右试算法：（表算法：（表131）特征特征值：nl 4.493133 具有弹性支座的压杆稳定具有弹性支座的压杆稳定（图（图138）刚架架 压杆杆 弹性支座性支座 （图（图a） AB压杆，压杆， BC杆对杆对AB杆的杆的 转动约束作用转动约束作用（图（图b）简化为弹性支座的压杆简化为弹性支座的压杆（图（图c） 转动刚度：转动刚度：图图138坐坐标系系xy分支点失分支点失稳新的平衡形式：新的平衡形式：y1 B端反力矩：端反力矩：A端反力端反力FS：取截面取截面x，杆段，杆段Ax：平衡微分方程：平衡微分方
27、程：FFSM式中三个待定常数式中三个待定常数A、B、1 ，由边界条件确定：由边界条件确定：x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = 0 通解通解特征方程：特征方程：弹簧簧刚度度 k1已知已知可由超越方程求解可由超越方程求解nl 其最小正根即可求得其最小正根即可求得临界荷界荷载Fcr 特殊情况：特殊情况：k1 0 ，即两端，即两端铰支，支，k1 ，即一端，即一端铰支，一端固定支，一端固定一般情况（一般情况（图139c）压杆杆三个三个弹性支座性支座坐坐标系系xy分支点失分支点失稳新的平衡形式新的平衡形式y：边界条件：界条件：杆端杆端0 、 1 、2杆杆端反力：端反力：FFH
28、3M1M2FFH3MFM1FH3任取截面任取截面x，杆段，杆段1x任取截面任取截面x，杆段，杆段1x：平衡微分方程：平衡微分方程：MFM1FH3式中式中4个待定常数个待定常数A、B、 、 1 ，由边界条件确定：，由边界条件确定：x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = ; y= -25个待定常数，其中个待定常数，其中1个为不独立的，由整个为不独立的，由整体平衡条件可得其它体平衡条件可得其它常数表示常数表示整体：整体： 关于关于A、B、2 2的的齐次方程次方程非零解：非零解：特征方程特征方程稳定方程定方程: :（136）弹性支座压杆弹性支座压杆稳定方程的稳定方程的一般情形
29、一般情形（图（图138b）一端弹性固定，另一端铰支。）一端弹性固定，另一端铰支。k2 = 0，k3 = （= 0），），2 不作为独立参数不作为独立参数k2 = 0000整体平衡，整体平衡，k20（133）（图139a）一端）一端弹性固定，另一端自由。性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0（图139a）一端）一端弹性固定，另一端自由。性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0（134）（图139b）一端固定，另一端）一端固定，另一端侧向向弹性性约束。束。k2 = 0，k1 = （图139b）一端固定，另一端）一端固定，另一端侧向向弹性性约束。束。k2 = 0，k1 = （135
30、）【例例132】 （图1310） 对称称刚架架对称荷称荷载（图a）失失稳形式形式正正对称（称（图b） 反反对称（称（图c）正正对称称取半跨（取半跨（图d）弹性性转动约束：束： k1 2i1 22EI/l 4EI/l由式（由式（133）2i1反反对称称取半跨（取半跨（图e） 与（与（图139a）相同）相同 （水平位移无（水平位移无约束）束）弹性性转动约束：束： k1 32i1 322EI/l 12EI/l由式（由式（154）与典型压杆形式相比：与典型压杆形式相比：正对称失稳比两端简支增加弹性约束正对称失稳比两端简支增加弹性约束 Fcr 14.67EI/l2 Fe 2EI/l2 （9.87）反对称
31、失稳比一端固定，一端自由减少约束反对称失稳比一端固定，一端自由减少约束Fcr 2.10EI/l2 Fcr 2EI/（4l2）（）（2.47）所以结构必以反对称形式失稳。所以结构必以反对称形式失稳。13-4 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载基本方法有两类：基本方法有两类：根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法；根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法；根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。静力法问题：静力法问题：微分方程具有变系数，不能积分为有限形式微分方程具有变系数，不能积分为有限形式边界条件较复杂，微分方程为髙阶
32、行列式边界条件较复杂，微分方程为髙阶行列式不易展开和求解不易展开和求解能量法能量法较为简便较为简便结构失稳时平衡的二重性为依据结构失稳时平衡的二重性为依据应用能量形式表示平衡条件应用能量形式表示平衡条件确定临界荷载。确定临界荷载。势能能驻值条件条件用位移表示的平衡方程用位移表示的平衡方程在分支点失在分支点失稳问题中，中，临界状界状态的能量特征是：的能量特征是：势能能为驻值，且位移有非零解。，且位移有非零解。势能能是位移是位移y1的二次式，其关系曲线是抛物线。（图）的二次式，其关系曲线是抛物线。（图）F Fcr ，势能是负定的。，势能是负定的。原始平衡状态是不稳定平衡状态。原始平衡状态是不稳定平
33、衡状态。F= Fcr ，体系处于中性平衡状态，即临界状态体系处于中性平衡状态，即临界状态荷载即临界荷载荷载即临界荷载临界状态的能量特征还可表述为：临界状态的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。EPy y1 1势能能驻值原理原理能量形式表示的平衡条件：能量形式表示的平衡条件：对于于弹性性结构，构，在在满足支承条件和位移足支承条件和位移连续条件的条件的一切虚位移中，一切虚位移中，同同时又又满足平衡条件的位移足平衡条件的位移（即真（即真实位移），
34、位移），使使结构的构的势能能为驻值。即即结构构势能的一能的一阶变分分对于零于零EEP P0 0结构构势能能 结构构应变能能 外力外力势能能 E EP P = VE + V应变能能 E EP P = ky2i（按材料力学公式按材料力学公式计算）算）外力势能外力势能 V = Fii（外力虚功的负值）（外力虚功的负值）有限自由度有限自由度结构构一一组关于关于ai的的齐次方程次方程组，要使要使ai不全不全为零，零，则方程方程组的系数行列式的系数行列式应等于零等于零稳定方程定方程临界荷界荷载结构的势能结构的势能势能驻值原理势能驻值原理【例例133】 单自由体系自由体系( (图a) ) 失失稳时微小偏移微
35、小偏移（图b b）弹簧簧应变能能为荷荷载势能能为为杆端杆端竖向位移向位移体系的体系的势能能为y10，临界荷载临界荷载【例例134】（图（图1312a）具有两个变形自由度的体系。具有两个变形自由度的体系。能量法能量法弹性支座性支座应变能能荷荷载势能能在图在图b中，中，1点的竖直位移为点的竖直位移为结构势能结构势能 E EP PV VE EV V结构构势能能应用用势能能驻值条件：条件：得得势能能驻值条件的解包括全零解和非零解。条件的解包括全零解和非零解。求非零解，建立特征方程求非零解，建立特征方程展开式得展开式得解得两个特征解得两个特征值：最小的特征最小的特征值叫做叫做临界荷界荷载，即，即无限自由
36、度结构无限自由度结构势能能应变能：能：荷荷载作用点下降作用点下降取微段取微段ds与投影与投影dx之差之差积分分外力外力势能：能：外力外力势能能结构构势能能其中其中挠曲曲线函数函数 y 未知未知无限多独立参数。无限多独立参数。结构构势能能为挠曲曲线函数函数y的函数的函数泛函泛函求极求极值问题变分法分法问题瑞利瑞利李李兹法法近似近似为有限多自由度有限多自由度应变能能瑞利瑞利李兹法：李兹法：假设挠曲线假设挠曲线为有限个已知函数的有限个已知函数的线性性组合合 i i(x(x) )满足位移足位移边界条件的已知函数界条件的已知函数表表132（p34）ai任意参数，共任意参数，共n个个原体系被近似地看作有原
37、体系被近似地看作有n个自由度的体系。个自由度的体系。求解求解Fcr 为近似解（按有限自由度求解）为近似解（按有限自由度求解） * Fcr Fcr (精确解精确解)（p34）因为所假设的挠曲线与真实的曲线不同，因为所假设的挠曲线与真实的曲线不同，故相当于加入了某些约束，故相当于加入了某些约束，从而增大了压杆抵抗失稳的能力从而增大了压杆抵抗失稳的能力 弯曲弯曲应变能能再求与再求与F相相应的位移的位移（压杆杆顶点的点的竖向位移）。向位移）。为此，先取微段此，先取微段AB进行分析。行分析。荷荷载势能能体系体系势能能势能能驻值条件条件即即（i1,2, . n）【例例135】 图示两端示两端简支的中心受支
38、的中心受压柱，柱，试用能量法求其用能量法求其临界荷界荷载。简支支压杆的位移杆的位移边界条件界条件为： 当当x=0 和和x=l 时，y=0（1）假）假设挠曲曲线为正弦曲正弦曲线：满足足压杆两端的杆两端的边界条件界条件应变能及能及外力势能外力势能 :结构构势能：能：与静力法的精确解相同，与静力法的精确解相同，所所设挠曲曲线即是真即是真实挠曲曲线。 （2）假）假设挠曲曲线为抛物抛物线（3）取跨中横向集中力）取跨中横向集中力FS作用下的作用下的挠曲曲线作作为变形形式形形式误差差为0.01（4）讨论：假设挠曲线）讨论：假设挠曲线临界荷载值临界荷载值 抛物线抛物线误差为误差为21.6%。 跨中横向集中力作
39、用下的挠曲线跨中横向集中力作用下的挠曲线误差为误差为1.3%， 正弦曲线，失稳真实变形曲线正弦曲线，失稳真实变形曲线临界荷载是精确解临界荷载是精确解误差为误差为21.6【例例136】 试求求图137所示所示压杆的杆的临界荷界荷载坐坐标系如系如图，两端位移，两端位移边界条件界条件为当当x=0时，y=0，y=0当当x=l时，y=0假假设变形曲形曲线为取表取表132中第四种中第四种相相应位移条件的多位移条件的多项式式级数前两数前两项：a1、a2不全为零：不全为零：【例例137】 图示等截面柱，下端固定、上端自由，示等截面柱，下端固定、上端自由，试求在均匀求在均匀竖向荷向荷载作用下的作用下的临界荷界荷
40、载值qcr均布荷均布荷载q，需要另行，需要另行计算外力算外力势能：能：微段微段ds转角角y，产生生竖向位移：向位移：微段以上荷微段以上荷载FS=q（l-x）在此位移上做功在此位移上做功 FSd所有荷所有荷载所作之功所作之功为沿杆沿杆长积分：分：dsd坐坐标系如系如图两端位移两端位移边界条件界条件为当当x=0时， y=0y=0根据上述位移根据上述位移边界条件，界条件，假假设变形曲形曲线为取表取表132中中相相应位移条件的三角位移条件的三角级数（数（a）的两）的两项：积分求分求应变能与外力能与外力势能：能：135 变截面压杆的稳定变截面压杆的稳定两种变截面压杆：阶梯形、截面惯性矩按幂函数变化两种变
41、截面压杆：阶梯形、截面惯性矩按幂函数变化1阶梯型直杆（图阶梯型直杆（图1316a）上下两部分刚度为：上下两部分刚度为：EI1 、EI2压杆失稳时压杆失稳时上下两部分的位移为：上下两部分的位移为：y1 、y2平衡微分方程：平衡微分方程：通解：通解：有五个未知常数：有五个未知常数：A1、B1、A2、B2、已知已知边界及界及连续条件：条件：代入通解可得：代入通解可得：得方程：得方程：稳定方程：定方程：展开：展开：D取后三个方程：取后三个方程：（A2由由确定）确定）（1319）该式只有已知比式只有已知比值I1/I2、l1/l2才能求解。才能求解。对于柱于柱顶、截面突、截面突变处作用作用F1 、F2 的
42、情形，的情形，类似推似推导可得可得稳定方程：定方程：（1320）上式只有已知比上式只有已知比值才能求解。才能求解。 【例例】(图1317)最小根最小根为：临界荷界荷载:能量法解：能量法解：误差误差1.25%2.截面截面惯性矩按性矩按幂函数函数变化化（图）若已知比若已知比值I2/I1及及m，可由上式确定，可由上式确定a对于不同于不同m值，有不同形状的杆件。，有不同形状的杆件。m=2、4为两种很有两种很有实用价用价值的情况：的情况：1、m4（图b）：）：具有直具有直线外形的外形的圆形或正方形形或正方形实心心压杆杆2、m2（图c）：）：具有直具有直线外形的外形的由由4个截面不个截面不变的角的角钢组成
43、的成的组合合压杆杆（略去角（略去角钢对本身形心本身形心轴的的惯性矩）性矩）简化化为：对于（于（图d）所示）所示下端固定上端自由的下端固定上端自由的压杆，杆，m2，微分方程：，微分方程：变系数微分方程，令系数微分方程，令tlnx，可，可变常系数方程常系数方程:解可写解可写为：（1325）设解：解：满足方程。足方程。欧拉公式：欧拉公式：代入：代入：边界条件：界条件：若若已知，可解已知，可解k k 最小最小值，进而求得而求得临界荷界荷载 Fcr 。m4，微分方程：，微分方程：边界条件：界条件：A、B不全不全为零，零，稳定方程：定方程：还可以表示可以表示为：136 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的
44、影响建立建立挠曲曲线微分方程，微分方程，同同时考考虑弯矩和剪力弯矩和剪力对变形的影响形的影响弯矩引起的曲率：弯矩引起的曲率：计算剪力引起的附加曲率：算剪力引起的附加曲率：先求剪力引起的杆先求剪力引起的杆轴切切线的附加的附加转角角第第7章（章（p111）代入（代入（a）式：）式：(1332)（图319）所示，有：）所示，有：M = FyM = Fy通解：通解：边界条件：界条件：其最小正根其最小正根为：（1534）式中式中FE 为欧拉欧拉临界荷界荷载，为修正系数修正系数这里里E 为欧拉欧拉临界界应力。力。设压杆材料杆材料为3号号钢，取取E为比例极限比例极限p200MPa，剪切模量，剪切模量G80G
45、Pa可知，可知，实体杆件中，剪力影响很小，通常可以略去。体杆件中，剪力影响很小，通常可以略去。137 组合杆的稳定组合杆的稳定组合合压杆杆工程中通常由两个型工程中通常由两个型钢用若干用若干联结件相件相联组成。成。（图1320）联结件有：件有：缀条式条式缀板式板式截面和柔度相同：截面和柔度相同：组合合压杆杆Fcr 实体体压杆杆Fcr 组合合压杆中剪力影响杆中剪力影响较大。大。当组合压杆节间数目较多时，当组合压杆节间数目较多时，临界荷载可用式（临界荷载可用式（1334）近似计算近似计算:需另行需另行处理，理，以反映以反映联结件的影响。件的影响。求求组合合压杆杆在在单位剪力作用下的剪切角位剪力作用下
46、的剪切角代替代替k/GA即可。即可。1.缀条式条式组合合压杆杆缀条通常使用条通常使用单根角根角钢，与主要杆件两个型与主要杆件两个型钢相比，相比，截面截面较小小故两端可故两端可视为铰结。取一个取一个节间考考虑：（：（图1321）在在单位剪力位剪力FS1的作用下，的作用下，剪切角剪切角为主要杆件的截面大得多，主要杆件的截面大得多，忽略其忽略其轴向向变形影响。形影响。只只计算算缀条的影响：条的影响：代入式（代入式（1334）（1536）只只计算算缀条的影响：条的影响：其中：其中：（1536）斜杆比横杆影响更大：斜杆比横杆影响更大：设：两者：两者EA相同，相同，45 斜杆与横杆影响之比斜杆与横杆影响之
47、比为2.828：1引入引入长度系数度系数，表示成欧拉表示成欧拉问题的基本形式的基本形式若略去横杆的影响，若略去横杆的影响，且型钢两侧平面内设有缀条且型钢两侧平面内设有缀条r：主杆截面对整个截面形：主杆截面对整个截面形心轴的回转半径心轴的回转半径即即钢结构构规范中范中通常推荐的通常推荐的缀条式条式组合合压杆杆换算算长细比的公式比的公式2、缀板式组合压杆、缀板式组合压杆组合合压杆采用杆采用缀板板联结 缀板与主要杆件板与主要杆件为刚结， 无斜杆。无斜杆。确定确定时， 将将组合杆件合杆件 当作当作单跨多跨多层刚架：架： 反弯点在反弯点在节间中点；中点； 剪力平均分配于剪力平均分配于 两个主要杆件。两个主要杆件。（图a）剪切角）剪切角为图中之弦中之弦转角角图图b所示所示M图图图乘法：图乘法：修正系数修正系数2，将随，将随节间长度度 d 增加而减小增加而减小一般情况，一般情况，缀板板刚度比主要杆件度比主要杆件刚度大的多，取度大的多，取EIb = （1342）（整个杆件）（整个杆件）(一根主要杆件，一根主要杆件，在一个在一个节间内内)惯性矩：性矩： I = 2Adr2 , Id= Adrd2长细比：比： = l/r，d d = l/rd 代入（代入（1342）钢结构构规范范确定确定缀板式板式组合合压杆杆长细比的公式：比的公式：
