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1、14.2乘法公式第十四章整式的乘法与因式分解14.2.1平方差公式人教版八年级上册学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）导入新课导入新课复习引入多项式与多项式是如何相乘的？ （x 3)( x5）=x25x 3x 15=x28x 15. (a+b)(m+n)=am+an +bm+bn讲授新课讲授新课平方差公式一探究发现面积变了吗？a米5米米5米米a米(a-5)相等吗？（x 1)( x1）；）；（m 2)( m2）；）； （2m 1)(2m1）；）； （5y z)(5yz）.计算下列多项式的积，你能发现什
2、么规律？算一算：看谁算得又快又准.（m 2)( m2）=m2 22（2m 1)( 2m1)=4m2 12（5y z)(5yz)= 25y2 z2（x 1)( x1）=x2 1，想一想：这些计算结果有什么特点？x2 12m222(2m)2 12(5y)2 z2( (a a+ + +b b)( )(a a b b) )= = =a a2 2 b b2 2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.u公式变形:1.（a b ) ( a + b) = a2 - b22.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2知识要点平方差公式平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式单项式也可以是两个多项
3、式多项式等 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为a 相反为b，-b适当交换合理加括号(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：填一填： aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1( 0.3x)2-12( (a-ba-b)( )(a+ba+b) )练一练：口答下列各题：口答下列各题： (l)(-(l)(-a a+ +b b)( )(a a+ +b b)=_.)=_. (2)( (2)(a a- -b b)( )(b b+ +a a)= _.)= _. (3)(- (3)(-a a- -b
4、 b)(-)(-a a+ +b b)= _.)= _. (4)( (4)(a a- -b b)(-)(-a a- -b b)= _.)= _.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2典例精析例1 计算：(1) (3x2 )( 3x2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).(2) 原式 (-x)2 - (2y)2x2 - 4y2.解：（1）原式=(3x)222=9x24；方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式
5、或多项式利用平方差公式计算：(1)(3x5)(3x5)； (2)(2ab)(b2a)；(3)(7m8n)(8n7m)针对训练解：(1)原式=(3x)2529x225；(2)原式=(2a)2b24a2b2；(3)原式=(7m)2(8n)249m264n2；例2 计算:(1) 10298;(2) (y+2) (y-2) (y-1) (y+5) .解: (1) 10298（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)= 1002-22=10000 4 =（1002）(1002)=9996；= y2-22-(y2+4y-5)= y2-4-y2-4y+5= - 4y + 1.通过合理变形，利用平方差
6、公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.针对训练计算:(1) 5149; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .解: (1) 原式=（501）(501)= 502-12=2500 1=2499； (2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)= 9x2-16-6x2-5x+6= 3x2-5x-10.例3 先化简，再求值：(2xy)(y2x)(2yx)(2yx)，其中x1，y2.原式51252215.解：原式4x2y2(4y2x2)4x2y24y2x25x25y2.当x1，y2时，例4 对于任意的正整数n，整式(3n1)(3n1)(3n
7、)(3n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值是10的倍数解：原式9n21(9n2)10n210.(10n210)10=n2-1.n为正整数，n2-1为整数方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了你认为李大妈吃亏了吗？为什么？a2a216，解：李大妈吃亏了理由：原正方形
8、的面积为a2，改变边长后面积为(a4)(a4)a216，李大妈吃亏了方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题1.下列运算中，可用平方差公式计算的是()A(xy)(xy) B(xy)(xy)C(xy)(yx) D(xy)(xy)当堂练习当堂练习C2.计算（2x+1）（2x-1）等于（）A4x2-1 B2x2-1 C4x-1 D4x2+1 A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_10（1）(a+3b)(a- - 3b)；=4a29；=4x4y2.原式=(2a+3)(2a-3)=a29b2 ；=(2a)
9、232 原式=(- -2x2 )2y2 原式=(a)2(3b)2 （2）(3+2a)(3+2a)；（3）(2x2y)(2x2+y).4.利用平方差公式计算：5.计算： 20152 20142016.解： 20152 20142016= 20152 (20151)(2015+1)= 20152 （2015212 )= 20152 20152+12 =16. 6.利用平方差公式计算利用平方差公式计算: :（1）（）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16.(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(
10、x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.7.先化简，再求值：(x1)(x1)x2(1x)x3，其中x2.解：原式=x21x2x3x3=2x21.将x2代入上式，原式=222-1=7.8.已知x1，计算：(1x)(1x)1x2，(1x)(1xx2)1x3，(1x)(1xx2x3)(1)观察以上各式并猜想：(1x)(1xx2xn)_；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：(12)(1222232425)_；222232n_(n为正整数)；(x1)(x99x98x97x2x1)_；拓展提升1xn+1-632n12x1001(3)通过以上规律请你进行下面的探索：(ab)(ab)_；(ab)(a2abb2)_；(ab)(a3a2bab2b3)_a2b2a3b3a4b4课堂小结课堂小结平 方 差 公 式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b22.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
