一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则三、复合函数的极限三、复合函数的极限二、求极限举例二、求极限举例四、小结四、小结 第一章 一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有则有定理定理2.7 2.7 若若推论推论 1、、推论推论3 、、推论推论 2、、 为无穷小为无穷小定理定理2.9 2.9 若若且且 B≠0 , 则有则有证证: :因因有有其中其中设设无穷小无穷小有界有界因此因此由极限与无穷小关系定理得由极限与无穷小关系定理得为无穷小为无穷小, 注注2：对定理：对定理2.9，，B不为０；推论不为０；推论1、、2、、3只适只适 用于有限个函数用于有限个函数注１：注１： 在同一变化趋势下，极限都要在同一变化趋势下，极限都要 在，否则不能用上述法则 在，否则不能用上述法则 则则 一定不存在；一定不存在；注注3：若：若 , 其中只有一个存在，其中只有一个存在， 则则 不一定不存在；不一定不存在； 注注4：若：若 ，两个极限都不存在，，两个极限都不存在，比如：比如： 二、求极限举例二、求极限举例例例1 例例2解 原式解 原式 小结小结: :注：注：当当 f (x)为初等函数时为初等函数时，x0为定义域内的点，则为定义域内的点，则 分析：分析：x = 3 时分母为时分母为 0 例例3、、解、解、 原式原式 例例4、设、设 ，求，求b、、c的值的值 解、解、 因为因为 分母趋于分母趋于0极限的反问题极限的反问题且极限且极限 存在存在所以必有存在所以必有存在否则原极限否则原极限应当为无穷大应当为无穷大得得 c=-3-b 结论：如果结论：如果 存在，且存在，且 则必有则必有 证明：证明： 例例5 5 求求解解: x = 1 时时分母分母 = 0 , 分子分子≠0 ,但因但因 例例6 6 求求解解: 时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式 小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子、分母子、分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限. 例例7 7解解先变形再求极限先变形再求极限.注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。
另例另例 意义：意义：三、复合函数的运算法则三、复合函数的运算法则 例例8 8 求求解解: :令令已知已知∴∴ 原式原式 = 例例9 9 求求解解: :方法方法 1则则令令∴∴ 原式原式方法方法 2 四、小结与思考练习题四、小结与思考练习题2、极限求法：、极限求法：(1) (1) 多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; ;(2) (2) 消去零因子法求极限消去零因子法求极限; ;（（0/00/0型）型） （因式分解、有理化）（因式分解、有理化）(3) (3) 利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; ; (4) (4) 利用通分方法求极限利用通分方法求极限; ;（（∞∞- -∞∞型）型）(5) (5) 分子分母同除最大项分子分母同除最大项∞∞/∞/∞型）型）1、极限的四则运算法则和推论、极限的四则运算法则和推论3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则 一、填空题一、填空题:练习题练习题 二、求下列各极限二、求下列各极限: 练习题答案练习题答案 。