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1、29.1 29.1 几何问题的处理方法几何问题的处理方法(1)华师版九年级下逻辑推理是研究数学的一个重要的逻辑推理是研究数学的一个重要的基本方法基本方法。几何学几何学的研究充分运用了这的研究充分运用了这一方法。一方法。这就是中国明代伟大的科学家徐这就是中国明代伟大的科学家徐光启与他翻译的光启与他翻译的几何原本几何原本。哥白尼哥白尼地球是运动的地球是运动的缺乏依据缺乏依据,无法证明无法证明探索几何图形性质的探索几何图形性质的常用的两种方法常用的两种方法? （1）通过看一看、画一画、比一比、）通过看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜量一量、算一算、想一想、猜一猜得出结论，并在实验
2、、操作中对结得出结论，并在实验、操作中对结论作出解释的方法；论作出解释的方法； （2）用逻辑推理的方法。）用逻辑推理的方法。 知识回顾做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形可以不一样，如图等腰三角形可以不一样，如图10.3.210.3.2，把纸，把纸片对折，让两腰片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕重叠在一起，折痕为为AD. .你能发现什么现象吗？你能发现什么现象吗？图 1 0 .3 .2想一想：想一想：可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个等腰三角形是一个轴对称图形轴对称图形，折痕，
3、折痕AD的在的直线的在的直线就是它的就是它的对称轴对称轴。这种这种合情推理合情推理的方法是的方法是研究几何图形属性研究几何图形属性的的一种一种基本方法基本方法。同时也学习了。同时也学习了用用逻辑推理逻辑推理的方法的方法去去探索探索一些几何图形所具有的一些几何图形所具有的属性属性。由于由于AB与与AC重合，因此点重合，因此点B与点与点C重合，这样重合，这样线段线段BD与与CD也重合。所以也重合。所以B C。等腰三角形两个底角相等，简写成等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角等边对等角” 等腰三角形是轴对称图形轴对称图形 B=C 等腰三角形两个底角相等简写成“等边对等角等边对等角” BD=CD
4、，AD为底边上的中线 ADB=ADC ，AD为底边上的高线 BAD=CAD，AD为顶角平分线等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 简称“三线合一三线合一”例例1已知：在已知：在ABC中，中，ABAC， B80，求，求 C和和A的度数。的度数。用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的属性的属性这种合情推理的方法是研究问题的这种合情推理的方法是研究问题的又一种基本方法。又一种基本方法。解：解： ABAC（已知），（已知）， C B 80（等边对等角）（等边对等角） A B C180 （三角形内角和等于180 ）A180 B C（等式的性
5、质）（等式的性质）180 80 80 20 。逻辑推理的方法是研究数学的一个逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法重要的基本方法.逻辑推理需要依据逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的本事实作为逻辑推理的,最原始的依据最原始的依据,因此在因此在第第19章中章中,给出了如下的公理给出了如下的公理:(1)(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等一条直线截两条平行直线所得的同位角相等. . (2)(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线等，那么这两条直线平行。平行。(3)(3)如果两个
6、三角形的两边及其夹角（或两角及其如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角别对应相等，那么这两个三角形全等。形全等。(4)(4)全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。 你还记得吗？你还记得吗？回忆回忆1等式、不等式的有关性质以及选等等式、不等式的有关性质以及选等量代换也是推理的依据。也将量代换也是推理的依据。也将“经过两经过两点有且只有一条直线点有且只有一条直线”以及以及“经过直线经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平外一点有且只有一条直线与已知直线平行行”（平行公理）作为添加辅助线的依（平行公理
7、）作为添加辅助线的依据。据。 有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理的方法证明本教材中出现地的所有的几何图的方法证明本教材中出现地的所有的几何图形的属性。形的属性。ABCD24EF13平行线的性质如图AB/CD, 同位角1 1 与与与与2 2大小大小大小大小有什么关系？其他同位角大小也有有什么关系？其他同位角大小也有有什么关系？其他同位角大小也有有什么关系？其他同位角大小也有这样的关系吗？这样的关系吗？这样的关系吗？这样的关系吗？关于同位角，关于同位角，哈哈，看我小哈哈，看我小兔的！兔的！平行线的性质ABCDc21结论：结论：如果如果两条平行直线两条平行直线被
8、第三条直线所截，被第三条直线所截，同位角相等同位角相等简简记记：两直线平行同位角相等如图 若AB/CD 则 1 1 = = 2 2讨论:在这个特征中,条件是什么?结论是什么? 它与”同位角相等,两直线平行”有什么不同?ABCD24EF13平行线的性质如图AB/CD, 内错角 与与与与大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？关于内错角，关于内错角，看我小熊的！看我小熊的！如果两条平行直线被第三条直如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。线所截，内错角相等。我们可以猜想得到我们可以猜想得到:同学们，帮帮忙，请你们利用小兔同学们，帮帮忙，请你们利用小兔的结论来证明一下我
9、的结论，好吗的结论来证明一下我的结论，好吗？小兔：小兔：两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。小熊：小熊：两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。证明：证明： a / b ( 已 知 )（两直线平行，同位角相等）又 1= 2（对顶角相等） 2= 3（等量代换） 1= 3平行线的性质ABCD24EF13如图AB/CD, 内错角 与与与与大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？看完我的演看完我的演示示,得到什么得到什么结论呢结论呢?结论：如果两条平行直线被第如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。三条直线所截，内错角相等。简简记记：两直线平行， 内错
10、角相等若若AB/CD则则 ABCD24EF13平行线的性质如图AB/CD, 同旁内角 与与与与大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？关于同旁内角，关于同旁内角，呵呵，看我小呵呵，看我小猴的！猴的！猜想:两条平行直线被第三条直线两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补所截，同旁内角互补同学们，请你们帮忙证明我的结论吧！呵呵小猴：两直线平行，同旁内角互补。小猴：两直线平行，同旁内角互补。 a / b ( 已 知 ) 2= 3（两直线平行，内错角相等）证明：证明：小熊：小熊：两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。又 3 + 4 = 180 （邻补角的定义） 2
11、+ 4 = 180 小兔：小兔：两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。ABCD24EF13平行线的性质如图AB/CD, 同旁内角 与与与与大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？大小有什么关系？结论：两条平行直线被第三两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补条直线所截，同旁内角互补简简记记：两直线平行，同旁内角互补若AB/CD则则2 + 4 = 180 平 行 线 的 性质1. 1. 两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。2. 2. 两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。3. 3. 两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。（若a / b ，则
12、1=3 ）（若a / b ，则2=3 ）（若ab ，则2+4=180） 如图,三根木条相交成1与2,固定木条b b,c c，转动木条a a。并猜想: 1与2满足什么条件时, a/ba/b? ?12abc做一做：做一做：b回忆回忆: :我们以前是怎样过已知直线我们以前是怎样过已知直线a a外一点外一点p p画画a a的平行线的平行线b b的的? ?45cap45两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等如果同位角相等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行.平行线的判定方法平行线的判定方法1:同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行.abc321如图如图:如何判断这块玻璃板
13、的上、下两边平行？如何判断这块玻璃板的上、下两边平行？解：解：如果如果1 =3，又又2=3,ab1=2，(等量代换等量代换)（对顶角相等）（对顶角相等）(同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行)已知已知1 =3，直线，直线a、b会平行吗？会平行吗？两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等如果内错角相等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行.平行线的判定方法平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。想一想想一想:求证求证：三角形的内角和为：三角形的内角和为180 感受证明感受证明ABC已知已知：ABCABC求证求证： A+A+ B +B +
14、C=180C=180由此我们知道，逻由此我们知道，逻辑推理是最终确认几何辑推理是最终确认几何图形属性的重要方法。图形属性的重要方法。 三角形的一个外角等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和它不相邻的两个内角和 联想联想 直角三角形的两锐角互余直角三角形的两锐角互余 边形的内角和等于边形的内角和等于（2 2）180。例例 求证求证：三角形的一个外角等于和它不：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和相邻的两个内角和已知：如图，已知：如图，CBD是是ABC的一外角。的一外角。求证：求证：CBD=A+C图29.1.3DCBAw证明证明:A+ABC+C=A+ABC+C=1800(三角形三角
15、形内角和定理内角和定理),wA C1800 ABC（等式的性质）（等式的性质）w ABC+CBD=ABC+CBD=1800(平角的定义平角的定义),w CBD=180CBD=1800 0ABCABC.(等量性质等量性质).w CBDCBDA AC (C (等量代换等量代换).). 由于这里所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断其他由于这里所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的命题真假的依据依据，因此我们把这一，因此我们把这一真命题真命题也作为也作为定理定理。w如图如图. 1. 1是是ABC的一个外角的一个外角, 11与图与图中的其它角有什么关系中的其它角有什么关系? ?w1+
16、4=1+4=1800 ;12;13;12;13;w1=2+3.1=2+3.w证明证明:2+3+4=2+3+4=1800(三角形内角和定理三角形内角和定理),w 1+4= 1+4=1800(平角的意义平角的意义),w 1= 2+31= 2+3.(等量代换等量代换).w 12,13(12,13(和大于部分和大于部分).).ABCD1234w能证明你的结论吗能证明你的结论吗? ?w用文字表述为用文字表述为: :w三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. .w三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. .
17、w在这里在这里, ,我们通过三角形内角和定理我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理直接推导出两个新定理. .像这样像这样, ,由一由一个公理或定理直接推出的定理个公理或定理直接推出的定理, ,叫做叫做这个公理或定理的这个公理或定理的推论推论w推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用. . w三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论: :w推论推论1: 1: 三角形的一个外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内等于和它不相邻的两个内角的和角的和. .w推论推论2:2: 三角形的一个外角三角形的一个外角w大于任何一个和它不相邻的内角大于任何一个和它不相邻的内角. .ABCD1234有了有了“三角形的三个内角和等三角形的三个内角和等于于180”这条定理后，你能证明这条定理后，你能证明直角三角形的两个锐角之间所直角三角形的两个锐角之间所具有的数量关系吗？具有的数量关系吗？
