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1、人教版圆复习经典OCDAB连接圆上任意两点的线段叫连接圆上任意两点的线段叫弦弦1、弦的定义：、弦的定义：如：如：CD经过圆心的弦叫经过圆心的弦叫直径直径2、圆上任意两点间的部分叫、圆上任意两点间的部分叫圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以A、D为端点的弧记作为端点的弧记作AD,读读作作“弧弧AD”如：如：AB一、圆认识ABCO圆的任意直径的两个端点分圆圆的任意直径的两个端点分圆成两个弧，每个弧都叫成两个弧，每个弧都叫半圆半圆，大于半圆的叫做大于半圆的叫做优弧优弧，小于半，小于半圆的叫做圆的叫做劣弧劣弧如：优弧如：优弧BAC 劣弧劣弧BC3、顶点在圆心的角叫、顶点在圆心的角叫圆心角圆心角BOA如：如：A
2、OBC.OBCA4、 顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和并且两边都和圆相交的角叫圆周角圆相交的角叫圆周角.特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.5、圆心相同，半径不等的圆叫、圆心相同，半径不等的圆叫同心圆同心圆OO2O16、能够互相重合的两个圆叫、能够互相重合的两个圆叫等圆等圆同圆或等圆的半径相等同圆或等圆的半径相等BACD在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧等弧 圆的基本性质圆的基本性质1.圆的对称性圆的对称性:(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,任何一条直径所在的任何一条直径所在的直线都是它的对称轴直线都是它
3、的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合任何一个角度都能与自身重合,即圆具有即圆具有旋转不变性旋转不变性.2 2、垂径定理、垂径定理OABCDMAM=BM,重视：重视：模型模型“垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形” 若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.(1(1）. .定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦, ,并且平并且平分弦所的两条弧分弦所的两条弧. .(1)直径直径 (过圆心的线过圆心的线)；(2)垂直弦；垂直弦； (3) 平分弦平分弦 ；(4)
4、平分劣弧；平分劣弧；(5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意: “ 直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗这句话对吗?( )错错OABCDM(2(2）垂径定理以及推论）垂径定理以及推论不是直径不是直径 OCDAB当两条弦在圆心的同侧时当两条弦在圆心的同侧时OCDAB解解: 当当两条弦在圆心的两侧时两条弦在圆心的两侧时例例1 1已知圆已知圆O O的半径为的半径为5cm,5cm,弦弦ABAB弦弦CD,AB=6cm,CD=8cm,CD,AB=6cm,CD=8cm,则则ABAB与与CDCD距离是距离是 cm.cm.FE过过O作作OE AB于于E点点,连接连接OB, 由垂径定理得由
5、垂径定理得:AE=BE=0.5AB=3延长延长EO交交CD于于F,连接连接OC335OB=5,由勾股定理得由勾股定理得:OE=4又又 AB CDOF CD由垂径定理得由垂径定理得: CF=DF=0.5CD=4OC=5,由勾股定理得由勾股定理得:OF=3则则EF=OE+OF=7444533455FEEF=OE-OF=11、已知、已知 O中，弦中，弦AB垂直于直径垂直于直径CD，垂足为，垂足为P，AB=6，CP=1，则，则 O的半径为的半径为 - 。2、已知、已知 O的直径为的直径为10cm,A是是 O内一点，且内一点，且OA=3cm,则则 O中过点中过点A的最短弦长的最短弦长=- cm 。ABC
6、DOPOA583 3. .如图所示，已知如图所示，已知RtRtABCABC中，中，C=90, AC= C=90, AC= ,BC=1,BC=1,若以若以C C为圆心，为圆心，CBCB为半径的圆交为半径的圆交ABAB于于P P，则，则APAP 。 D (1)(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距中两条弦心距中, ,有一有一组量相等组量相等, ,那么它们所对应的其余各组量都分那么它们所对应的其余各组量都分别相等别相等. .OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB2、圆心角、弧、弦、弦心
7、距的关系、圆心角、弧、弦、弦心距的关系（2)2)圆周圆周角定理及推论角定理及推论 9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 . .OABCOBACDEOABC 定理定理: :一条弧所对的圆周角等于它所对的圆一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半心角的一半. . (2)(2)直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 . .直角直角直径直径推论推论(1)同弧或等弧所对的圆周角相等。 (1)在运用圆周角定理时，一定要注意在运用圆周角定理时，一定要注意“在同圆或者等圆中在同圆或者等圆中”的条件，的条件， (2)一条弦对着两条弧，对着两种一条弦对着两条弧，对着两种圆周角且这两种圆周角互补。圆周角且这
8、两种圆周角互补。 (3)一条弧只对着一个圆心角，但一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角。却对着无数个圆周角。(1) 相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等. (2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等.()()()1、如图1，AB是O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60，ODBC，D为垂足，且OD=10，则AB=_，BC=_；2、已知、同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与AC之间的关系为（ ）；A.AB=2AC B.AB2AC D.不能确定3、 如图2，O中弧AB的度数为60，AC是O的直径，那么B
9、OC等于 ( )；A150 B130 C120 D60图1图240BC4.如图：圆如图：圆O中弦中弦AB等于半径等于半径R，则这条弦所对的圆，则这条弦所对的圆心角是心角是,圆周角是圆周角是.60度度30度或度或150度度 一条弦对着两条弧，对着两种圆周角且这两种圆周一条弦对着两条弧，对着两种圆周角且这两种圆周角互补。角互补。 一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角。一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角。5：已知：已知ABC三点在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO，如果如果 AOC=140 ，求，求 B的度数的度数D解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD. AOC=140 D=
10、70 B=180 70 =110 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补6.6.半半径径为为1 1的的圆圆中中有有一一条条弦弦，如如果果它它的的长长为为 ，那那么么这条弦所对的圆周角为这条弦所对的圆周角为 ( ( ) ) A.60 B.120 A.60 B.120 C.45 D.60 C.45 D.60或或120120D7.7.如如图图，四四边边形形ABCDABCD内内接接于于O O，若若它它的的一一个个外外角角DCE=70DCE=70，则，则BOD=( BOD=( ) ) A A35 B.7035 B.70 C C110 D.140 110 D
11、.140 D8.8.如图所示，弦如图所示，弦ABAB的长等于的长等于O O的半径，点的半径，点C C在在AmBAmB上上, ,则则C=C= 。 30.p.or.o.p.o.p二、点和圆的位置关系二、点和圆的位置关系Opr 点点p在在o内内Op=r 点点p在在o上上Opr 点点p在在o外外1、 O的半径为的半径为R，圆心到点，圆心到点A的距离为的距离为d，且，且R、d分别分别是方程是方程 6x80的两根，则点的两根，则点A与与 O的位置关系是（的位置关系是（ ）A点点A在在 O内部内部 B点点A在在 O上上C点点A在在 O外部外部 D点点A不在不在 O上上2、M是是 O内一点，已知过点内一点，已
12、知过点M的的 O最长的弦为最长的弦为10 cm，最短的弦长为，最短的弦长为8 cm，则，则OM=_ cm.3、圆内接四边形、圆内接四边形ABCD中，中，ABCD可以是可以是（ ）A、1 2 3 4 B、1 3 2 4 C、4 2 3 1 D、4 2 1 3D3D 4、 有两个同心圆，半径分别为有两个同心圆，半径分别为和和r，是圆环内一点，则是圆环内一点，则的取值的取值范围是范围是.rOPR1 1、直线和圆相交、直线和圆相交nd d r;r;nd d r;r;2 2、直线和圆相切、直线和圆相切3 3、直线和圆相离、直线和圆相离nd d r.r.三三. .直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系OO相
13、交相交O相切相切相离相离rrrddd切线的性质定理切线的性质定理圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半径过切点的半径. .CDCD切切O O于于, OA, OA是是O O的半的半径径CDOACD OA.切线的判定定理切线的判定定理定理定理 经过半径的外端经过半径的外端, ,并且垂直于这条半径的并且垂直于这条半径的直线是圆的切线直线是圆的切线. .CDOA如图如图OAOA是是O O的的半径半径, , 且且CDOACDOA, , CDCD是是O O的切线的切线. .判定切线的方法：判定切线的方法：（）定义（）定义（）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d圆的半径圆的半径r（）（）切线的判定定理：切
14、线的判定定理：经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往、如果已知直线与圆有交点，往往要要作出过这一点的半径作出过这一点的半径，再证明直线垂直再证明直线垂直于这条半径即可；于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要要作出圆心到直线的垂线段作出圆心到直线的垂线段，再证明这条再证明这条垂线段等于半径即可垂线段等于半径即可证明：连结证明：连结OPOP。 ABAB为直径为直径 OB=OAOB=OA，BP=PCBP=PC， O
15、PACOPAC。 又又 PEACPEAC， PEOPPEOP。 PEPE为为0 0的切线。的切线。例例2 2、ABCABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的O O，交边，交边BCBC于于P P， BP=PC, PEACBP=PC, PEAC于于E E。 求证求证:PE:PE是是O O的切线。的切线。OOA AB BC CE EP P切线长切线长:如图，过圆外一点如图，过圆外一点P有两条直线有两条直线PA,PB分分别与圆别与圆O相切，经过圆外一点的圆的切相切，经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间线段的长，叫做线上，这点与切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长opABPA、P
16、B分别切分别切 O于于A、BPA = PB1=2 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长们的切线长相等，相等，圆心和这一点的连线平分两圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。条切线的夹角。 切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提提 供了新的方法。供了新的方法。12位置位置图形图形交点个数交点个数d d与与R R、r r的关系的关系外离外离内含内含外切外切相离相离相交相交内切内切相切相切021dR+r0 dR-rR-r dR+rd=R+rd=R-r外离内含相交R-r内切外切R+r四、两圆
17、位置关系四、两圆位置关系1 1、两个圆的半径的比为、两个圆的半径的比为2 : 3 ,2 : 3 ,内切时圆内切时圆心距等于心距等于8cm,8cm,那么这两圆相交时那么这两圆相交时, ,圆心距圆心距d d的取值范围是多少的取值范围是多少? ?解：设大圆半径解：设大圆半径R=3xcm,R=3xcm,小圆半径小圆半径r=2xcmr=2xcm 依题意得：依题意得：3x-2x=83x-2x=8 解，得：解，得：x=8x=8 R=24cm R=24cm，r=16cmr=16cm 两圆相交两圆相交:R-rdR+r:R-rdR+r 8cmd40cm 8cmd40cm2、这是一块铁板，上面有、这是一块铁板，上面
18、有A、B、C三个点，三个点，经测量，经测量，AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以以各顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的各顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半径。半径。ACB经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个一个三角形的外接圆有几个？一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？一个圆的内接三角形有几个？经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心就是三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分三条边的垂直平分线的交点线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。，它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的这个三角形叫做这个圆的内接三角形内接三角形
19、。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。OABC三角形的外接圆三角形的外接圆锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内, ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点, ,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. .ABCOABCCABOO三角形的外心三角形的外心是否一定在三角形的内部？是否一定在三角形的内部？与三角形各边都相切的圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的叫做三角形的内切圆内切圆ABCIDEF三角形三角形内切圆内切圆的圆心叫做三角形的圆心叫做三角形的的内心内心这个三角形叫做这个三角形叫做圆圆的的外切三角形外切三角形三
20、角形的三角形的内心内心就是三角形的三个内角就是三角形的三个内角角平分线的交点角平分线的交点三角形的三角形的内心内心到三角形的三边的距到三角形的三边的距离相等离相等A AB BC CO O三角形的外接圆和内切圆：三角形的外接圆和内切圆：A AB BC CI I实质实质性质性质三角形的三角形的外心外心三角形的三角形的内心内心三角形三边垂直三角形三边垂直平分线的交点平分线的交点三角形三内角角三角形三内角角平分线的交点平分线的交点到三角形各边到三角形各边的距离相等的距离相等到三角形各顶点到三角形各顶点的距离相等的距离相等等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外
21、接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD例例3：如图，如图， ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的长。的长。x13xx13x9x9xADCBOFE如图，如图，ABCABC中中,C =90,C =90 , ,它的它的内切圆内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切相切于点于点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求O O的半径的半径r.r.OEBDCAF如图，从如图，从O O外一点外一点P P作作O O的
22、两条切线，分别切的两条切线，分别切O O于于A A 、B B，在，在ABAB上任取一点上任取一点C C作作O O的切线分的切线分别交别交PA PA 、PBPB于于D D 、E E（1 1）若）若PA=2PA=2，则，则PDEPDE的周长为的周长为_；若；若PA=aPA=a，则，则PDEPDE的周长为的周长为_。（2 2）连结）连结OD OD 、OEOE，若，若P=40 P=40 ，则，则DOE=_;DOE=_;若若P=k,DOE=_ P=k,DOE=_ 度度 。E OCBDP42a70 70 A4 4、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ ）2、直角三角形的外心是斜边的中点 （
23、）5、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比6、选择题：下列命题正确的是（ ）A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆 6.5cm6.5cm2cm2cm2:12:1C C7、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_30cml正多边形的有关概念：正多边形的有关概念：正多边形的中心正多边形的中心正多边形的中心正多边形的中心: : 一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形
24、的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心. .正多边形的半径正多边形的半径正多边形的半径正多边形的半径: : 外接圆的半径外接圆的半径外接圆的半径外接圆的半径正多边形的中心角正多边形的中心角正多边形的中心角正多边形的中心角: : 正多边形的每一条边所对的正多边形的每一条边所对的正多边形的每一条边所对的正多边形的每一条边所对的圆心角圆心角圆心角圆心角. .正多边形的边心距：正多边形的边心距：正多边形的边心距：正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边中心到正多边形的一边中心到正多边形的一边中心到正多边形的一边的距离的距离的距离的距离. .EFCD.O中心角中心角半径半径半径半径R R边心距边心距r
25、BAEFCD.O中心角中心角ABG边心距把边心距把AOB分成分成2个全等的直角三角形个全等的直角三角形设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,半半径为径为R,它的周长为它的周长为RaL=na.1、圆的周长公式、圆的周长公式2、圆的面积公式、圆的面积公式C=2rS=r23、弧长的计算公式、弧长的计算公式4 4、扇形面积计算公式扇形面积计算公式五、圆中的计算问题五、圆中的计算问题5、圆柱的展开图、圆柱的展开图:DBCArhS侧侧 =2r hS全全=2r h+2 r26.圆锥的展开图圆锥的展开图:底面底面侧面侧面aahrS侧侧 =r aS全全=r a+ r2A AC CB BA AC C1 1、如图
26、，把、如图，把RtABCRtABC的斜边放在直线的斜边放在直线 上，按顺上，按顺时针方向转动一次时针方向转动一次, ,使它转到使它转到 的位置。若的位置。若BC=1,A=30BC=1,A=300 0。求点。求点A A运动到运动到AA位置时，点位置时，点A A经过经过的路线长。的路线长。2、 扇形扇形AOB的半径为的半径为12cm, AOB=120,求求AB的长和扇形的长和扇形的面积及周长的面积及周长.3 、如图、如图,当半径为当半径为30cm的转动轮的转动轮转过转过120时时,传送传送带上的物体带上的物体A平移平移的距离为的距离为_.A4、如图，圆锥的底面半径为、如图，圆锥的底面半径为1，母线
27、长为，母线长为3，一只蚂，一只蚂蚁要从底面圆周上一点蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母出发，沿圆锥侧面爬到过母线线AB的轴截面上另一母线的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路上，问它爬行的最短路线是多少？线是多少？ABC将圆锥沿AB展开成扇形ABB与圆有关的辅助线的作法：与圆有关的辅助线的作法：辅助线，辅助线， 莫乱添，莫乱添， 规律方法记心间；规律方法记心间；圆半径，圆半径， 不起眼，不起眼， 角的计算常要连，角的计算常要连，构成等腰解疑难；构成等腰解疑难；切点和圆心，切点和圆心， 连结要领先；连结要领先； 遇到直径想直角，遇到直径想直角， 灵活应用才方便。灵活应用才方便。弦与弦心距，弦与弦心距， 亲密紧相连；亲密紧相连；小结小结汇报结束谢谢大家!请各位批评指正
