第三章 线性粘性流动高分子流变学习题课高分子流变学习题课 如图所示，流体沿如图所示，流体沿x x轴方向作层状流动，在轴方向作层状流动，在y y轴方向有速度轴方向有速度梯度在t=0t=0时，任取高度为时，任取高度为dydy的矩形微元面底边坐标为的矩形微元面底边坐标为y y，对应的流体速度为，对应的流体速度为u(y);u(y);经过经过dtdt时间段后，矩形微元面时间段后，矩形微元面变成如图所示的平行四边形，原来的变成如图所示的平行四边形，原来的α α角变为角变为α-dαα-dα，其，其剪切变形速率定义为剪切变形速率定义为dα/dt(dα/dt(单位时间内因剪切变形产生的单位时间内因剪切变形产生的角度变化角度变化) )试推导证明：流体的剪切变形速率等于流体的试推导证明：流体的剪切变形速率等于流体的速度梯度，即速度梯度，即 题题题题1 1证明：证明：高分子流变学习题课高分子流变学习题课 题题题题2 2如图所示，采用平板拖曳流动（简单剪切流动）进行牛顿流体如图所示，采用平板拖曳流动（简单剪切流动）进行牛顿流体粘度测试，已知板间距为粘度测试，已知板间距为2mm2mm，上板的宽为，上板的宽为5cm5cm，长为，长为10cm10cm，，以每秒以每秒0.1m/s0.1m/s的速度向前拖动，测得上板拖动的力为的速度向前拖动，测得上板拖动的力为1010牛顿。
牛顿1)(1)求流体剪切流动时剪切速率的大小求流体剪切流动时剪切速率的大小2)(2)计算流体的粘度计算流体的粘度3)(3)写出流体在该剪切速率下的偏应力张量、速度梯度张量、应写出流体在该剪切速率下的偏应力张量、速度梯度张量、应变速率张量的大小变速率张量的大小解：（解：（1 1））高分子流变学习题课高分子流变学习题课 (2)(2)高分子流变学习题课高分子流变学习题课 无无Z Z方向的剪切应力方向的剪切应力代入应力值代入应力值偏应力张量(3)(3)高分子流变学习题课高分子流变学习题课 应力张量应力张量无无Z Z方向的剪切应力方向的剪切应力其中由于流体无压缩膨胀变形，故其中由于流体无压缩膨胀变形，故高分子流变学习题课高分子流变学习题课 速度梯度张量流体无压缩（膨胀）流体无压缩（膨胀）无无z z方向速度方向速度y y方向无速度方向无速度应变速率张量高分子流变学习题课高分子流变学习题课 P 20P 20高分子流变学习题课高分子流变学习题课 题题题题3 3如图所示，已知圆形管道中牛顿流体层流流动时的速度分布为如图所示，已知圆形管道中牛顿流体层流流动时的速度分布为其中其中 为管内流体的平均速度。
为管内流体的平均速度1 1）设流体粘度为）设流体粘度为μ μ，求管中流体的剪应力，求管中流体的剪应力τ τ的分布公式；的分布公式；（（2 2）如长度为）如长度为L L的水平管道两端的压力降为的水平管道两端的压力降为ΔpΔp的表达式；的表达式；（（3 3）求整个圆截面的体积流量求整个圆截面的体积流量高分子流变学习题课高分子流变学习题课 （（1 1））解解（（2 2）壁面处流体受力平衡）壁面处流体受力平衡（（3 3））高分子流变学习题课高分子流变学习题课 题题题题4 4已知一牛顿流体在狭缝中流动，狭缝高为已知一牛顿流体在狭缝中流动，狭缝高为15mm15mm，宽，宽为为320mm320mm，长为，长为200mm200mm，测得入口处的压力为，测得入口处的压力为500Pa,500Pa,在在3030秒测得流出体积为秒测得流出体积为2.4L.2.4L.(1)(1)求出该流体的粘度求出该流体的粘度2)(2)计算壁面处的剪切速率计算壁面处的剪切速率3)(3)计算壁面处的剪切应力计算壁面处的剪切应力4)(4)计算流动过程中最大速度计算流动过程中最大速度高分子流变学习题课高分子流变学习题课 解解（（1 1））代入已知条件，解得代入已知条件，解得（（2 2））根据根据当当y=h/2,y=h/2,壁面处的剪切速率为壁面处的剪切速率为（（3 3））当当y=h/2,y=h/2,壁面处的剪切应力为壁面处的剪切应力为（（4 4））当当y=0, y=0, 中央平面处的流动速度最大中央平面处的流动速度最大高分子流变学习题课高分子流变学习题课 如图所示为旋转黏度测定仪，该测定仪由内外两圆筒组成，外筒以角速度Ω旋转，通过内外筒之间的油液，将力矩传递内筒；内筒上下两端用平板封闭，上端固定悬挂于一金属丝下，通过测量金属丝扭转角度确定内筒所受的力矩为M,若内外筒之间的间隙为δ1，底面间隙为δ2，筒高为L，为了修正底面边界效应的影响，通常更换不同高度的外筒进行同一转速的力矩的测定。
计算油液粘度题题题题5 5已知理想条件下流体粘度计算公式：高分子流变学习题课高分子流变学习题课 理想条件外筒所需的旋转扭矩为解解高分子流变学习题课高分子流变学习题课 作业作业：：分析牛顿流体在两平板狭缝间作简单剪分析牛顿流体在两平板狭缝间作简单剪切流动过程中的应力张量、速度梯度张切流动过程中的应力张量、速度梯度张量（剪切速率）以及应变速率张量量（剪切速率）以及应变速率张量高分子流变学习题课高分子流变学习题课 3.1.2.43.1.2.4同轴环隙中的旋转流动同轴环隙中的旋转流动同轴环隙中的旋转流动同轴环隙中的旋转流动采用柱面坐标系采用柱面坐标系采用柱面坐标系采用柱面坐标系（（（（r r，，，，θ θ，，，，z z），），），），只是绕轴的圆周只是绕轴的圆周只是绕轴的圆周只是绕轴的圆周运动，运动，运动，运动，τ τr rz= z= τ τθzθz=0=0只有只有只有只有τ τ rθrθ= τ= τθrθr同轴环隙中的旋转流动也叫做库埃特流动，是指在外圆筒和内圆筒之间环同轴环隙中的旋转流动也叫做库埃特流动，是指在外圆筒和内圆筒之间环同轴环隙中的旋转流动也叫做库埃特流动，是指在外圆筒和内圆筒之间环同轴环隙中的旋转流动也叫做库埃特流动，是指在外圆筒和内圆筒之间环形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角速度形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角速度形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角速度形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角速度ωω（（（（rad/srad/s））））做圆周运动，没有沿轴向和径向的流动。
做圆周运动，没有沿轴向和径向的流动做圆周运动，没有沿轴向和径向的流动做圆周运动，没有沿轴向和径向的流动设外圆筒与内圆筒之间间隙充满牛顿流体，内圆筒以角速度设外圆筒与内圆筒之间间隙充满牛顿流体，内圆筒以角速度Ω旋转，外圆筒固定旋转，外圆筒固定环隙外径为Ro，内径为Ri高分子流变学习题课高分子流变学习题课 周向剪切速率：周向剪切速率：周向剪切速率：周向剪切速率：对于离轴线对于离轴线对于离轴线对于离轴线r r的周向流体层的作用扭矩的周向流体层的作用扭矩的周向流体层的作用扭矩的周向流体层的作用扭矩MM（（（（r r）为：）为：）为：）为：径向为径向为径向为径向为r r的圆周面剪切速率为（根据牛顿流体方程）的圆周面剪切速率为（根据牛顿流体方程）的圆周面剪切速率为（根据牛顿流体方程）的圆周面剪切速率为（根据牛顿流体方程） 积分并由边界条件积分并由边界条件积分并由边界条件积分并由边界条件r=Rr=Ro o，，，，ω=Ωω=Ω得得得得 对不同位置对不同位置对不同位置对不同位置M(r)=MM(r)=M0 0，，上式变形为上式变形为上式变形为上式变形为积分积分积分积分高分子流变学习题课高分子流变学习题课 由边界条件由边界条件由边界条件由边界条件r=Rr=Ro o时，时，时，时，ωω（（（（r r））））=0=0代入代入代入代入于是得到角速度函数于是得到角速度函数于是得到角速度函数于是得到角速度函数于是流体的径向周向速度于是流体的径向周向速度于是流体的径向周向速度于是流体的径向周向速度高分子流变学习题课高分子流变学习题课 剪切应力剪切应力剪切应力剪切应力于是于是于是于是剪切速率剪切速率剪切速率剪切速率在固定内壁面在固定内壁面在固定内壁面在固定内壁面 r=Rr=Ri i：：：：在固定外壁面在固定外壁面在固定外壁面在固定外壁面 r=Rr=Ro o：：：：高分子流变学习题课高分子流变学习题课 例题例题要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒固定，外筒旋转，使要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒固定，外筒旋转，使在环隙内的液体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在在环隙内的液体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在10%10%之内。
外圆筒半径之内外圆筒半径10cm10cm，高，高10cm10cm1 1）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？2 2）如果此粘度计内流体）如果此粘度计内流体 <100s<100s-1-1, ,圆筒的最大转速（圆筒的最大转速（r/minr/min）多）多少？少？3 3）如果粘度计内充满）如果粘度计内充满2020C C的甘油，其的甘油，其μ=1.496Pa.sμ=1.496Pa.s外圆筒以外圆筒以最大转速旋转，需多大的消耗功率？最大转速旋转，需多大的消耗功率？高分子流变学习题课高分子流变学习题课 解解: :(1)(1)内圆筒剪切速率为内圆筒剪切速率为 外圆筒剪切速率为外圆筒剪切速率为根据题意根据题意解得解得(2)(2) 内圆筒剪切速率最大内圆筒剪切速率最大解得解得(3)(3)根据粘度计算公式根据粘度计算公式解得解得高分子流变学习题课高分子流变学习题课 1 1 绘出简图并推导牛顿流体在稳定的同轴环隙中的旋转拖曳流绘出简图并推导牛顿流体在稳定的同轴环隙中的旋转拖曳流动的角速度、周向速度、剪切速率分布方程动的角速度、周向速度、剪切速率分布方程。
2 2 要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒旋转，外筒固定，要设计一台同轴圆筒式粘度计，其中内筒旋转，外筒固定，使在环隙内的液体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在使在环隙内的液体周向拖曳流动时，内外的剪切速率的差在10%10%之内外圆筒半径之内外圆筒半径10cm10cm，高，高10cm10cm1 1）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？）内圆筒最小直径为多少？内外圆筒之间的环隙多大？2 2）如果此粘度计内流体）如果此粘度计内流体 <100s<100s-1-1, ,圆筒的最大转速（圆筒的最大转速（r/minr/min）多）多少？少？3 3）如果粘度计内充满）如果粘度计内充满2020C C的甘油，其的甘油，其μ=1.496Pa.sμ=1.496Pa.s内圆筒以最大转速旋转，需多大的消耗功率？以最大转速旋转，需多大的消耗功率？作业作业高分子流变学习题课高分子流变学习题课 解解: :(1)(1)内圆筒剪切速率为内圆筒剪切速率为 外圆筒剪切速率为外圆筒剪切速率为根据题意根据题意解得解得(2)(2) 内圆筒剪切速率最大内圆筒剪切速率最大解得解得(3)(3)根据粘度计算公式根据粘度计算公式解得解得高分子流变学习题课高分子流变学习题课 作业：作业：1.绘出简图并推导牛顿流体在圆管道内压力流动的速度和流量方程。
解：采用柱面坐标系（解：采用柱面坐标系（解：采用柱面坐标系（解：采用柱面坐标系（r r，，，，θ θ，，，，z z），假设流体的），假设流体的），假设流体的），假设流体的粘度为粘度为粘度为粘度为μ μ，壁面处流体速度为零，流体沿周向和径，壁面处流体速度为零，流体沿周向和径，壁面处流体速度为零，流体沿周向和径，壁面处流体速度为零，流体沿周向和径向速度为零，只有轴向速度，即向速度为零，只有轴向速度，即向速度为零，只有轴向速度，即向速度为零，只有轴向速度，即取任意半径为取任意半径为取任意半径为取任意半径为r r的圆柱单元体，根据受力平衡的圆柱单元体，根据受力平衡的圆柱单元体，根据受力平衡的圆柱单元体，根据受力平衡解得解得解得解得根据剪切速率的定义、牛顿流体方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程（（（（1 1））））高分子流变学习题课高分子流变学习题课 r r到到到到r+drr+dr的圆柱体的体积流量的圆柱体的体积流量的圆柱体的体积流量的圆柱体的体积流量整个圆截面的流量，积分得：整个圆截面的流量，积分得：整个圆截面的流量，积分得：整个圆截面的流量，积分得：高分子流变学习题课高分子流变学习题课 2.绘出简图并推导牛顿流体在狭缝内压力流动的速度和流量方程。
解：采用直角坐标系，假设流体的粘度为解：采用直角坐标系，假设流体的粘度为解：采用直角坐标系，假设流体的粘度为解：采用直角坐标系，假设流体的粘度为μ μ，壁面处流体速度为零，流体沿，壁面处流体速度为零，流体沿，壁面处流体速度为零，流体沿，壁面处流体速度为零，流体沿x x方向流动方向流动方向流动方向流动沿狭缝中央平面任取狭缝中的一薄片单元，受沿狭缝中央平面任取狭缝中的一薄片单元，受沿狭缝中央平面任取狭缝中的一薄片单元，受沿狭缝中央平面任取狭缝中的一薄片单元，受到的驱动力为到的驱动力为到的驱动力为到的驱动力为Δpw2yΔpw2y，上下面的流动阻力为，上下面的流动阻力为，上下面的流动阻力为，上下面的流动阻力为τ τyxyx2lw2lw根据受力平衡：根据受力平衡：根据受力平衡：根据受力平衡：速度分布方程速度分布方程速度分布方程速度分布方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程根据剪切速率的定义、牛顿流体方程（（（（1 1））））高分子流变学习题课高分子流变学习题课 单元体体积流量为，得体积流量方程单元体体积流量为，得体积流量方程单元体体积流量为，得体积流量方程单元体体积流量为，得体积流量方程狭缝截面体积流量狭缝截面体积流量狭缝截面体积流量狭缝截面体积流量, ,积分得积分得积分得积分得高分子流变学习题课高分子流变学习题课 请分析毛细管内非牛顿流体的表观粘度与真实粘度，表观剪切速率请分析毛细管内非牛顿流体的表观粘度与真实粘度，表观剪切速率请分析毛细管内非牛顿流体的表观粘度与真实粘度，表观剪切速率请分析毛细管内非牛顿流体的表观粘度与真实粘度，表观剪切速率 与真实与真实与真实与真实剪切速率剪切速率剪切速率剪切速率 的关系。
的关系毛细管流变仪壁面剪切应力毛细管流变仪壁面剪切应力毛细管流变仪壁面剪切应力毛细管流变仪壁面剪切应力定义表观粘度定义表观粘度定义表观粘度定义表观粘度真实粘度真实粘度真实粘度真实粘度解解解解：（：（：（：（1 1））））高分子流变学习题课高分子流变学习题课 （（（（2 2））））高分子流变学习题课高分子流变学习题课 2. 2. 试推导非牛顿流体稠度试推导非牛顿流体稠度试推导非牛顿流体稠度试推导非牛顿流体稠度 与表观稠度与表观稠度与表观稠度与表观稠度 之间关系之间关系之间关系之间关系解解解解：：：：高分子流变学习题课高分子流变学习题课 解解解解 1 1）求出不同剪切速率下的入口效应压力值）求出不同剪切速率下的入口效应压力值）求出不同剪切速率下的入口效应压力值）求出不同剪切速率下的入口效应压力值*在近似相同的剪切速率下，不同口模长径比的入口处压力降基本相同，在近似相同的剪切速率下，不同口模长径比的入口处压力降基本相同，与口模长径比无关与口模长径比无关当表观剪切速率为当表观剪切速率为高分子流变学习题课高分子流变学习题课 高分子流变学习题课高分子流变学习题课 高分子流变学习题课高分子流变学习题课 2 2））））3 3））））高分子流变学习题课高分子流变学习题课 4 4）求出长径比为）求出长径比为）求出长径比为）求出长径比为1616的不同剪切速率下的熔体真实粘度的不同剪切速率下的熔体真实粘度的不同剪切速率下的熔体真实粘度的不同剪切速率下的熔体真实粘度方法一：方法一：方法一：方法一：高分子流变学习题课高分子流变学习题课 方法二：方法二：方法二：方法二：高分子流变学习题课高分子流变学习题课 4对聚合物熔体的粘性流动曲线划分区域，并说明区域名称及对应的粘度名称，解释区域内现象的产生原因。
答：第一牛顿区：粘度为零切粘度此时由于切变速率很小，虽然缠结结构能被破坏，但破坏的速率等于形成的速率，缠结点数目处于动态平衡，故粘度保持恒定，表现为牛顿流体的流动行为； 假塑区：粘度为表观粘度当切变速率增大时，缠结结构被破坏的速度越来越大于其形成速度，缠结点数目逐渐减少，故粘度不为常数，随切变速度的增大而减小，表现出假塑性流体的流动行为；第二牛顿区：粘度极限粘度（无穷切粘度）当达到强剪切的状态时，大分子中的缠结结构几乎完全被破坏，来不及形成新的缠结，取向也达到极限状态，大分子的相对运动变得很容易，体系粘度达到恒定的最低值，第二次表现为牛顿流体的流动行为高分子流变学习题课高分子流变学习题课 解：解：解：解： 计算该剪切速率下的入口效应压力值计算该剪切速率下的入口效应压力值计算该剪切速率下的入口效应压力值计算该剪切速率下的入口效应压力值例题例题例题例题 已知毛细管口模直径是已知毛细管口模直径是已知毛细管口模直径是已知毛细管口模直径是4mm4mm，用毛细管流变仪对聚甲酯丙烯酸甲酯（，用毛细管流变仪对聚甲酯丙烯酸甲酯（，用毛细管流变仪对聚甲酯丙烯酸甲酯（，用毛细管流变仪对聚甲酯丙烯酸甲酯（PMMAPMMA））））进行粘度测试，其非牛顿指数为进行粘度测试，其非牛顿指数为进行粘度测试，其非牛顿指数为进行粘度测试，其非牛顿指数为n=0.3,n=0.3,实验数据如表所示，计算熔体的真实粘度。
实验数据如表所示，计算熔体的真实粘度实验数据如表所示，计算熔体的真实粘度实验数据如表所示，计算熔体的真实粘度高分子流变学习题课高分子流变学习题课 高分子流变学习题课高分子流变学习题课 。