一、单期二叉树12PPT学习交流 •首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，使得该组合为无风险组合，即：由此计算出该组合为无风险时的Δ值Su D – ƒuSd D – ƒd一、单期二叉树无套利定价法的思路无套利定价法的思路13PPT学习交流 一、单期二叉树•如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而构造该组合的成本是SΔ-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT ，所以其中：14PPT学习交流 风险中性定价的思路风险中性定价的思路•假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得： 所以一、单期二叉树fufdf15PPT学习交流 小结小结•在二叉树模型计算欧式看涨期权价值中，不难发现：在二叉树模型计算欧式看涨期权价值中，不难发现：（（1）风险中性概率只依赖股票价格）风险中性概率只依赖股票价格S变动范围（即变动范围（即u,d的值），的值），u，，d衡量的是股票价格的波动率，以后衡量的是股票价格的波动率，以后会在会在BS模型中看到波动率的重要性模型中看到波动率的重要性（（2）计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概）计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概率，也没有描述投资者对于风险偏好程度的变量。
率，也没有描述投资者对于风险偏好程度的变量16PPT学习交流 进一步解读进一步解读•所以对于所有投资者来说，无论他对未来股票价格所以对于所有投资者来说，无论他对未来股票价格涨跌的概率有什么预期，或他对风险厌恶程度如何，涨跌的概率有什么预期，或他对风险厌恶程度如何，都能对看涨期权的都能对看涨期权的“公平公平”或或“正确正确”价格达成一价格达成一致17PPT学习交流 （（3））p 称为股票价格上涨的风险中性概率称为股票价格上涨的风险中性概率 risk nerutral probability 不要与股票价格上涨的实际概率相混肴，实际概率并不要与股票价格上涨的实际概率相混肴，实际概率并不影响期权价格，不影响期权价格，P 也称为等价鞅测度概率也称为等价鞅测度概率18PPT学习交流 资产定价的基本定理：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某一等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益都等于无风险证券的收益率表明了无套利定价与风险中性定价的关系表明了无套利定价与风险中性定价的关系19PPT学习交流 （（4）无风险对冲组合与套期保值比率：）无风险对冲组合与套期保值比率：•无风险对冲组合复制为无风险债券，所以其收益无风险对冲组合复制为无风险债券，所以其收益率等于无风险利率，率等于无风险利率，•无风险套利策略：在本节例题中无风险套利策略：在本节例题中 如果期权报价如果期权报价$1，套利策略是什么？，套利策略是什么？ 如果期权报价如果期权报价$0.5，套利策略是什么？，套利策略是什么？20PPT学习交流 启示：启示： 组合保险策略组合保险策略•引入无风险债券，与股票适当搭配头寸形成资产引入无风险债券，与股票适当搭配头寸形成资产组合，能否复制出与衍生产品相同的现金流？组合，能否复制出与衍生产品相同的现金流？•组合保险策略组合保险策略•如果可以，那么表现出衍生产品的冗余性质。
如果可以，那么表现出衍生产品的冗余性质•为什么还需要衍生产品？为什么还需要衍生产品？21PPT学习交流 注意：对于单步二叉树，美式期权和欧式期权的价格是相同的，因为只有一个执行机会练习：求看跌期权的价值，练习：求看跌期权的价值，X=21T=3个月，个月，r=0.1$18$22$20一、单期二叉树22PPT学习交流 o其实其实 u,d u,d 就反映了股票的波动率就反映了股票的波动率总结：期权的单期定价：23PPT学习交流 股价的变化如图：•每个步长为 3 个月，u=1.1，d=0.9，r=12%20221824.219.816.2二、两期二叉树模型与delta动态保值24PPT学习交流 欧式看涨期权定价•X = 21•B结点处的价值 = e–0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257•A 结点处的价值= e–0.12*0.25(0.6523*2.0257 + 0.3477*0) = 1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF二、两期二叉树模型与delta动态保值25PPT学习交流 欧式看跌期权的定价X=21201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEF二、两期二叉树模型与delta动态保值26PPT学习交流 美式看跌期权的定价：X=21201.2686221824.2019.81.216.24.80.40493ABCDEF>1.0591=p练习：试计算美式看涨期权的价格，并比较美式看涨期权与练习：试计算美式看涨期权的价格，并比较美式看涨期权与欧式看涨期权间的关系。
欧式看涨期权间的关系二、两期二叉树模型与delta动态保值27PPT学习交流 Delta (D) •由单步二叉树的套利定价法知：Delta (D)为期权价值变化与股票价值变化的比值，对于单步二叉树：思考：当二叉树步数增加时，思考：当二叉树步数增加时，delta是否会变化？是否会变化？表示了看涨期权获得完全保值时，所需要的表示了看涨期权获得完全保值时，所需要的股票的数量股票的数量二、两期二叉树模型与delta动态保值28PPT学习交流 201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFB点处的点处的delta值：值：考虑两期二叉树考虑两期二叉树A点处的点处的delta值：值：结论：不同时期不同股价获得完结论：不同时期不同股价获得完全保值需要的股票数量是不同的，全保值需要的股票数量是不同的，因此，现实的套期保值策略是一因此，现实的套期保值策略是一个动态调整的过程个动态调整的过程二、两期二叉树模型与delta动态保值29PPT学习交流 总结：欧式期权的二期定价：二、两期二叉树模型与delta动态保值总结：美式期权的二期定价30PPT学习交流 SSuSdSu2Sd2SudSu3Su4Su2dSud2Sd3Sd4Sud3Su3dSu2d2股票价格的多期二叉树模型类似地可以通过倒推方式计算期权的价值类似地可以通过倒推方式计算期权的价值31PPT学习交流 例3：假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元, 无风险连续复利为5%，u=1.1, d=0.9,二叉树步长为1年，试计算该股票3年期的，协议价格为105元的欧式看涨期权的价值。
三步二叉树模型下期权的定价三步二叉树模型下期权的定价32PPT学习交流 33110901219981100133.1108.989.172.9Pu=0.76, Pd=0.2433PPT学习交流 3415.852.0221.122.81011.8728.13.900欧式看涨期权价值为欧式看涨期权价值为11.8734PPT学习交流 总结：欧式期权的多期定价：美式期权的多期定价：35PPT学习交流 主要内容第二节：二叉树模型第二节：二叉树模型 5.2.1.二叉树模型简介 5.2.2.更符合实际的二叉树模型 5.2.3.奇异期权的二叉树定价36PPT学习交流 SuSdSP1-P5. 更实际的二叉树若到期时只有两种状态，可用单步二叉树模拟：若到期时只有两种状态，可用单步二叉树模拟：37PPT学习交流 若到期时只有三种状态，可用两步二叉树模拟：若到期时只有三种状态，可用两步二叉树模拟：SSuSdSu2SudSd2ABCDEF38PPT学习交流 Girsanov’s Theorem•Volatility is the same in the real world and the risk-neutral world•We can therefore measure volatility in the real world and use it to build a tree for the an asset in the risk-neutral world39PPT学习交流 若到期时有若到期时有n+1种状态，可用种状态，可用n步二叉树模拟：步二叉树模拟：SSuSdSd2SudSun-1SunSdn-1SdnSudn-1Sun-1dSu240PPT学习交流 Assets Other than Non-Dividend Paying Stocks•For options on stock indices, currencies and futures the basic procedure for constructing the tree is the same except for the calculation of p41PPT学习交流 The Probability of an Up Move42PPT学习交流 附：二叉树的应用二叉树可以用于：1)期权定价：欧式、美式期权、路径依赖期权;2)含权债券定价：可转债；3)信用风险度量：如公司债定价，CDS定价等；43PPT学习交流 主要内容第三节：二叉树模型第三节：二叉树模型 5.2.1.二叉树模型简介 5.2.2.更符合实际的二叉树模型 5.2.3.奇异期权的二叉树定价44PPT学习交流 一、障碍期权的二叉树模型45PPT学习交流 •障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。
但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息 1.障碍期权的性质46PPT学习交流 敲出障碍•当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为 当 时 •如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件可以修改为：47PPT学习交流 敲入障碍•敲入期权在没有到达障碍水平时，有 •对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值 就等于一个相应的常规期权价值 48PPT学习交流 •敲入和敲出障碍期权的关系•在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系： 敲入期权＋敲出期权＝执行价格和时间相同的常规期权利用这个关系，只需要知道一种障碍期权的价值，就可以得到另外一种障碍期权的价值；49PPT学习交流 敲出期权的二叉树定价步骤：1.生成股价的二叉树2.确定期末节点的价值：=常规期权的价值3.倒推定价，根据障碍值确定在节点处是否敲出，如果敲出，价值为0，否则为持有价值；4.倒推至0时刻，即可得到初始时刻的价值。
这里只有初始时刻的价值有参考价值50PPT学习交流 例3：假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元, 无风险连续复利为5%，u=1.1, d=0.9,二叉树步长为1年，试计算该股票3年期的，协议价格为105元，障碍水平为95元的向下敲出欧式看涨期权的价值二叉树模型下敲出期权的定价二叉树模型下敲出期权的定价51PPT学习交流 52110901219981100133.1108.989.172.9Pu=0.76, Pd=0.2452PPT学习交流 5315.85021.122.81011.4028.13.900普通看涨期权价值为普通看涨期权价值为11.87，障碍期权比较便宜障碍期权比较便宜53PPT学习交流 障碍水平的影响：54PPT学习交流 二、回望期权的二叉树模型55PPT学习交流 二、回望期权的二叉树模型回望期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称为回望时段）中达到的最大或最小价格（又称为回望价），根据是资产价还是执行价采用这个回望价格，回望期权可以分为：•固定执行价期权•浮动执行价期权 56PPT学习交流 二叉树模型下回望期权的定价二叉树模型下回望期权的定价•S=100，，d=0.9，，u=1.1，执行价格，执行价格X =105，无风险，无风险连续利率连续利率 r=5%，，•利用利用3步二叉树计算到期日为步二叉树计算到期日为3年的固定执行价的欧式年的固定执行价的欧式回望看涨期权的价格。
回望看涨期权的价格57PPT学习交流 股价二叉树110901219981100133.1108.989.172.9Pu=0.76, Pd=0.2458PPT学习交流 回望期权的二叉树回望期权的二叉树18.41023.970013.3128.11650执行价为执行价为105的回望看涨的回望看涨期权价值为期权价值为13.3150004.7559PPT学习交流 回望期权的数值定价方法•回望期权的定价也经常使用到二叉树模型但是，在使用二叉树模型的时候，在每个结点需要考虑到当前为止不同路径所导致的不同的最大值或最小值，路径越多，这些值的个数越多，降低了二叉树模型的实用意义•解决方法1、在每个结点，仅对路径函数中具有代表性意义的值进行计算，其他值则用内插法从已知的值中计算得到•解决方法2、回望价和现价S之比 来建立标的资产价格树图并进一步为期权定价 二、回望期权的二叉树模型60PPT学习交流 3、多资产的二叉树模型对以多资产为标的的衍生产品进行定价，如果随机因素不同，需要合并多个二叉树模型进行，以两个资产为标的的期权为例假设有两支股票，波动率为常数 ，两支股票的价格分别有两个布朗运动控制，两个布朗运动的相关系数为ρ，设股票i（i＝1,2)在单个步长上升的倍数为ui,下降的倍数为di。
在每个时间区间上，两只股票的收益有四种情形：1) 都处于上升状态，puu2)股票1出于上升状态，股票2处于下降状态, pud3)股票1出于下降状态，股票2处于上升状态, pdu4)都处于下降状态,pdd61PPT学习交流 共8个参数：N(Δt=T/N), ui,di和三个概率；给定Δt，为和连续时间模型一致，需要选择合适的上升和下降参数及概率值来匹配（或近似匹配）收益(lnSi)的均值、方差和协方差，共5个约束条件和7个未知参数 在确定了需要的7个参数后，定价基于多资产的期权与定价单资产的期权是类似的，可使用倒推定价法进行定价，差别在于资产个数不同，因此需要考虑资产价格的各种组合3、多资产的二叉树模型62PPT学习交流 在一个N期的二叉树模型中，两个股票中的每一个在到期日都有N＋1个节点，因此两个资产的合并二叉树到期日有(N+1)2个可能的节点组合而在每个时期n(n=0,1,…N)，都需要考虑(n+1)2个节点组合，因此计算时间是单资产期权计算时间的平方 类似地，当有3个标的资产时，计算时间是单资产期权的立方，因此计算时间随标的资产个数的增加呈指数增长，这种增长方式同样适用于多个随机因素模型的二叉树图，这将产生严重问题，例如，对于5个资产，N＝99的情况，需要考虑1005（1百亿）个节点组合，这就是所谓的“维数灾难”3、 多资产的二叉树模型63PPT学习交流 4、可转换债券定价 可转换公司债券是一种附有股票期权的公司债券,它赋予债券持有人可以在规定的时间内(转换期)按照规定的价格(转换价格)将债券转换成公司股票的权利,并且在转股前一直享有债权人的权益.设计要素：•标的股票•票面利率•转换期•转股价格及其调整•赎回条款•回售条款64PPT学习交流 决定可转债价格的因素•标的股票的价格过程S•转股价格X（相当于期权的执行价）•无风险利率r（风险中性测度下定价）•债券的到期期限T•违约风险D•票面利率C•赎回条款c•回售条款p4、可转换债券定价65PPT学习交流 一般的可转债条款中规定了转换期，在转换期内，投资者可以将债券转换成股票，因此可转债中包含的期权并非一般的欧式期权，而是与美式期权类似，称为百慕达期权。
由于美式期权没有明确的价格解析式，一般用二叉数模型或风险中性定价原理来定价因此我们可以通过二叉树模型或蒙特卡罗模拟来实现可转债的定价4、可转换债券定价66PPT学习交流 计算原理到期日：可转债价格：Cbond(T)＝max（债券面值，转股价值）收益率：到期日之前：Cbond(i,j)=max(min(持有价值，赎回价值)，转股价值)持有价值=[pcbond(i+1,j+1)+(1-p) cbond(i+1,j)]e-r(I,j)Δt计算持有价值折现率 r(i,j)＝pr(i+1,j+1)+(1-p)r(i+1,j)4、可转换债券定价67PPT学习交流 某公司发行期限为9个月的零息票可转换债券，债券面值为100，债券可以在存续期内的任何时刻转换为2股公司股票，也可以在任何时刻以115元的价格赎回发行时公司股票的价格为50元，股票波动率为30%市场无风险收益曲线为水平，年收益率为10%另外该公司债券的收益率曲线也为水平，收益率为15%,试计算该可转换债券的价格例24、可转换债券定价68PPT学习交流 84.07168.14 0.1501000.1538.561000.1529.741000.1564.83129.660.173.83147.660.156.94113.870.1243.9197.230.1550103.560.14计算原理举例：69PPT学习交流 1、建立标的股票价格的二叉树；2、建立可转换债券价格的二叉树；可转债价值的计算4、可转换债券定价70PPT学习交流 实证时需要考虑的其它因素：•息票率；•转股延展期；•转股修正条款；•赎回条款•回售条款4、可转换债券定价71PPT学习交流 总结•二叉树模型是比较简单且非常实用的方法，尤其在美式期权的估值方面相比其他数值估值方法具有明显优势•但其对路径依赖期权的估值和一篮子期权的估值存在“维数灾难”和“存储量指数增长”的不足•二叉树进一步的研究在于如何通过降维来推广其在路径依赖产品和多资产产品方面的应用。
72PPT学习交流 •下一讲: 实验，利用二叉树为衍生产品定价73PPT学习交流 第三节： Black－Scholes期权定价公式 5.3.1.股价二叉树模型的极限 5.3.2.股票价格模型与Ito引理 5.3.3.期权的风险中性定价－Black-Scholes 期权定价公式 5.3.4 B-S公式的推广应用74PPT学习交流 此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！75PPT学习交流 。