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1、 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程F(x,y,z)=0CG(x,y,z)=0yxz上的任一点的坐标都满足这两个方程,即满足方程组一一. .空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线可以看作是两个曲面的交线,设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是两个曲面的方程. 它们的交线为C,则曲线C 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系方程组(1)来表示.方程组(1)就叫做空间曲线C的一般方程.反之,如果点M不在曲线C上,那么它不可能同时在这两个曲面上,它的坐标就不满足方程组(1)
2、.因此曲线C可以用例5 方程组表示怎样的曲线? 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系与平面的交线.解: 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面.其准线是xoy平面上的圆,圆心在坐标原点,半径为1.方程组中的第二个方程表示一个平面,它在x轴,y轴和z轴上的截距依次为3,2,2.如(3,0,0),(0, 2,0),(0,0,2)方程组表示上述圆柱面 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例6方程组上的圆zxyooxyz表示怎样的曲线?解:方程组中第一个方程表示球心在坐标原点.半径为a的上半球面.第二个方程表示母线平行与z轴的圆
3、柱面.它的准线是xoy平面 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系的。例如方程组这个圆的圆心在点(a/2,0),半径为a/2.方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.，因为通过空间曲线C的曲面有无限多个,我们只要任意取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组都是表示空间曲线C的方程,所以空间曲线的方程不是唯一 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系分析: 设空间动点为M(x,y,z),有点M到平面x=3的距离为|x-3|,根据题意,我们有例7 一动点与点p(1,2,3)的距离是它到平面x=3的距离的, 求动点的轨迹方程,并求该轨迹曲面
4、与yoz平面的交线. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系轨迹方程求得,它是一个椭球曲面,其中心在点(0,2,3),三个与yoz平面的交线为圆半轴成分别为 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二二. . 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程点.方程组叫做空间曲线的参数方程.变量t叫做参数.xyzMMoA在xoy平面上的平面曲线C可用F(x,y)=0.及参数方程表示.类似地空间曲线可用参数方程表示.一般用x=x(t),y=y(t),z=z(t).表示一空间曲线.确定t,就得到空间的一点(x1,y1,z1),随着t的变动可得到曲线
5、C上的全部 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由于动点以角速度绕z轴旋转,所以AoM=t例1 设空间一点M在圆柱面同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),试建立点M的轨迹的参数方程.解:坐标系如图,以时间t为参数.设当t=0时, 动点在A(a,0,0)点,经过时间t,动点由A点运动到M(x,y,z)点.M点在xoy平面上的投影M一定在圆柱面的准线上,它的坐标为(x,y, 0).上以角速度绕z轴旋转, 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系此曲线称为螺线由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,所以z=
6、vt.因此,曲线的参数方程为x=acost,y=asint,z=vt. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三三. . 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影这一部分介绍投影知识在多元积分积分区域中用. 1,投影柱面与投影 给定空间曲线C: 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2. 投影柱面与投影的求法: 设空间曲线C:定义:以C为准线,母线平行于z轴的柱面,叫做C关于xoy的投影柱面,该投影柱面与xoy面的交线称为C在xoy面的投影曲线同理可定义C对其它各坐标面的投影柱面及投影. 高高等等数数学学电电子子教教案案
7、武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系平行于轴的柱面.的投影 (曲线),即投影,其方程为:由该方程组消去z,得到方程 H(x,y)=0 (2) 这是一个母线当(x0,y0,z0)满足方程组(1)时,按同样的消元过程得到H(x0,y0)=0.它必满足方程(2). 即C上所有的点都在方程(2)所表示的柱面上.即该柱面包含曲线C.因此也包含C的投影柱面.在一般的情况下,它就是C关于xoy面的投影柱面.投影柱面H(x,y)=0与xoy平面的交线,叫做曲线在xoy平面上 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系曲线C在yoz平面上的投影曲线方程为:曲线C在yoz平面上的投影曲
8、线方程为:同理由(1)消去x,或y得到柱面R(y,z)=0及T(x,z)=0分别包含C关于yoz平面及xoz平面上的投影柱面.而方程R(y,z)=0,x=0.和T(x,z)=0,y=0必包含C关于yoz平面和xoz平面的投影.一般它们就是C在这两个平面上的投影. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系求它们的交线C在xoy平面上的投影方程.例1 已知两球面的方程为解: 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系其在称为椭圆柱面, xoy平面的投影为椭圆加上z=0即可. 例2 设有一立体,由上半球面类似,我们也可以求空间立体在坐标面上的投影(立体是曲面所围成的).求得曲面交线的投影也就可以确定立体在坐标面上的投影.求立体在坐标面上的投影是今后研究重积分所必需的基础.它的求法是:如果求xoy平面的投影,在方程式中把z消去,再及锥面围成 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系从上面两个方程中消去z就可以得到为投影柱面(2)求曲线在xoy平面上的投影曲线为xyz(3)求所求立体在xoy平面上的投影: 其投影为圆:在xoy平面上的所围的部分:求其在xoy平面上的投影.
