第十、十一章第十、十一章 准地转动力学准地转动力学 地转适应理论 对于中纬度大尺度运动，罗斯贝数Ro<1，水平气压梯度力与科氏力基本上相平衡，实际风场接近地转风场，即风场与气压场基本上处于地转平衡状态准地转运动产生的物理背景 对于均质(或正压)不可压缩的旋转流体，若运动是定常的、缓慢的，则有(Ω· )V=0，即运动只在与Ω相垂直的平面内发生变化，呈现出二维运动的特征，这就是泰勒-普劳德曼定理(Taylor-Proudman theory)详细推导见课本详细推导见课本P115 大气是旋转流体，实际大气运动并不完全满足泰勒-普劳德曼定理成立的条件，但能够近似地满足这些条件第一，大气运动发生在重力场中，在重力的作用下，90%的大气质量堆积在紧靠地球固定边界的一层次中对于均值大气而言，p=ρgHH称之为大气标高(scale height)，即相当于对流层的平均高度——特征厚度(H)，由此可见，重力场中大气高度的尺度是受到限制的 第二，大气运动发生在旋转流场中，科里奥力限制了水平气压梯度力 与 运动无关，称为罗斯贝变形半径(在大气中约为3000km)。
L0可视为旋转大气中一固有的水平尺度，它是一个与波动本身特性无关、只与流体深度和地球旋转有关的特征参数我们可以将它理解为：在旋转特征周期(2Ω)-1这一时间尺度上，波速为c0的浅水重力波传播的特征距离可看出，当L≥L0时，科氏力是重要的，L≤L0时，相对而言，科氏力不重要 第三，若科氏力对运动有重要作用，水平气压梯度力也应与科氏力同量级故有 设大气平均位温为 ，赤道与极地平均位温差为 ，地球线速度量级为 f0a，则U与地球线速度之比为 大气运动的最终能源是太阳辐射能，由于地球和太阳的相对位置在天文学上是固定的，因此由太阳辐射能造成的平均温度(或平均位温)受到限制，从而对于一定水平尺度的运动，其速度尺度也受到限制此外，由太阳辐射能造成的赤道与极地之间的平均位温差远小于其位温本身，即 ，又(L0/a)2<<1，故有由此可见，大气运动的速度尺度不但受到限制，而且相对地球的线速度是异常缓慢的 由辐射平衡所形成的经向温度差(间隔10º纬度)最大值为14K间隔10º纬度的经向距离约为 103km，若取ΔT =15K，T*=250K，L =1000km，L0=3000km，则可算得Ro=0.54（<1），故平均而言中纬度大尺度运动必是准地转的。
同时还可看出，若要求Ro<<1，则要求因此，当运动的水平尺度一定时，在这个尺度上温度差愈小，运动愈接近地转运动；这个尺度上温度差愈大，运动中非地转成份就愈大此外，低纬处罗斯贝变形半径大，当其它条件一定时，中纬度的大尺度运动比低纬更容易接近地转运动 概括地说，中纬度大尺度运动所以是准水平、准地转的，这是外界的一些固有条件对运动制约的结果这些固有条件是： ①重力场的作用使大气质量向靠近地球固定边界一薄层中堆积，从而制约了铅直气压梯度，限制了大气运动的铅直尺度；②地球旋转作用制约了水平气压梯度，限制了大气运动的水平尺度；③地球和太阳几何位置相对固定，使地球南北接受的太阳辐射能受到限制，从而制约了大气的水平速度尺度这样使得中纬度大尺度运动是一种缓慢运动，根据泰勒-普劳德曼定理可以推论出它必然具有准水平、准地转的特征 准地转方程 大尺度运动过程的阶段性 中纬度大尺度运动是准地转的，表明大尺度准地转平衡态是在变化着的如果地转平衡遭到破坏，那么必定有一种物理机制，使遭到破坏的地转平衡状态迅速地得到恢复，否则观测到的大尺度运动就不可能是准地转的地转平衡态遭到破坏后，通过风场和气压场之间的相互调整和相互适应，重新建立起新的地转平衡态的过程，称作地转适应过程。
准地转平衡态的缓慢变化(演变)过程，称作准地转演变过程，或简称演变过程这是大气中两种最基本的动力过程这两种过程可视为一般大尺度运动过程的两个阶段，在时间尺度上是可区分的 对于大尺度运动，水平运动方程可写作如下形式 (10.10)取 (x,y)=L(x*,y*)， t=τ(t*)， (u,v)=U(u*,v*)，(u',v')= U'(u'*,v'*)，f=f0+βy=f0(1+Roβ*y*) (10.11)其中β*=βL2/U~100将(10.11)式代人(10.10)式，将方程组无量纲化，得(10.12) 方程组中U'为地转偏差尺度，ε=1/f0τ为基别尔数，Ro=U/f0L为罗斯贝数在无量纲方程中无量纲量及其导数的量级为1，各项量级大小只取决于无量纲参数的大小中纬度大尺度运动中Ro~10-1，若运动处于高度非地转状态，则U'/U≥1，在此情形下，非线性平流项可略去，且有故 (10.13)式中τa为地转适应过程的时间尺度 若运动处于准地转平衡状态，则，非线性平流项不能略去，此时ε的量级等于或小于Ro，即ε=1/f0τ≤Ro故 (10.14)式中τe为准地转演变过程的时间尺度。
若C代表准地转扰动的传播速度，又有所以 C≤U (10.15) 由此可见，地转适应过程的特征时间尺度为f0-1，而准地转演变过程的特征时间尺度为L/U，这两者之比恰好为罗斯贝数，即对大尺度而言Ro<10-1，所以演变过程的特征时间尺度比地转适应过程的特征时间尺度大一个量级以上正因如此，演变过程称为"慢过程"，而地转适应过程称为"快过程" 水平散度用符号“δ”表示涡度和水平散度的量级可作如下估计因此 (10.16)处于高度非地转状态时δ/ζ≥1，这表明地转适应过程中位势运动是重要的；在准地转演变过程中，δ/ζ~10-1，这说明演变过程具有准涡旋运动性质 综上分析，当某一地区准地转平衡状态遭到破坏后，初期变化将是非常迅速的，经过很短时间的调整过程(时间尺度为f0-1)后，风场和气压场可达到准地转平衡状态，此后就进入了缓慢的演变过程(时间尺度为L/U)所以，中纬度大尺度运动的两个阶段在时间尺度上就基本分开了此外，在地转适应过程中，位势运动显著，运动基本上是线性的；在演变过程中，运动具有准涡旋性质，运动是非线性的。
因此，地转适应过程和演变过程在时间尺度上是可区分的 造成非地转运动的因子 大尺度运动具有准地转特征是由地球及地球大气的固有特征所决定，因此在实际的天气图上，大部分区域的实际风是沿等压线吹的，即与地转风非常接近，但有时在天气图上某些局部区域可出现实际风穿过等压线的情形，说明实际风与地转风之间 存在一定的偏差在实际大气中，大范围大气运动一方面基本上维持准地转运动；而另一方面，又并不完全是地转的，即存在地转偏差正是地转偏差的存在才引起大气运动状态的变化实际水平风速Vh与地转风Vg的差称为地转偏差，V'V'=Vh–Vg 由水平方向的运动方程得由上式可知，地转偏差与加速度项成正比，在北半球与加速度方向相垂直，指向加速度方向的左侧事实上正是由于大气运动产生的加速度，导致科氏力与气压梯度力的不平衡，出现了地转偏差V'，此时Vh将有穿越等压线运动，同时造成气压梯度力对空气作功及动能变化 由上式可知，当实际水平风与地转风存在偏差时，可引起水平动能的变化当实际风吹向低压时，气压梯度力对空气运动作正功，动能增加，相反实际风吹向高压时，气压梯度力作负功，动能减小。
在实际天气图上分析地转偏差的反映，采用自然坐标更方便些 1. 上式推导中略去密度随时间的变化气压的局地变化，称之为变压显然地转偏差与变压的梯度有关，其方向是沿变压梯度由变压高值指向变压低值，此时地转偏差风称之为变压风因此，变压风是由于气压场的急剧变化，地转平衡被破坏但尚未建立起新的地转平衡时的非地转风，所以这部分风速分量向负变压中心辐合，而正变压中心是辐散(如图)的所以在负变压中心附近经常有恶劣、多云雨天气出现 2. 上式表示风速在流动方向上的非均匀性产生的地转偏差当沿流动方向流速增加时，则有非地转风穿过等压线指向低压；反之，在沿流动方向流速减小时，则有空气穿越等压线指向高压一侧，如图所示，在情况(a)下，等压线呈汇合状态，地转风在沿流动方向增加， 即有∂Vs/∂s>0，V'方向与n方向相同，即指向低压区因为在A点空气质点处于科氏力fVA与气压压梯度力的平衡，当移至B点时，由于较短时间内，动量保持守恒，故此点仍保持科氏力fVA，但由于等压线的汇合，在B点处气压梯度力主要大于A点处，所以在B点，气压梯度力与科氏力的差，导致空气流向低压测同样对于情况(b)，等压线呈疏散状态，与情况(a)可作类似的分析，但此时非地转流流向高压一侧。
3. 上式表示流线的弯曲产生的地转偏差所以在低压槽区(气旋性弯曲)Ks> 0，相应出现反风向的地转偏差；反之，在高压脊区(反气旋性弯曲)Ks<0，有顺风向的地转偏差如图所示，等压线存在气旋，反气旋弯曲 在A点等压线若是平直的，则此处柯氏力与气压梯度力相平衡，但在A点由于等压线呈气旋性弯曲，此时引起一个离心力，其方向与柯氏力方向一致，指向高压，此时在A点处于气压梯度力，柯氏力及离心力的三力平衡下的运动，对于相同气压梯皮情况下，有气旋性弯曲等压线时的柯氏力，比较平直等应线情况下的要小，相应在A点处的三力平衡下的风速要较原来的地转风小，相应产生反风向的地转偏差，同理可分析出，在A'点(反气旋性弯曲)可出现顺风向的地转偏差 4. 由于存在风速垂直切变，即大气斜压性产生的地转偏差由于垂直运动可将质点由低层带到高层，由于高低两层的气压分布不一样，这样在低层原来处于柯氏力与气压梯度力平衡，由于在短时间内动量守恒，相应质点到高层后，原来柯氏力与高层气压梯度力不再平衡，因此，在高层就可出现地转偏差 上式通常称为热成风公式或热成风平衡方程由上式可知，地转风随高度的变化完全是由于水平温度梯度所决定有时称∂Vg/∂z为单位高度的热成风，用VT表示。
Vs=Vg，则有可知地转偏差可出现在有水平温度梯度及垂直运动情况下，对于上升运动(w>0)，地转偏差方向与水平温度梯度方向一致指向低温区 除了上述分析物理因素可导致地转偏差的产生外，大气摩擦，f的南北变化，ρ的随时间、空间变化同样可导致地转偏差的出现对于一个严格的地转风来说，必须满足以下条件：(1) 气压场是定常，(2) 等压线是平行直线，且与纬线相平行，(3) 正压均质大气对于实际大气，一旦地转偏差产生是否能极度地发展？为什么实际大气中风场与气压场是基本平衡的？这说明地转偏差最终要消失，这种物理过程就是地转适应过程 地转适应过程 : c2≡gH，ζ'=∂v'/∂x−∂u' /∂y.如果f =0，则扰动自由面高度h'与相对涡度ζ无关，上式化为关于h '的浅水波方程 采用正交模方法，令 h' = Aexp[i(kx+ly−ωt)]其频散关系为：ω2=c2(k2+l2)=gH(k2+l2). 对于 f0≠0的情形，h'与ζ'有关。
浅水模式前两式求涡度得： 再利用连续方程，有可以改写为： 上式即为均质流体的位涡守恒方程，用Q表示扰动位涡，即Q(x,y,t) = ζ'/f0−h'/H = const说明每一点Q在所有时刻都保持其初始时刻的值，即Q(x,y,t)=Q(x,y,0)=Q0(x,y) 作为一个例子，在给定一个特殊的初始条件，讨论适应问题取t=0的初始条件：u', v' =0; h'= −h0sgn(x) sgn为符号函数，即sgn(x)=1，x>0；sgn(x)= −1，x<0于是有：ζ'/f0−h'/H = (h0/H)sgn(x)对于齐次条件(h0 =0)，上式为一维Klein-Gordon方程，可求得波动频散关系，即惯性重力波：ω2 = f02+c2 (k2+l2) = f02+gH(k2+l2) 起始时刻h'只是x的函数，所以以后每个时刻都认为与y无关通过旋转和重力作用的调整使运动达到一种稳定状态，由上式可得到：这样Rossby变形半径可以解释为地转适应过程中的水平尺度当|x|>>LR时，h '保持不变有如下解 对于任何初始条件，由浅水模式可得其静态的速度场，既满足地转关系，且水平无辐散因为h'与y无关于是可得如下解，说明地转风在初始高度不连续面处可出现一个急流，其最大值为(g/H)1/2h0。
由浅水模式可知流场和气压场达到平衡的过程根据初始条件u', v'=0; h'= −h0sgn(x)知在x=0处，存在气压梯度 ，由可知∂u/∂t>0，若起始时刻为静风，则有西风建立，在区域右侧形成水平辐合和质量堆积，则∂u/∂x<0，由可知∂h'/∂t>0，自由面升高；而其左侧形成水平辐散和质量减损，相应自由面要降低大气内部的辐合辐散调整了自由面的高度 另外，由于西风建立，柯氏力作用使初始南风减弱，( )，对于初始速度为零的情形，v<0，形成北风综合上面分析，若初始只有气压场存在而无流场时，则气压场随时间逐渐减小，从大到小变化，而流场则逐渐建立，从无到有，并到一定时间后与气压场建立起地转平衡 ，此时西风达到最大，∂u/∂t=0，由于惯性作用，v将继续减小，即可出现vg>v，则有∂u/∂t<0，u将减小这样过程重复进行，通过水平辐合辐散调节u，v，h'，形成惯性重力波 由于f 的作用，惯性重力波为频散波，使得初始集中在局部区域的非地转能量通过惯性重力波频散到无限区域中，使得非地转能量逐渐减少，而恢复到地转平衡。
这就是地转适应的物理机制 显然地转适应过程中能量的转换及频散十分重要在适应过程中有动能、位能的转换及能量的频散，下面对适应过程中能量较换作一简单讨论单位水平域的位能为 相应适应过程中y方向单位长度位能的释放为 对于非旋转情形，此时LR→∞，初始扰动中全部位能被释放，转换成动能，而在旋转情形下，只有有限位能被释放在平衡状态下单位长度动能为所以在这种情况下仅三分之一的位能被释放，转换到定常准地转运动中另外三分之二的位能通过惯性重力波频散到空间中从上述可知：(1) 从能量分析来看，能量很难从旋转流体中提取出来，在上述例子中，有无限的位能可用于转变功能，但是只有其中一部分能量才被释放出来，原因是为建立地转平衡，而这种平衡保持了位能 (2) 终态平衡解并不是静止状态，而是一种地转平衡，其平衡运动的水平尺度为Rossby变形半径LR3) 适应过程中位势涡度守恒决定了稳态的自由面高度及地转平衡风场，而无须进行时间积分下面进一步讨论扰动源尺度对适应过程的影响引入流函数ψ及速度势χ，则有 相应垂直方向涡度和水平散度为 这样，位涡守恒方程可改写为 式中，φ=gh'为扰动位势高度将ψ、χ、φ可分解成稳态(平衡)解部分和非定常部分。
随时间增加，非定常部分将逐渐减小，最后趋于零而对终态地转平衡解特征可得 为地转关系式， 表示地转运动是水平无辐散的所以上式即为位涡守恒方程，反映了初始位涡与终态位涡的守恒约束关系由于初始时刻存在地转偏差，因此ψ0、φ0不满足地转关系 假设所讨论问题中初始时刻波长与以后波长都一样，则对方程中变量可写成波动形式，则由得：对于重力波c~300m/s，f~10-4s-1，所以Rossby变形半径LR~3000km如果扰动尺度L>LR，称之大尺度扰动，如果扰动尺度LLR)由于K~1/L，对于大尺度扰动有分两种情况讨论：(1) 初始时刻主要是气压场扰动，即或所以在此情况下，速度场变化较大，向气压场适应，而气压场几乎没有变化，大部分扰动位能被保持下来2) 初始时刻主要是速度场扰动，则由此可见，流场衰减很快，只有较小一部分流场被保留下来，大部分扰动动能被惯性重力波频散掉了，最终与气压场建立地转平衡关系，此时由于K2LR2<<1，相应的平衡气压场很弱，即气压场变化较小 由上述分析可知：①当扰动尺度L>LR，其地转适应过程是风场向气压场适应。
在适应过程中气压场变化较小，风场变化较大，从而适应气压场，达到地转平衡②没有风场，初始气压场可以维持，风场可以建立2. 小尺度扰动(L
由上述对地转适应过程的物理分析可知，由于地球及地球大气本身的固有性质，决定了大尺度运动是准地转运动，一旦在某一局地出现对地转流的偏差，即存在地转偏差时，大气本身具有一种调整能力，使运动向地转流状态适应在大气中还有其它与之类似的适应过程，例如对大尺度运动来说，在垂直方向经常处于重力和气压梯度力的平衡，如果这种平衡被破坏，对大尺度运动大气来说也具有调整能力，使之恢复到准静力平衡状态，这种调整过程称为静力适应过程当然其调整过程的动力学性质与地转适应有差异，它主要通过声波将偏差的能量频散到无限空间中同样，如果大气中存在某种广义平衡状态，一旦出现对这种平衡状态的偏差，大气就有可能通过某种物理过程恢复到这种平衡状态，这种过程我们称之为广义适应问题 在地转适应过程中，地转偏差总是不断的衰减直至为零，水平散度也是不断衰减直至散度场消失因此地转适应过程不仅是非地转扰动能量频散的过程，同时也是涡旋场与气压场相互调整的过程，这一过程中科氏力起了决定性作用在科氏力的作用下，散度场同时调整涡旋场与气压场，最后促使旋转风场与气压场相平衡，而散度场最终消失所以地转适应过程是旋转大气中的特有的过程 可知实际上所能观测到的大气运动经常是趋于地转平衡的，说明非地转气流只能在局部区域才能出现。
也就是说，如果非地转气流充满全场，则永远也不会达到地转平衡适应的速度与重力波的波速c有关因此，对于一定尺度的扰动，c小则需要的时间越长局地的非地转能量是通过重力波向全场频散的，因此，非地转成分逐渐趋于消失，最后达到地转平衡由适应过程的解 中纬度天气系统和环流的诊断分析准地转理论作为一种概念模式被广泛应用，从准地转诊断方面也取得了很多有物理意义的信息主要方法就是位势倾向方程和ω方程中纬度天气尺度运动准地转动力学中纬度大尺度运动最主要的特征——准静力平衡和准地转平衡所谓准地转近似，是指水平速度用地转风代替，但保留偏差风项当采用静力近似后，就可以用气压场（位势场）决定温度场垂直运动是维持静力平衡所必须的当采用地转近似后，由气压场决定风场，这时风场可以认为是质量场的一种表现形式；水平散度是维持地转平衡所必须的，直接用实测风决定水平散度滤去了声波和重力惯性波 根据准地转条件，将大气运动原始方程组使用小参数法(摄动法)展开，得如下准地转方程组：(5.1)(5.2) 消去ω后可得准地转位势涡度守恒方程：(5.3)(5.4)说明绝热无摩擦条件下，三维速度场完全由初始位势场所决定中纬度天气系统是叠加在行星尺度环流之上的次级环流，其结构极不对称，有很强的斜压性位势场扰动和速度场扰动的振幅和位相随高度有明显的变化。
在极锋上发展起来的斜压扰动，在不同的发展时期，温度平流的分布，扰动垂直分布的倾斜（即高低空槽脊的位相）都是不相同的 准地转位势倾向方程令χ=∂Φ/∂t，(5.1)，(5.2)改写为：(5.5)(5.6)将(5.6)乘以 然后对p微商，再和(5.5)相加得到准地转位势倾向方程：强迫项：地转风绝对涡度平流，差动厚度平流(涵差温度平流) 令χ=A(p,t)sinkxsinly，便有：令A(p,t)=A0(t)con(πp/p0)，可得：于是： 短波（L≤3000 km）中，相对涡度平流占优势，向东运动；长波（L≥10000 km）中，牵连涡度平流为主，系统趋于西退 500 hPa槽下冷平流使槽加深，脊下暖平流使脊加强中纬度大尺度系统的发展主要由斜压过程决定，温度平流随高度的变化是天气尺度扰动得以发展的主要原因冷空气重心降低，暖空气重心升高，有效位能转化为动能，天气系统得以发展 准地转ω方程(5.5)对p微商：(5.7)将(5.6)取水平拉普拉斯，并假定σ为常数，得： (5.8)由(5.7)和(5.8)式消去χ可得准地转ω方程： 考虑垂直速度同样具有波动流型，依照前面的方法，可得：对于稳定层结，短波系统相对涡度平流随高度增加(随气压减小）的区域，有上升运动；相对涡度平流随高度减小的地区有下沉运动。
冷平流区有下沉运动，暖平流区有上升运动 斜压大气中上述两项之和不会处处为零，表明斜压大气中准地转运动不可能是纯水平的，在准地转水平环流之上必迭加有铅直环流——二级环流在绝热情况下，平衡的破坏与平流过程有关，平衡的建立是通过垂直运动调整气压场、温度场、流场之间的关系来实现的没有平衡的破坏就没有天气系统的演变和发展，没有垂直运动就没有平衡的迅速建立，系统的演变发展过程就不可能是准地转的 发展着的斜展着的斜压扰动的理想模型的理想模型Potential Tendency EquationGeopotential Vorticity advection + Rate of decrease with height of advectionOmega Equation motion Rate of increase with height of (±) vorticity advection + advection Q矢量，非热成风产生的二级环流的诊断 准地转ω方程在实际应用中存在两个问题：第一，进行计算需要多层资料；第二，ω方程中的两个强迫项往往是相互抵消的。
下面我们根据运动中要维持热成风平衡的观点，重新推导出另一种形式的ω方程热成风平衡方程为 (11.71) 陈秋士曾称 (11.72)为流场热成风，而称 (11.73)为温度场热成风显然，若运动中某种因子造成两种热成风发生不相一致的变化，那么就会产生非热成风，并将诱发出铅直环流 p坐标系的运动方程组为 (11.74)其中u',v'为地转偏差，而Sp= -T∂lnθ/∂p表示静力稳定度为简单起见，方程组中的f近似取为f0，Sp取常数 将(11.74)式中的水平运动方程对lnp微商，得 (11.75)上式中取准地转近似(水平速度用地转风代替，但保留偏差风项)，若定义一个Q矢量 (11.76) 则得流场热成风变化方程，即有 (11.77)利用热成风方程，注意到地转风散度为零( )，Q矢量的分量还可写成 (11.78)故Q矢量完全由位势场确定，并只与某些平流过程相关联 (11.77)式表明，Q矢量是造成运动中流场热成风发生变化的因子，而方程右端第二项表示非热成风造成的二级环流水平分支的补偿（或调整）作用。
对(11.74)式中热力学能量方程分别作-R∂/∂x，R∂/∂y运算，得 (11.79)上式也取准地转近似，注意到(11.73)和(11.78)式，则得温度场热成风变化方程，即有 (11.80)(11.80)式表明，Q矢量也是造成运动中温度场热成风发生变化的因子，方程右端第二项则表示二级环流铅直分支的补偿(或调整)作用将(11.77)式和(11.80)式对照起来看，便可发现，Q矢量是造成流场热成风和温度场热成风在运动中同时发生变化的唯一因子，并且Q矢量将造成流场热成风和温度场热成风发生大小相等、符号相反的变化，因而它总是起着破坏热成风平衡的作用，而二级环流总是与非热成风相伴随，起着补偿(或调正)作用 显然，要维持热成风平衡，则要求 因此由(11.77)和(11.80)式应有 (11.81)(11.81)式中第一式对x微商，第二式对y微商，然后将结果相加，并利用连续方程，则得 (11.82) 或写成 (11.83)(11.83)式就是另一种形式的准地转ω方程。
由于左端项与 -ω成正比，于是有因此，Q矢量辐散区， ，有下沉运动；Q矢量辐合， 有上升运动11.83)式的优点是强迫项只有一项，没有抵消项；另外，根据定义，Q矢量散度仅与位势场和温度场有关，只要给出某一层次资料，就可计算出，从而可确定ω场 正因为如此，Q矢量已广泛用于天气诊断分析之中图l1.7 给出的是 1975年 11月 10日 00时(GMT)的700hPa图，图11.8是与图11.7相应的Q矢量和Q矢量散度由图可清楚地看出，在低压中心东北方向为上升运动区，在低压西南方为下沉运动区，并且还可看出Q矢量总是指向上升区。