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1、第十五章第十五章 正交曲面坐标系正交曲面坐标系数学物理方法定解问题分离变量法直角坐标系：一维线性 矩形 长方体圆柱球形正交曲面坐标系15.1 正交曲面坐标系直角坐标系下任意一点 (x, y, z) 球坐标柱坐标定义 曲面坐标系 q1, q2, q3 与直角坐标系的关系为雅可比行列式不为零 其坐标面为三组曲面：q1 = 常数， q2 =常数， q3 =常数。 正交曲面坐标系由通过该点的三个坐标面决定， q1 ，q2 ，q3 相互独立 若q1 ，q2 ，q3总是互相垂直，它就是正交曲面坐标系。 点 a0 与其邻点的弧长：其中， 是坐标轴的度规因子， 若 gij=giid dij ，则 (q1, q
2、2, q3) 为正交曲面坐标系。 令 其中判定 即 或判断柱坐标系 为正交曲面坐标系。 例例题题解可知，柱坐标系是正交曲面坐标系。 判断球坐标系 为正交曲面坐标系。 例例题题解可知，球坐标系是正交曲面坐标系。 直角坐标系： 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符： 柱坐标系： 球坐标系： 极坐标系： 补充原点处的有界条件： 有界15.2 圆形区域可采用分离变量法采用平面极坐标系圆形区域中的稳定问题补充周期性条件：直角坐标下无法分离变量令 ，分离变量定解问题为：两边同乘以 得若 l l = 0 可知：周期性条件由周期性条件知：本征函数若 l l 0 可知：由周期性条件知：本征函数对方程（1）作变换：令
3、，则因此，当 时，本征函数为本征值 l l0 = 0 ，本征函数：方程（1）化为：定解问题的全部特解为：一般解：本征值 l lm = m2 ，本征函数：在 r = 0 处， 有界，lnr 和 项的系数为零，即将一般解代入周期性条件 ：利用本征函数的正交性及可知：再代入边界条件 ：三维空间的稳恒振动问题：15.3 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量通常要求解的形式为：这样方程就化为了：亥姆霍兹方程T(t) 为随时间衰减的因子为随时间衰减的因子柱坐标系下，亥姆霍兹方程 的具体形式为：逐次分离变量，令代入方程两边同除以 wZ 得：再次分离变量，令代入方程得两边同乘以 得17章 柱函数两边同乘以 得15.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量球坐标系下，亥姆霍兹方程 的具体形式为：逐次分离变量，令代入方程再次分离变量，令代入方程（2）得即两边同乘以 得16章 球函数连带勒让德方程当整个定解问题再绕极轴转动任意角不变时，即 u = u (r, q q) 而与 f f 无关时，亥姆霍兹方程变为：两边同乘以 得即分离变量，令代入方程16章 球函数勒让德方程
