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1、1第六章第六章流体的涡旋流动流体的涡旋流动2第六章第六章流体的涡旋流动流体的涡旋流动6.16.16.16.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程6.26.26.26.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动 6.36.36.36.3 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量6.46.46.46.4 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 6.56.56.56.5 卡门涡街卡门涡街36.1 6.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程控制体的选取控制体的选取: :边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。形心坐标：形心坐标： x
2、, y, z三方向速度：三方向速度： vx , vy , vz密度：密度： 一、微分形式的连续方程一、微分形式的连续方程根据质量守恒定律，在根据质量守恒定律，在d dt t时间内，控时间内，控制体内制体内减少的质量减少的质量一定与同一时间内一定与同一时间内从从控制体中从从控制体中流出的质量流出的质量相等。相等。46.1 6.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程x轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流左面微元面积流入的流体质量：入的流体质量：右面微元面积流右面微元面积流出的流体质量：出的流体质量：x轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：56.1 6.1 微分
3、形式的连续方程微分形式的连续方程y轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：同理同理, y、z轴方向流体质量的流进和流出轴方向流体质量的流进和流出z轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：x轴方向流体轴方向流体的净流出量：的净流出量：66.1 6.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程每秒流出微元六面体的净流体质量每秒流出微元六面体的净流体质量微元六面体内密度变化引起微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化的每秒的流体质量的变化微分形式的连续方程微分形式的连续方程76.1 6.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程二、其它形式的连续方程二、其它形式的连续方程矢量形式：矢量形式：
4、可压缩流体的可压缩流体的定常流动：定常流动：不可压缩流体的定不可压缩流体的定常或非定常流动：常或非定常流动：86.1 6.1 微分形式的连续方程微分形式的连续方程二、其它形式的连续方程（续）二、其它形式的连续方程（续）二维可压缩流体二维可压缩流体的定常流动：的定常流动：二维不可压缩流二维不可压缩流体的定常或非定体的定常或非定常流动：常流动：96.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析刚体运动刚体运动: :移动、转动移动、转动流体运动流体运动: :移动、转动、移动、转动、变形变形控制体的选取控制体的选取: :边长为边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。的微元平行六面体。Eo点处速度：
5、点处速度： vx,vy,vzE E点处速度：点处速度：一、流体微团速度分解公式一、流体微团速度分解公式o10各角点处各角点处x方向速度：方向速度：6.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析一、流体微团速度分解公式一、流体微团速度分解公式6.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析一、流体微团速度分解公式一、流体微团速度分解公式令令: :12第一项：第一项：平移运动平移运动第二项：第二项：线变形运动线变形运动第三、四项：第三、四项：角变形运动角变形运动第五、六项：第五、六项：旋转运动旋转运动6.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析一、流体微团速度分解公式一、流体微团
6、速度分解公式角速度又可写成：角速度又可写成：13以平面运动为例以平面运动为例6.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式141.1.移动移动 各角点的速度分量中都包含各角点的速度分量中都包含vx, vyx方向移动速度：方向移动速度：vxy方向移动速度：方向移动速度：vy6.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式152.2.线变形运动线变形运动A和和D、B和和C间的间的x向向速度分量差速度分量差:x方向线应变速度：方向线应变速度
7、：y方向方向线应变线应变速度：速度：A和和B 、C和和D间的间的y向向速度分量差速度分量差:6.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式16角速度角速度6.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式4.4.角变形角变形3.3.旋转旋转角变形速率角变形速率175.5.角变形运动和旋转角变形运动和旋转6.2 6.2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式二、亥姆霍兹速度分解定理的物理意义公式旋转角变
8、形规定逆时针方向旋转为正，式中负规定逆时针方向旋转为正，式中负号代表旋转为顺时针方向号代表旋转为顺时针方向186.2 6.2 流体微团运动的分解流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动三、有旋流动三、有旋流动 无旋流动无旋流动流体微团的旋转角速度不等于零的流动流体微团的旋转角速度不等于零的流动 流体微团的旋转角速度等于零的流动流体微团的旋转角速度等于零的流动有旋流动有旋流动: :无旋流动无旋流动: :无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动196.3 6.3 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 一、涡线一、涡线 一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该一条曲线，在给
9、定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合。点的流体微团的角速度的方向相重合。涡线的微分方程涡线的微分方程206.3 6.3 涡线涡线 涡管涡管 涡束涡束 涡通量涡通量 二、涡管二、涡管 在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。三、涡束三、涡束 涡管中充满着作旋转运动的流体涡管中充满着作旋转运动的流体四、涡通量四、涡通量 旋转角速度的值与垂直于角速度方旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘
10、积的两倍。向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。 定义涡量：定义涡量：216.4 6.4 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 一、速度环量一、速度环量 速度在某一封闭周线的线积分。速度在某一封闭周线的线积分。 速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关而且与线积分的绕行方向有关, ,规定沿封闭周线绕行的规定沿封闭周线绕行的正正方向为逆时针方向方向为逆时针方向。226.4 6.4 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理 1. 1.微元封闭周线的斯托克斯定理微元封闭周线的斯托克斯定
11、理沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围面积的涡通量。沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围面积的涡通量。证明证明: :236.4 6.4 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理( (续续) ) 2. 2.平面上有限单连通区的斯托克斯定理平面上有限单连通区的斯托克斯定理 沿包围平面上有限单连通区域的封闭周线的速度环量等于通过沿包围平面上有限单连通区域的封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。该周线所包围的面积的涡通量。证明证明: :246.4 6.4 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理(
12、(续续) ) 3. 3.空间表面上的斯托克斯定理空间表面上的斯托克斯定理 沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。的涡通量。25 4. 4.多连通区域的斯托克斯定理多连通区域的斯托克斯定理： 通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度通过多连通区域的涡通量等于沿这个区域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速度环量总和之差。环量与沿所有内周线的速度环量总和之差。6.4 6.4 速度环量速度环量 斯托克斯定理斯托克斯定理 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理( (续续) )26汤姆孙定理汤姆孙定理 正压性的正压性的理想
13、流体理想流体在在有势的质量力作用下有势的质量力作用下沿任何由沿任何由流体质点组成的流体质点组成的封闭周线封闭周线的速度环量不随时间而变化。的速度环量不随时间而变化。汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：对于汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：对于非粘性非粘性的不可压缩的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在势的质量力作用下，流体和可压缩的正压流体，在势的质量力作用下，速度环速度环量和旋涡都是不能自行产生，也是不能自行消灭的：量和旋涡都是不能自行产生，也是不能自行消灭的：这是由于理想流体没有粘性，不存在切应力，不能传递旋这是由于理想流体没有粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动，既不能使不旋转的流体微团产生旋转，也
14、不能使转运动，既不能使不旋转的流体微团产生旋转，也不能使无旋转的流体微团停止旋转。无旋转的流体微团停止旋转。 27亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹第一定理亥姆霍兹第一定理在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。亥姆霍兹第二定理亥姆霍兹第二定理正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。保持为由相同流体质点组成的涡管。亥姆霍兹第三定理亥姆霍兹第三定理在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定
15、值。管的强度不随时间而变化，永远保持定值。286.5 6.5 卡门涡街卡门涡街 1919世纪末期，美国有一座大桥，其桥墩为圆世纪末期，美国有一座大桥，其桥墩为圆柱形，一日发大水，河水高速流过桥墩，瞬间桥柱形，一日发大水，河水高速流过桥墩，瞬间桥墩被折断，大桥坍塌墩被折断，大桥坍塌; ; 工厂中近百米高的钢质烟筒，在工厂中近百米高的钢质烟筒，在5-65-6级单向阵级单向阵风作用下，产生大幅度的摆动，瞬间便折断风作用下，产生大幅度的摆动，瞬间便折断; ; 发电厂中冷热交换器的管排，当送冷风速达发电厂中冷热交换器的管排，当送冷风速达到一定时速时，排管发生具有轰鸣声的振动，倾到一定时速时，排管发生具有
16、轰鸣声的振动，倾刻间排管便断裂刻间排管便断裂; ; 飞机的机翼的颤振飞机的机翼的颤振; ; 早期野外的传输电线，在阵风作用下，产生早期野外的传输电线，在阵风作用下，产生大幅度的摆动而被振断大幅度的摆动而被振断; ; 排球中的飘球等。排球中的飘球等。 6.5 6.5 绕过圆柱体的流动绕过圆柱体的流动 卡门涡街卡门涡街卡门涡街是粘性流体绕过圆柱体流动时产生的卡门涡街是粘性流体绕过圆柱体流动时产生的死水区逐渐拉长（自成封闭环路，不向下游流去）死水区逐渐拉长（自成封闭环路，不向下游流去）不断增长与摆动不断增长与摆动旋涡分裂，形成等间隔规则排列的涡列旋涡分裂，形成等间隔规则排列的涡列306.5 6.5 卡门涡街卡门涡街脱落频率：脱落频率：斯特劳哈尔数斯特劳哈尔数卡门涡街卡门涡街31323334单方柱绕流
