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1、第第 8 章章 阻抗和导纳阻抗和导纳第三篇第三篇 动态电路的相量分析法动态电路的相量分析法第第 9 章章 正弦稳态功率和能量正弦稳态功率和能量第第10章章 频率响应频率响应 多频正弦稳态电路多频正弦稳态电路第第11章章 耦合电感和理想变压器耦合电感和理想变压器第第12章章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用拉普拉斯变换在电路分析中的应用 第八章第八章 阻抗和导纳阻抗和导纳8-1 变换方法的概念变换方法的概念8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式8-6 VCR相量形式的统一相量形式的统一 阻抗和导纳的引入阻抗和导纳的引入8-7 正弦电路与电阻电路的类比正

2、弦电路与电阻电路的类比 相量模型的引入相量模型的引入8-5 三种基本电路元件三种基本电路元件VCR的相量形式的相量形式8-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 8-10 相量模型的等效相量模型的等效 8-11 有效值有效值 有效值相量有效值相量 8-12 两类特殊问题两类特殊问题 相量图法相量图法 8-2 复数复数8-3 振幅相量和有效值相量振幅相量和有效值相量 8-9 相量模型的网孔分析和节点分析相量模型的网孔分析和节点分析 正弦交流电路是指含有正弦电源正弦交流电路是指含有正弦电源 (激励激励) 而且而且电路各部分所产生的电压和电流电路各部分所产生的电压和电流 (稳态响应稳态响应

3、) 均按均按正弦规律变化的电路。正弦规律变化的电路。正弦交流电路正弦交流电路 (稳态电路稳态电路) 的基本概念的基本概念 在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应用更为广泛。是三相电路应用更为广泛。 本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法。本概念、基本理论和基本分析方法。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析的物理现象，因此在学习时注意建立交流的分析的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。概念，以免引起错误。正弦电压与

4、电流正弦电压与电流 直流电路在稳定状态下电流、电压的大直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，如图所示。小和方向是不随时间变化的，如图所示。 tI U0 正弦电压和电流是按正弦规律周期性正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如图所示。变化的，其波形如图所示。 tu i0 +uiR +uiR正半周正半周正半周正半周负半周负半周负半周负半周 电路图上所标的方向是指它们的参考电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。方向，即代表正半周的方向。 负半周时，由于电压（或电流）为负负半周时，由于电压（或电流）为负值，所以其实际方向与参考方向相反。值，所以其实际方

5、向与参考方向相反。+ + 实实实实际际际际方方方方向向向向 一、周期电压和电流一、周期电压和电流按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。u(t)=Umcos tu(t)=Umsin( t + /2)Um 振幅振幅 角频率角频率i (t) = Imcos ( t + )i0 t (rad) 2 t(s)T/2T u0 t (rad)Um 2 t(s)T/2T 二、正弦电压和电流二、正弦电压和电流 随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。 正弦量的三要素正弦量的三要素正弦量的三要素正弦量的三要素

6、 幅值幅值幅值幅值 初相位初相位初相位初相位 频率频率频率频率 1. 1. 频率与周期频率与周期频率与周期频率与周期T周期周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；：正弦量变化一周所需要的时间；角频率角频率 : t 2 例我国和大多数国家的电力标准频率是例我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz， 试求其周期和角频率。试求其周期和角频率。解解 = 2 f = 2 3.14 50 = 314 rad /sImti0频率频率 f ：正弦量每秒内变化的次数；：正弦量每秒内变化的次数；Im 交流电每交变一个周期便变交流电每交变一个周期便变化了化了2 弧度，即弧度，即 T = 2 2. 2. 幅值与有效值

7、幅值与有效值幅值与有效值幅值与有效值 tImi0Im同理可得同理可得当电流为正弦量时当电流为正弦量时瞬时值瞬时值瞬时值瞬时值 是交流电任一时刻的值。是交流电任一时刻的值。用用小写字母小写字母小写字母小写字母表示如表示如: i, u, e分别表示分别表示电流、电压电动势的瞬时值。电流、电压电动势的瞬时值。最大值最大值最大值最大值是交流电的幅值。是交流电的幅值。用用大写字母大写字母大写字母大写字母加下标表示加下标表示, 如如: Im, Um, Em有效值有效值有效值有效值 交流电流通过一个电阻时在一个交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能周期内消耗的电能, 与某直流电流在同一与某直流电流在同

8、一电阻、相同时间内消耗的电能相等电阻、相同时间内消耗的电能相等, 这一这一直流电流的数值定义为交流电的有效值，直流电流的数值定义为交流电的有效值，用用大写字母大写字母大写字母大写字母表示表示, 如如: I、U、E。i (t) = Imcos( t + i)0 Ti2dt1TI =Ri2dt = RI2T0T ( t+ )称为正弦量的称为正弦量的相位角相位角或或相位。相位。它反映出正弦量它反映出正弦量变化的进程。变化的进程。3. 3. 初相位初相位初相位初相位 对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值 (t=0时的时的值值) 就不同，到达某一特定值（如

9、就不同，到达某一特定值（如0值）所需的时间也就不同。值）所需的时间也就不同。例如例如:t = 0 时的相位角时的相位角 称为称为初相位角初相位角或或初相位。初相位。若所取计时起点不同，则正弦量若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。初相位不同。i (t) = Imcos ti (t) = Imcos ( t + )t = 0时，时， i (0) = Imi (0) = Imcos i t0i0 ti0Im4. 4. 相位差相位差相位差相位差i1 = I1mcos ( t + i1)i2 = I2mcos ( t + i2)的相位差的相位差 和和 = ( t + i1) - - ( t + i2

10、) = i1i1- - - - i2i2i2 超前超前i1i2 滞后滞后i1 ti10 ti10 ti10 ti10 ti10i2i2i2i1与与i2反相反相i2i1与与i2同相同相i2i1与与i2正交正交在一个交流电路中，通常各支路电流在一个交流电路中，通常各支路电流(电压电压)的的频率相同，而相位常不相同。频率相同，而相位常不相同。8.1 变换方法的概念变换方法的概念 正弦电量正弦电量（时间函数）（时间函数）正弦量运算正弦量运算所求正弦量所求正弦量变换变换相量相量（复数）（复数）相量结果相量结果反变换反变换相量运算相量运算( (复数运算复数运算) ) 正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素正

11、弦量具有幅值、频率和初相位三个要素, 它们除了用三角它们除了用三角函数式和正弦波形表示外，还可用函数式和正弦波形表示外，还可用相量相量来表示同频率的正弦量。来表示同频率的正弦量。正弦量的正弦量的相量表示法相量表示法就是用就是用复数复数来表示正弦量。来表示正弦量。 相量法相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具，是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。例如：已知两个支路电流例如：已知两个支路电流 i1= I1mcos( t + i1) i2= I2mcos( t + i2)若求：若求： i1+ i2有向线

12、段可有向线段可用复数表示用复数表示8.2 复数复数设设设设A A1 1 = = a a1 1+ + j jb b1 1 = r= r1 1 1 1复数运算复数运算复数运算复数运算A A2 2 = = a a2 2+ + j jb b2 2 = r= r2 2 2 2则则 A1 A2 = (a1a2) + j (b1b2)A1 A2 = r1 r2 ( 1+ 2)代数式代数式代数式代数式极坐标式极坐标式极坐标式极坐标式或指数式或指数式或指数式或指数式 cos +j sin = e j 由欧拉公式：由欧拉公式：A= a + jb = r (cos +jsin ) = r e j = r 代数式代数

13、式代数式代数式 三角式三角式三角式三角式 指数式指数式指数式指数式 极坐标式极坐标式极坐标式极坐标式a = r cos b = r sin r = a2+b2 =arctanba辐角辐角模模aA0 b+1+jr8-3 振幅相量和有效值相量振幅相量和有效值相量由欧拉恒等式，由欧拉恒等式， ej = cos + jsin 令令 = t+ Imej( t+ ) = Imcos( t+ ) + jImsin( t+ )设设 i (t) = Imcos ( t + )Re Imej( t+ ) = Imcos( t+ ) = i(t)Im Imej( t+ ) = Imsin( t+ )Re (ej )

14、 = cos Im (ej ) = sin Imej( t+ ) = Imcos ( t + ) + jImsin ( t + )设设 i(t) = Imcos( t + )i(t) = Imcos( t + ) = ReImej( t+ )=ReImej ej t由欧拉恒等式由欧拉恒等式 ej = cos + jsin = ReIm ej t= Imej =Im / = Imcos + jImsin Im式中式中称为正弦电称为正弦电流流流流 i(t)的的振幅相量振幅相量振幅相量振幅相量或或幅值相量幅值相量幅值相量幅值相量Im I = 2= Iej =I / = Icos +jIsin 称为正

15、弦电流称为正弦电流 i(t) 的的有效值相量有效值相量有效值相量有效值相量8-3 振幅相量和有效值相量振幅相量和有效值相量 +1 +j0 t1+ Im ti0 t1 A t2A i = Imsin( t+ )i t t1 有向线段长度是有向线段长度是Im，t = 0时，与横时，与横轴的夹角是轴的夹角是 ，以角速度以角速度 逆时针方逆时针方向旋转，它在向旋转，它在实轴上的投影，实轴上的投影，即为即为正弦电流的正弦电流的瞬时值瞬时值i= Imcos( t+ )t = t1时，时， i(t1) = Imcos( t1+ ) i = Imcos( t+ ) 0 t2 由以上分析可知，一个复数由模和辐角

16、两个特征量确定。由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量确定。而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。但在分析线而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率同频率同频率同频率的正的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可以由幅值和初相位两个特征量来确定。以由幅值和初相位两个特征量来确定。 比较复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即比较复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值为正弦量的幅值(或有效值或

17、有效值)，复数的辐角即为正弦量的初相位。，复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量相量相量相量， 用在大写字母上打一用在大写字母上打一用在大写字母上打一用在大写字母上打一 “ ” “ ” 的符号表示。的符号表示。的符号表示。的符号表示。I = I = Iej = I (cos +jsin ) (有效值相量有效值相量) Im= Im = Imej =Im (cos +jsin ) (最大值相量最大值相量)的相量为的相量为例如例如i (

18、t) = Imcos ( t + )8-3 振幅相量和有效值相量振幅相量和有效值相量 = Ia + j Ib= Icos +jIsin = Iej = I I = Iam + j Ibm= Imcos + jImsin = Imej = Im Im相量是相量是表示表示表示表示正弦交流电的复数，正弦交流正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，所以二者之间并电是时间的函数，所以二者之间并不不不不相等相等相等相等。正弦量正弦量用用旋转有向线段表示旋转有向线段表示用复函数表示。用复函数表示。同频率正弦量同频率正弦量可以用可以用复数复数来表示，称之为来表示，称之为相量相量。用大写字母上打用大写字母上打

19、“”表示。表示。IUm i = Imcos( t + )最大值最大值相量相量有效值有效值相量相量0Im +1+jI IaIb相相量量图图IamIbm例：已知某正弦电压例：已知某正弦电压 Um = 311V，f = 50Hz， u = 30, 试写出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值试写出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量，画出相量图，求出相量，画出相量图，求出 t = 0.01s时电压的瞬时值。时电压的瞬时值。解：解：瞬时值瞬时值 u = 311cos (100 t + 30) V= 311 30 VUm u (0.01) = 311cos (100 0.01 + 30 )=

20、269.3VU U 30= 220VU = 2Um= 2311= 220 30 VU 有效值相量有效值相量最大值相量最大值相量有效值有效值电压的瞬时值电压的瞬时值相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，二者之间并不相等。时间的函数，二者之间并不相等。时间的函数，二者之间并不相等。时间的函数，二者之间并不相等。 按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为图形，称为相量图相量图。结结 论论只有正弦量才能用相量表示

21、；只有正弦量才能用相量表示；只有正弦量才能用相量表示；只有正弦量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；相相量量图图 +1j0 0 i1 i2I1mI2m例例 若若 i1= I1mcos( t + i1) i2= I2mcos( t + i2)，已知已知: i1= 30， i2= 65，I1m= 2I2m 试试: 画出相量图。画出相量图。i1(t)= 5cos(314t + 60) Ai2(t)= 10sin(314t + 60) Ai3(t)= 7cos(3

22、14t + 60) A写出相量，绘相量图写出相量，绘相量图i2(t) = 10sin(314t +60) =10cos(314t 30) = 7cos(314t 120 ) A例例:i3(t) = 7cos(314t+ 60) I1m=5/60 AI3m=7/ 120 AI2m=10/ 30 A解：解：+j+160I1m -30-120I2m I3m 8-4 相量的线性性质和相量的线性性质和 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式1. 1. 相量的线性性质相量的线性性质相量的线性性质相量的线性性质 表示若干个同频率正弦量表示若干个同频率正弦量(可带有实系数可带有实系数)线性组合线性组合的

23、相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。如设两个正弦量分别为：如设两个正弦量分别为：i1(t) = Im1cos( t+ 1) = ReReIm1 ej t 设设 k1和和k2为两个实数，则正弦量为两个实数，则正弦量 i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t)可用相量表示。可用相量表示。= ReReIm2 ej ti2(t) = Im2cos( t+ 2) Im = k1 Im1 + k2 Im2 例例 若已知若已知 i1=I1mcos( t + 1)=100cos( t +45 ) A， i2=I2mcos( t + 2) = 60

24、cos( t 30 ) A，试，试求求 i = i1+ i2。解解于是得于是得 i2=129cos( t + 18.33 )A 正弦电量的运算可按正弦电量的运算可按下列步骤下列步骤进行进行正弦量运算正弦量运算正弦电量正弦电量(时间函数时间函数)所求正弦量所求正弦量变换变换变换变换相量相量(复数复数)相量结果相量结果反变换反变换反变换反变换相量运算相量运算(复数运算复数运算)例例 若已知若已知 i1= I1mcos( t + i1)、 i2= I2 mcos( t + i2)， 用相量图求解用相量图求解 i1 + i2。i = Imcos( t + i)解：（解：（1）用相量图法求解）用相量图法

25、求解+1+j0 i1 i2ImI1mI I2m2m i（2）用复数式求解）用复数式求解正弦量运算正弦量运算正弦电量正弦电量(时间函数时间函数)所求正弦量所求正弦量变换变换变换变换相量相量(复数复数)相量结果相量结果反变换反变换反变换反变换相量运算相量运算(复数运算复数运算)2. 2. 相量的微分性质相量的微分性质相量的微分性质相量的微分性质 这一性质包含两个内容：这一性质包含两个内容： 若若 Am 为给定正弦量为给定正弦量 Amcos( t+ ) 的相量，则的相量，则 j Am 为该正弦量的导数的相量。亦即为该正弦量的导数的相量。亦即 ReReAm ej t = Re Re Amej t= R

26、eRe j Am ej tdddtdt取实部和求导数的运算是可交换的取实部和求导数的运算是可交换的(ReRe 和和 可交换可交换) . dt d 复值函数复值函数 Amej t 对对 t 的导数等于该函数与的导数等于该函数与 j 的乘积的乘积 .8-4 相量的线性性质和相量的线性性质和 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式Ai1i3i2i1 = I1mcos ( t + 1)i2 = I2mcos ( t + 2)i3 = I3mcos ( t + 3)由由KCL，对结点，对结点A i1 + i2 i3 = 0结点结点A的电流的电流相量表达式相量表达式为为AI1I2I3I1 + I2

27、I3 = 0基尔霍夫定律基尔霍夫定律相量形式相量形式 KCL I = 0 U = 0 注注意意KVL Im 0 ，即即即即 I1m + I2m I3m 0 i = 0 u = 08-4 相量的线性性质和相量的线性性质和 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 I 0 ， 即即即即 I2I3I1 + 0 0 电路分析是确定电路中电路分析是确定电路中电压与电流电压与电流关系及关系及能量的转换能量的转换问题。问题。8.6.1 8.6.1 电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路 本节从电阻、电容、电感两端电压与电流一般关系式入手，本节从电阻、电容、电感两端电压与

28、电流一般关系式入手，介绍在正弦交流电路中这些理想元件的介绍在正弦交流电路中这些理想元件的电压电压与与电流电流之间的关系，之间的关系，为分析交流电路奠定基础。第九章再讨论为分析交流电路奠定基础。第九章再讨论功率功率和和能量转换能量转换问题。问题。R +ui电压与电流的关系电压与电流的关系在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。根据欧姆定律根据欧姆定律设设则则式中式中或或可见，可见，R 等于电压与电流最大值或有效值之比。等于电压与电流最大值或有效值之比。8-5 三种基本电路元件三种基本电路元件VCR的相量形式的相量形式i (t) =

29、Imcos ( t + )u(t) = RImcos ( t + ) = Umcos ( t + ) 电压与电流同频率、同相位；电压与电流同频率、同相位；电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 UI 电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 相量图相量图+1+j08.6.1 8.6.1 电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路U = U I = I i (t) = Imcos ( t+ )u(t) = RImcos ( t+ ) = Umcos ( t+ )iu波波形形图图 t0设设 =0R +ui

30、 设设 0fXL感抗感抗电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系由由，有，有 感抗与频率感抗与频率f 和和L成正比。因此，成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。而对直流可视为短路。8.6.2 8.6.2 电感元件的交流电路电感元件的交流电路电感元件的交流电路电感元件的交流电路设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。XL与与 f 的关系的关系i = Imcos tu = LImsin t = Umcos( t + 90 ) +uiL单位：单位：单

31、位：单位： （1 1）u u 和和和和 i i 的频率相同；的频率相同；的频率相同；的频率相同；（2 2）u u 在相位上超前于在相位上超前于在相位上超前于在相位上超前于 i i 90 ；（3 3）u u 和和和和 i i 的最大值和有效值之间的关系为：的最大值和有效值之间的关系为：的最大值和有效值之间的关系为：的最大值和有效值之间的关系为： Um = XLIm U =XLI 用相量法可以把电感的电压和电流的以上三方面用相量法可以把电感的电压和电流的以上三方面 关系的关系的(2)和和(3)统一用相量表示：统一用相量表示：Um = j XL ImU = j XLI即即: jI = I e j90

32、 = Ie j e j90 = Ie j( +90 )因因 jI 相当于将相量相当于将相量 I 逆时针转了逆时针转了90 U +1+j0I相量图相量图由上面的分析可知电感的电压和电流的关系为由上面的分析可知电感的电压和电流的关系为U +1+j0电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系电压超前电流电压超前电流90 ；相量图相量图 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 8.6.2 8.6.2 电感元件的交流电路电感元件的交流电路电感元件的交流电路电感元件的交流电路Ii = Imcos tu = Umcos( t + 90)i波波形形图图 t0uU I 电压与电流相量式电压与

33、电流相量式 = j XL +uiLUm = XLImUm = j XL Im解：解：XL2 = 2 f2L = 3140 10 30 j 31.4= 0.318 60A10 30 j 3140= 0.00318 60AXL1= 2 f1L= 31.4 U. UjXL1.=I1=. UjXL2.I2=.I2I1.3060+1例例: 已知已知: L=0.1H，u=10 2 cos ( t + 30) V， 当当f1= 50Hz，f2 = 5000Hz时，求时，求XL及及I， 并画出并画出U、I 的相量图。的相量图。.= 3.18 60 mA0fXC容抗容抗设设电压与电流的关系电压与电流的关系电压与

34、电流的关系电压与电流的关系得得由由8.6.3 8.6.3 电容元件的交流电路电容元件的交流电路电容元件的交流电路电容元件的交流电路fCX 21C= =C +uiXC与与 f 的关系的关系设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。式中式中 容抗与频率容抗与频率 f，电容电容C 成反比。成反比。因此，电容元件对高频电流所呈现因此，电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流所呈现的容的容抗很小，而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故可视为开路。抗趋于无穷大，故可视为开路。u = Umcos ti = C Umsin t = Imcos( t

35、 + 90)单位：单位：单位：单位： （1 1）u u 和和和和 i i 的频率相同；的频率相同；的频率相同；的频率相同；（2 2）i i 在相位上超前于在相位上超前于在相位上超前于在相位上超前于 u u 9090 ；（3 3）u u 和和和和 i i 的最大值或有效值之间的关系为：的最大值或有效值之间的关系为：的最大值或有效值之间的关系为：的最大值或有效值之间的关系为： Um = XCIm U = XC I 用相量法可以把电容的电压用相量法可以把电容的电压和电流的上面三方面的关系的和电流的上面三方面的关系的(2) 和和 (3) 统一用相量式表示：统一用相量式表示： Um = j XC Im

36、U = jXCI即即: j I= I e j90 = Ie j e j90 = Ie j( 90 )因因 j I 相当于将相量相当于将相量 I 顺时针转了顺时针转了90 由上面的分析可知电容的电压和电流的关系为由上面的分析可知电容的电压和电流的关系为相相量量图图I U+1+j0u波波形形图图 t0iU +1+j0 电流超前电压电流超前电压90 相量图相量图I 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系电压与电流的关系8.6.3 8.6.3 电容元件的交流电路电容元件的交流电路电容元件的交流电路电容元件的交流电路u = Umcos ti = C Umc

37、os( t + 90 )C +uiUm = XCIm 电压与电流相量式电压与电流相量式 = XC I，UjUm = j XC Im例：例：例：例：下图中电容下图中电容C = 23.5 F，接在电源电压接在电源电压U= 220V、 频率为频率为50Hz、初相为零的交流电源上。、初相为零的交流电源上。求：电流求：电流 i，该电容的额定电压最少应为多少伏？，该电容的额定电压最少应为多少伏？ 额定电压额定电压 311V。解解: 容抗容抗 = = = = = 5 .135211CfCCX C +uii = Imcos( t + 90 )= 2.3 cos(314t + 90 )1. 1. 纯电阻元件交流

38、电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路u = iR 电压与电流电压与电流同频率、同相位同频率、同相位电压与电流大小关系电压与电流大小关系 U=R I 或或 Um= RIm电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 Um = R Im 电压超前电流电压超前电流90 didtu = L 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 U = I XL，XL= L电压与电流相量电压与电流相量表达表达式式 Um = j XL Im 2. 2. 纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路 电流超前电压电流超前电压90 电压与电流大小关系电压与电流大小关系 U = I

39、XC，XC = 1/ Cdudti = C 3. 3. 纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 Um = jXC Im小结：单一参数的交流电路小结：单一参数的交流电路( (一一一一) ) 纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 电压与电流相量电压与电流相量表达表达式式( (二二二二) ) 纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路( (三三三三) ) 纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路纯电容元件交流

40、电路UI= j XL = ZL = IIYL1UI= R = ZR = IIYR1电压与电流相量电压与电流相量表达表达式式UI= j XC = ZC = IIYC1U U = = Z Z = = I I I I Y Y1 1 欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式U Z = I 称为复数阻抗，简称阻抗，单位：称为复数阻抗，简称阻抗，单位： 称为复数导纳，简称导纳，单位：称为复数导纳，简称导纳，单位：SY = Z 18-6 VCR相量形式的统一相量形式的统一 阻抗和导纳的引入阻抗和导纳的引入U U = = R R I I U = U = j j L L I I

41、U = U = j j I I C C1 1 i = Ci = Cdududtdtdidiu = Lu = Ldtdtu = iRu = iRRui+Cui+RUI + j C1UI+uiL+j LUI+相量模型相量模型相量模型相量模型：电压、电流用相量表示，电路参数用复数阻抗表示。：电压、电流用相量表示，电路参数用复数阻抗表示。8-7 正弦电路与电阻电路的类比正弦电路与电阻电路的类比正弦电路与电阻电路的类比正弦电路与电阻电路的类比 相量模型的引入相量模型的引入相量模型的引入相量模型的引入 和计算复杂直流电路一样，正弦稳态混联电路和计算复杂直流电路一样，正弦稳态混联电路也可应用支路电流法、网孔

42、分析法、节点分析法、也可应用支路电流法、网孔分析法、节点分析法、叠加原理和戴维南定理等方法来分析与计算。所不叠加原理和戴维南定理等方法来分析与计算。所不同的是电压、电流应以相量表示，电阻、电感和电同的是电压、电流应以相量表示，电阻、电感和电容及其组成的电路应以复数阻抗或复数导纳来表示。容及其组成的电路应以复数阻抗或复数导纳来表示。即正弦稳态混联电路用其相量模型表示。即正弦稳态混联电路用其相量模型表示。8-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 I = 0 U = 0 U = Z = IIY1欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式根据根据KV

43、L可列出可列出1. 1. 电阻、电感与电容元件串联的交流电路电阻、电感与电容元件串联的交流电路电阻、电感与电容元件串联的交流电路电阻、电感与电容元件串联的交流电路如用相量表示电压与电流关系，如用相量表示电压与电流关系，可把电路模型改画为相量模型。可把电路模型改画为相量模型。电路的阻抗，用电路的阻抗，用 Z Z 表示。表示。Z KVL相量表示式为相量表示式为电压电流关系电压电流关系电压电流关系电压电流关系I j jX XL LR RU URUCUL j jX XC C+CRLuRuLuCiu+Z = R2 +X2Z= R+j(XL- -XC)XL- -XC = X 阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角 =

44、arctan XR复数阻抗复数阻抗Z= R+jX = Z 电压电流关系电压电流关系电压电流关系电压电流关系I j jX XL LR RU URUCUL j jX XC C+电抗电抗 阻抗三角形阻抗三角形XRZ Z = R2 +X2阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角 =arc tan XRZ Z = =U U I I = = U U u u I I i i= =U UI I = u u i i阻抗阻抗Z= R+jX = Z 当当XLXC 时时, X 0， 0，电路中电压，电路中电压超前超前电流电流,电路呈电路呈电感性电感性电感性电感性；当当XLXC 时时, X 0， 0，则电压，则电压滞后滞后电流，电路呈

45、电流，电路呈电容性电容性电容性电容性；当当 XL = XC , X = 0， = 0，则电流与电压，则电流与电压同相同相，电路呈，电路呈电阻性电阻性电阻性电阻性。设电流设电流为参考正弦量为参考正弦量i = Imcos t则电压则电压u = Umcos( t + )I j jX XL LR RU URUCUL j jX XC C+电压电流关系电压电流关系电压电流关系电压电流关系 的大小和正负由的大小和正负由电路参数决定。电路参数决定。 为正时为正时电路中电路中电压电流相量图电压电流相量图I UURUL UCULUC阻抗阻抗三角形三角形U= U2R+(UL - - UC )2电压有效值之间关系电压

46、有效值之间关系I j jX XL LR RU URUCUL j jX XC C+XL XCR Z电压电压三角形三角形UL+UCUR U两个两个两个两个三角三角三角三角形相似形相似形相似形相似解：解：1. 感抗感抗感抗感抗 XL= L=314127 10-3 = 40 容抗容抗容抗容抗 XC= C1=31440 10 -61 = 80 Z = R2 + (XL XC)2复阻抗模复阻抗模例例例例1:1: RLC串联交流电路如图串联交流电路如图, 已知已知R=30 、L=127mH、 C = 40 F, 电源电压电源电压 u = 220 cos (314 t + 45）V求：求：1. 感抗、容抗及复

47、阻抗的模感抗、容抗及复阻抗的模; 2. 电流的有效值和电流的有效值和瞬时值表达式；瞬时值表达式；3. 各元件两端电压的瞬时值表达式。各元件两端电压的瞬时值表达式。 2复阻抗模复阻抗模复阻抗模复阻抗模= 50 Z = 302 + (40 80)2CRLuRuLuCiu+解：解：1. XL= 40 XC = 80 =50 Z2. 电压相量电压相量电压相量电压相量=220 45 VU I =UZ=220 45 30+j(40-80)=220 45 50 53 =4.4 98 A I = 4.4 Ai = 4.4 cos(314 t + 98 )A电流有效值电流有效值电流有效值电流有效值瞬时值瞬时值瞬

48、时值瞬时值 2uR= 132 2 cos(314 t + 98 )V3. =R I = 132 98 VUR=I j XL= 176 172 VULuL= 176 cos(314 t 172 )V 2UC= j XCI= 352 8 VuC= 352 cos(314 t + 8 )V 2求：求：1. 感抗感抗、容抗及复阻抗的模；容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和电流的有效值和瞬时值表达式；瞬时值表达式；3 .各元件两端电压瞬时值表达式。各元件两端电压瞬时值表达式。I j j L LR RU URUCUL C C1 1 j j+解：解：1. XL= 40 XC = 80 = 50 Z2. =

49、 220 45 VU 电压相量电压相量电压相量电压相量I =U Z=220 45 30+j(40-80)=220 45 50 53 =4.4 98 A 求：求：1. 感抗感抗、容抗及复阻抗的模；容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和电流的有效值和瞬时值表达式；瞬时值表达式；3 .各元件两端电压瞬时值表达式。各元件两端电压瞬时值表达式。U = 45= 45 98 98 = 53 = 53 I URULUC 容性电路容性电路容性电路容性电路 I j j L LR RU URUCUL C C1 1 j j+3. =R I =132 98 VUR=I j XL=176 172 VULUC= j XCI

50、=352 8 VXC = 8 例例2: 电路如图电路如图, 已知已知 R= 3 , 电源电压电源电压u = 17 cos314 t V, j XL = j 4 。求：。求：1. 容抗为何值容抗为何值 (设容抗不等于零设容抗不等于零) ？ 开关开关S闭合前后闭合前后, 电流的有效值不变电流的有效值不变, 其值等于多少？其值等于多少？2. 当当S打开时打开时, 容抗为何值使电流容抗为何值使电流 I最大最大, 其值为多少？其值为多少？Z = 5 = R2 + XL2解：解：1. = R2 + (XLXC)2ZI = 2.4AI = = = 4 AUR1232. XC = 4 U = = 12V17

51、2 XL XC = XLI RjXCjXLS+U URUCUL+ICIILIR =+U R1=+jXL1jXC1（+）U R1=+XC1XL1 )j（U = G + j (BC BL)容纳容纳电导电导感纳感纳Y Y = = G G + j+ j ( (B BC C BBL L) )R、L、C并联并联电路的导纳：电路的导纳：=YI U UY=I （1）导纳）导纳Z = 1 Y2. 2. R R、L L、C C 并联电路并联电路并联电路并联电路CRLi iu u+iRiLiC8-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 设设 u = Umcos tIR 相量图相量图I IC IL IC I

52、L U U j LILICI RIR- - - - （2）相量图）相量图2. 2. R R、L L、C C 并联电路并联电路并联电路并联电路 j C1+ + + + uCRLiiRiCiL- - - - + + + + I = IR2 + (ILIC)2（2） 相量图相量图电流三角形电流三角形电流三角形电流三角形例：已知例：已知IL= 5A, IC= 2A, IR= 4A, 求：电流的有效值求：电流的有效值 I。解：解：I = 42+(52)2 = 5A2. 2. R R、L L、C C 并联电路并联电路并联电路并联电路CRLi iu u+iRiLiCIIRIL+IC U IIRIC ILIC

53、IL3. 3. 混联交流电路混联交流电路混联交流电路混联交流电路设设 u = Umcos t相相相相量量量量图图图图IIcUURULIRLuiiRLiCuRuLCL+RUj LIRL IC I RURUL+ - -j C18-8 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析 j4 Z13 2 10 90 A1 -j7 Z2I1I2 IS45I1I2 IS解：解： 求：求：求：求： I I1 1，I I2 2并画出相量图并画出相量图并画出相量图并画出相量图例例:由由KCL 和计算复杂直流电路一样，复杂交流电路也可以用和计算复杂直流电路一样，复杂交流电路也可以用网孔电流法、节点分析法、叠加原理和戴

54、维南定理等方网孔电流法、节点分析法、叠加原理和戴维南定理等方法来分析和计算。所不同的是电量以法来分析和计算。所不同的是电量以相量相量相量相量 U U、I I 表示，表示，元件元件 R、L、C 应以应以阻抗或导纳阻抗或导纳阻抗或导纳阻抗或导纳 表示，表示，即相量模型即相量模型即相量模型即相量模型。电阻电阻(直流直流)电路和正弦稳态电路的对应关系为电路和正弦稳态电路的对应关系为电阻电路：电阻电路： U I US IS R正弦电路：正弦电路： U I US IS Z j L j C1 8-9 相量模型的网孔分析和节点分析相量模型的网孔分析和节点分析 例例1：试列出图示电路的网孔方程组。试列出图示电路

55、的网孔方程组。网孔方程组网孔方程组- -j3I1+ (2+ j3 - -j2)I2- -2I3 = 0- -2I2+ (2 - - j)I3 = - -5II = I1 I2辅助方程辅助方程解：解： 3 I1 j2 j I2I3j3 2 1 12 25I 10/30 I(3 + j3)I1 j3I2 = 10/30 例例2： 试列出图示电路的节点方程组。试列出图示电路的节点方程组。节点方程组节点方程组3jU2I = =U1 = 10 /30 UjjUj= = + + + + + 3)12121(221 Uj 410 辅助方程辅助方程03212)213131(= = + + +UjUjj+ +U

56、131 解：解： 1 12 23 34 45I 10 /30 IU4 = 5 I3 j2 j j3 2 一、一、一、一、 无源单口网络的等效无源单口网络的等效无源单口网络的等效无源单口网络的等效2. 正弦稳态电路正弦稳态电路 abRZ Zabab(j (j ) ) = = R R( ( ) )+ + j jX X( ( ) )Y Yabab(j (j ) ) = G= G( ( ) ) + + j jB B( ( ) )8-10 相量模型的等效相量模型的等效1. 电阻电路电阻电路RjXjBGN0 abN0ababGZ1UI U= ZI U = (Z1+ Z2)I Z2U2U1 等效变换条件等效

57、变换条件等效变换条件等效变换条件Z = Z1+ Z2若若Z1= R1+ jX1Z2 = R2+ jX2则则Z = R1 + jX1 + R2+jX2 = (R1+ R2) + j(X1 + X2)Z Z Z Z1 1 + + Z Z2 2一般一般1. 阻抗的串联阻抗的串联U=U2U1+U U U U1 1 + + U U2 2+ZUI + = Z Zk阻抗的串联与并联阻抗的串联与并联Z =Z1+ Z2Z1 Z22. 阻抗的并联阻抗的并联 I= I2 I1+ZI =U =Z 1Z1Z211+I U =Z1Z2+U 等效电路等效电路ZU I +一般一般I I1 + I2 = Z 1Zk1 Z 1Z

58、1Z211+ Z1UIZ2 I1 I2+Z= R + jX两种等效电路的关系两种等效电路的关系串联串联串联串联 并联并联并联并联Y = G + jBZ = R + jX221XRjXRZY+ +- -=1jXR+ +=22XRjR+ +- -=22XRX+ += G + jB- -22XRX+ +B =22XRR+ +G =RjXjBG并联并联并联并联 串联串联串联串联Y = G + jB jXR +=BX1 GR1 阻抗与导纳互为倒数。阻抗与导纳互为倒数。XBGB=+ 22正弦稳态电路正弦稳态电路 Zab(j ) = R( ) + jX( )Yab(j ) = G( ) + jB( )N0

59、abRjXjBGRG=BG+22jG =BG+22BGB+2211jBGjBGYZ =+=BG+22UOCZ0ISCZ0二、含源单口网络的等效二、含源单口网络的等效二、含源单口网络的等效二、含源单口网络的等效1. 1. 恒定激励含源电阻网络恒定激励含源电阻网络恒定激励含源电阻网络恒定激励含源电阻网络 2. 2. 正弦稳态含源单口网络正弦稳态含源单口网络正弦稳态含源单口网络正弦稳态含源单口网络 戴维南戴维南等效电路等效电路 诺顿诺顿等效电路等效电路 诺顿诺顿等效电路等效电路 NN 戴维南戴维南等效电路等效电路 UOCR0ISCR0例例例例1 1：图示电路中图示电路中 i(t) = cos(3t

60、+ 45) A，求：，求：u(t)。解：解：(1)作出相量模型作出相量模型abi(t)u(t)2 31H65H31FabIU 2 - -j j 25 j 解：解： (1) 作相量模型：作相量模型：(2) 求求U552325225)2(2)2(jjjjjjjjabZ+ + + += =+ + + += =jjjjj+ + += =+ + + += =234105 = =+ += =45 2222jIabZU90 V245 =2145 22 = = =u(t) = cos(3t + 90) V22I45 A21 =例例例例1 1：图示电路中图示电路中 i(t) = cos(3t + 45) A，求

61、：，求：u(t)。abIU 2 - -j j 25 j 例例例例2 2：求电路的求电路的 Z0，(设设 = 2 rad/s)Z0 = 6.2 10.2R = 6.1 C = 0. 455F= 6.1 j1.1 Z1ba6 5 3H0.5FZ0Z2baj6 5 6 - -j1 Z0解解: Z1 = 5 + j6 Z2 = j1 例例例例3 3：在图示移相电路中在图示移相电路中, 已知已知: R=10 , XC = 10 , 输入信号电压输入信号电压U1= 1 0 V, 求求: 输出电压输出电压 U2 。 U1R+RU2+CCZ1U U3 3+ 解：解：解：解：Z1 = R(R jXC )10 (

62、10 j10 )Z1 = 10 + 10 j10 = 100 2 - - 45 10 5 - - 26.6 = 6.325 - -18.4 = 6 j2U3 = = 1 0 Z1 U1Z1 jXC6 j2 j106.325 18.4 = 0.472 45 VU2 = = R jXC R U310 j10100.472 45 = 0.333 90 V例例例例1 1：求电流表求电流表A0 和电压表和电压表V0 的读数。的读数。8-12 两类特殊问题两类特殊问题 相量图法相量图法 解：解：解：解：I0A1A25 j5 10AA010AI1I2UI0I1I2V0V2V1LR100V60VI+ +IU0

63、U1U2例例例例2 2：求电流表求电流表A0 和电压表和电压表V0 的读数。的读数。U1 UC2 I0 U0 IL IC1 A0A1V1I0 V0j5 5 jXC1j10 100V10AC2解：解：解：解： 例例例例3:3: 图示电路中图示电路中, 电压表读数为电压表读数为220V, 电流表读数电流表读数 为为I1 = 10A, I2 = 14.14A, R1 = 12 , R2 = XL, 电源电压电源电压 u 与电流与电流 i 同相。求：总电流同相。求：总电流 I、R2、XL、XC。 U1 =1210 =120VU2 = 220 120 = 100VXC =10010=10 Z2 = R2

64、2 +XL2=10014.14= 7.07 R2 = XL= 5 uii2i1CR2LR1A1A2Vu1u210A14.14A+I I1U2UL1014.1410U1120100I = 10A 解：解：解：解：I2UR2 1. 1. 相量法的解题步骤相量法的解题步骤相量法的解题步骤相量法的解题步骤2. 2. 相量图法的解题步骤相量图法的解题步骤相量图法的解题步骤相量图法的解题步骤(1) 将电路图画成相量模型（电路形式不变）；将电路图画成相量模型（电路形式不变）；(2) 利用利用VCRVCR、KLKL、或分压分流公式或分压分流公式的的相量形式，相量形式， 求出未知量的相量表达式，画相量图；求出未

65、知量的相量表达式，画相量图；(3) 根据题目要求，将相量式转换为所需形式根据题目要求，将相量式转换为所需形式 (I, i )。(2) 根据元件约束根据元件约束的的相位关系，画出每个电量的相相位关系，画出每个电量的相 量图（按大小比例）；量图（按大小比例）；(3) 利用平行四边形法，根据利用平行四边形法，根据KLKL 对对相量进行加、相量进行加、 减作图，求出未知相量的模和角度减作图，求出未知相量的模和角度。(1) 选择参考相量选择参考相量 (串联电路选串联电路选 I ，并联电路选，并联电路选 U )；（适用于特殊角）（适用于特殊角）（适用于特殊角）（适用于特殊角）小结：正弦稳态电路的分析方法小结：正弦稳态电路的分析方法第八章第八章 习题习题要求：做每一题时：要求：做每一题时： 1. 画电路图；画电路图； 2. 写清分析过程。写清分析过程。 8-3，8-6，8-9，8-11(3) (6)，8-13，8-15，8-18 (只列方程只列方程)，8-25，8-28，8-37，*8-26P55