二阶微分方程二阶微分方程 习题课习题课 n二阶常系数线性微分方程的一般形式为二阶常系数线性微分方程的一般形式为n ay’’+by’+cy=f(x)na,b,c都是实系数，都是实系数，a≠0,f(x)是是x的函数的函数n当当f(x)≡0 n 为二阶常系数线性齐次微分方程为二阶常系数线性齐次微分方程n当当f(x)≡0n 为二阶常系数线性非齐次微分方程为二阶常系数线性非齐次微分方程 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x) (2)一、 型 特别地特别地 由分解定理由分解定理分别是以分别是以 为自由项的非齐次线为自由项的非齐次线性微分方程的特解性微分方程的特解 例例1 设函数 y = y (x)满足微分方程且其图形在点(0,1)处的切线与曲线 y＝x2－x＋1在该点的切线重合，求函数 y = y (x) . 解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且 f (x)＝2ex 是Pm(x)eλx型(其中Pm(x)＝2，λ＝1)。
原方程对应的齐次方程为 ，其通解为 由于λ＝1是特征方程 r2－3r＋2＝0的单根，因此设原方程的一个特解为 y* = axex ，代入方程中，求得 a＝－2，故原方程的通解为 从上述方程组中，解得C1＝2，C2＝1.故所求函数为 其次确定初始条件，由所给条件知，在点(0,1)处所求曲线与已知曲线 y＝x2－x＋1有公共的切线，因此所求函数应满足初始条件：y(0)＝1及 ，即有 解解 所给方程的对应的齐次方程为 例例2 解微分方程 它的特征方程有一个二重实根 r＝2.于是对应的齐次方程的通解为 由于 f (x)= f1(x)＋ f2(x) ，而 f1(x) ＝8x2属于Pm(x) eλx型(其中Pm(x)＝ 8x2 ，λ＝0)； f2(x)＝ e2x也属于Pm(x) eλx型(其中Pm(x)＝1 ，λ＝2)且0及±2i均不是特征方程的根；2是特征方程的二重根，故设特解为 并求出代入原方程中，比较等式两端同类项系数，则有由上述方程组解得 于是求得一个特解为故原微分方程的通解为 解解 特征方程为 例例3 求常系数齐次线性方程的通解和给定条件下的特解。
解得所以方程的通解为由 得C1＝－1，C2＝1，故所求特解为 例例4 求方程 的一个特解 分析分析 这个二阶常系数非齐次线性方程的非齐次项这里f(x)=pm(x)eλx,其中pm(x)=1, λ=1 当a≠－1时，特征方程为λ2＋2aλ＋a2＝0，λ＝1不是特征方程的根，所以特解 将代入原方程，比较等式两边同类项系数，得 ，故特解 当a＝－1时，特征方程为λ2－2λ＋1＝0，λ ＝1是二重特征根，所以特解即将 代入原方程，比较同类项系数，得 ，故特解为 。