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1、第三章第三章 多元线性回归模型多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的假设检验多元线性回归模型的假设检验实例实例3.1 3.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的根本假定二、多元线性回归模型的根本假定 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型:表如今线性回归模型表如今线性回归模型中的解释变量有多个。中的解释变量有多个。 普通表现方式：普通表现方式：i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数regressi
2、on coefficient。总体回归函数为总体回归函数为:总体回归函数的随机表达方式为总体回归函数的随机表达方式为可以看到是对应于一元线形回归模型的，是一元线性回归模型的可以看到是对应于一元线形回归模型的，是一元线性回归模型的自然引申与扩展！自然引申与扩展！ j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量坚持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化; 或者说j给出了X j的单位变化对Y均值的“直接或“净不含其他变量影响。其随机表示式其随机表示式: : ei称为残差或剩余项称为残差或剩余项(residuals)，可看成是，可看成是总体回归函数中随机扰动项总体回归函数中随机扰动项i
3、的近似替代。的近似替代。 用于估计总体回归函数的样本回归函数是用于估计总体回归函数的样本回归函数是二、多元线性回归模型的根本假定二、多元线性回归模型的根本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关无多重共线性。 假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性。 假设3，解释变量与随机项不相关 假设4，随机项满足正态分布 3.2 3.2 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质二、参数估计量的性质 三、样本容量问题三、样本容量问题 四、估计实例四、估计实例 说说 明明估计方法：估计方法：OLS普通最小二乘法
4、普通最小二乘法一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值假设样本函数的参数估计值曾经得到，那么有： i=1,2n 根据最小二乘原理，参数估计值应该是右列方程组的解 其中 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组： 解该k+1 个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1) 个待估参数的估计值$, , ,bjj =012L。k随机误差项的方差的无偏估计 可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为： 二、参数估计量的性质二、参数估计量的性质 在满足根本假设的情况下，其构造参数的普通最小二乘估计具有： 线性性、无偏性、有效性。-也就是满足高斯-马尔柯夫定理 三、样本容量问题三、样本
5、容量问题 所谓所谓“最小样本容量，即从最小二乘原理最小样本容量，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不论和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不论其质量如何，所要求的样本容量的下限。其质量如何，所要求的样本容量的下限。 最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必需不少于模型中解释变量样本最小容量必需不少于模型中解释变量的数目包括常数项的数目包括常数项, ,即即 n k+1 n k+1 2 2、满足根本要求的样本容量、满足根本要求的样本容量 从统计检验的角度：从统计检验的角度：n-k8n-k8时时, t, t分布较为稳定分布较为稳定 普通阅历以为: 当n30或者至少n3(k+1)
6、时，才干说满足模型估计的根本要求。 模型的良好性质只需在大样本下才干模型的良好性质只需在大样本下才干得到实际上的证明得到实际上的证明3.3 3.3 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验) ) 三、变量的显著性检验三、变量的显著性检验t t检验检验 四、参数的置信区间四、参数的置信区间 一、拟合优度检验一、拟合优度检验1、断定系数与调整的断定系数、断定系数与调整的断定系数那么 总离差平方和的分解总离差平方和的分解由于: =0所以有： 留意：一个有趣的景象留意：一个有趣的景象 断定系数该统计
7、量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在运用过程中发现，假设在模型中添加一个解释变量， R2往往增大Why?) 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只需添加解释变量即可。 但是，现实情况往往是，由添加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。 调整的断定系数adjusted coefficient of determination 在样本容量一定的情况下，添加解释变量必定使得自在度减少，所以调整的思绪是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自在度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自在度，n-1为总体平方和的自在度。 *2、赤池信息准那么和施
8、瓦茨准那么、赤池信息准那么和施瓦茨准那么 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的规范还有: 赤池信息准那么Akaike information criterion, AIC施瓦茨准那么施瓦茨准那么Schwarz criterionSchwarz criterion，SCSC 这两准那么均要求仅当所添加的解释变量可以减少AIC值或AC值时才在原模型中添加该解释变量。 二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验) ) 方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上能否显著成立作出推断。 1、方程显著性的F检验 即检验模型 Yi=0+1X
9、1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的参数j能否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全为0 F F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：检验的思想来自于总离差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS TSS=ESS+RSS 假设这个比值较大，那么X的结合体对Y的解释程度高，可以为总体存在线性关系，反之总体上能够不存在线性关系。 因此,可经过该比值的大小对总体线性关系进展推断。 根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量 注：这里的k是在回归元的个数而不是变量的个数，要留意k的详细含义服从自在度为(k , n-k
10、-1)的F分布。 给定显著性程度，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，经过 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)来回绝或接受原假设H0，以断定原方程总体上的线性关系能否显著成立。 对于中国居民人均消费支出的例子： 一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3给定显著性程度 =0.05，查分布表，得到临界值： 一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52显然有 F F(k,n-k-1) ，即二个模型的线性关系在5%的显著性程度下显著成立。 2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论 由可推出：与或 注：课本上是F与R2
11、的关系，由于断定系数和校正的断定系数之间的关系，所以此三者的关系的推导是很显然的。三、变量的显著性检验三、变量的显著性检验t t检验检验 方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。 因此，必需对每个解释变量进展显著性检验，以决议能否作为解释变量被保管在模型中。 这一检验是由对变量的 t 检验完成的。 1、t统计量统计量 因此，可构造如下t统计量 2、t检验 设计原假设与备择假设： H1：i0 给定显著性程度，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，经过 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)来回绝或接受原假设H0，从而断定对应的解
12、释变量能否应包括在模型中。 H0：i=0 i=1,2k 留意：一元线性回归中，留意：一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 不过多元的就没那么简单的关系了！不过多元的就没那么简单的关系了！ 一方面，t检验与F检验都是对一样的原假设H0：1=0 进展检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系： 在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，由运用软件计算出参数的t值： 给定显著性程度=0.05，查得相应临界值： t0.025(19) =2.093。 可见，计算的一切t值都大于该临界值，所以回绝原假设。即:包括常数项在内的3个解释变量都在5%的显著性程度下显著，都经过了变量显著性检验
13、。四、参数的置信区间四、参数的置信区间 参参数数的的置置信信区区间间用用来来调调查查：在在一一次次抽抽样样中中所所估计的参数值离参数的真实值有多估计的参数值离参数的真实值有多“近。近。 在变量的显著性检验中曾经知道：在变量的显著性检验中曾经知道：容易推出：在容易推出：在(1-(1-) )的置信程度下的置信程度下i i的置信区间的置信区间是是 其中，t/2为显著性程度为 、自在度为n-k-1的临界值。 如何才干减少置信区间？如何才干减少置信区间？ 增大样本容量增大样本容量n n，由于在同样的样本容量下，由于在同样的样本容量下，n n越大，越大，t t分布表中的临界值越小，同时，增大分布表中的临界
14、值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的规范差减样本容量，还可使样本参数估计量的规范差减小；小； 提高模型的拟合优度，由于样本参数估计量提高模型的拟合优度，由于样本参数估计量的规范差与残差平方和呈正比，模型优度越高，的规范差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。残差平方和应越小。提高样本观测值的分散度，也就是说变量必提高样本观测值的分散度，也就是说变量必需变化大。需变化大。三、参数的稳定性三、参数的稳定性邹氏参数稳定性检验邹氏参数稳定性检验 建立模型时往往希望模型的参数是稳定的，即所谓的构造不变，这将提高模型的预测与分析功能。如何检验？ 假设需求建立的模型为在两个延续的
15、时间序列1,2,，n1与n1+1,，n1+n2中，相应的模型分别为：因此，检验的F统计量为： 记RSS1与RSS2为在两时间段上分别回归后所得的残差平方和，容易验证，于是参数稳定性的检验步骤：参数稳定性的检验步骤： 1分别以两延续时间序列作为两个样本进展回归，得到相应的残差平方： RSS1与RSS2 2将两序列并为一个大样本后进展回归，得到大样本下的残差平方和RSSR 3计算F统计量的值，与临界值比较： 假设F值大于临界值，那么回绝原假设，以为发生了构造变化，参数是非稳定的。 该检验也被称为邹氏参数稳定性检验Chow test for parameter stability。 例例3.6.2 中国城镇居民食品人均消费需求的邹中国城镇居民食品人均消费需求的邹氏检验。氏检验。 1、参数稳定性检验19811994：RSS1=0.003240 19952001： (9.96) (7.14) (-5.13) (1.81) 19812001: (14.83) (27.26) (-3.24) (-11.17) 给定=5%，查表得临界值F0.05(4, 13)=3.18 结论：结论：F值值临界值，回绝参数稳定的原假临界值，回绝参数稳定的原假设，阐明中国城镇居民食品人均消费需求在设，阐明中国城镇居民食品人均消费需求在1994年前后发生了显著变化。年前后发生了显著变化。 举例：新股发行抑价的实证研讨
