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1、第七章第七章 线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正7-1 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念7-2 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持7-3 z7-3 z变换理论变换理论7-4 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型7-5 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差7-6 7-6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析7-7 7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正7-1 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念1 1、基本概念：、基本概念：控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数字（数码），由于控制系统中有一处或几处信号是一串
2、脉冲或数字（数码），由于信号在时间上是离散的这类系统称为离散系统。信号在时间上是离散的这类系统称为离散系统。一、离散系统基本概念和分类一、离散系统基本概念和分类 （1 1）采样控制系统或脉冲控制系统）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）离散信号是脉冲序列（时间上离散）2 2、分类：、分类：采样系统的典型结构图采样系统的典型结构图（2 2）数字控制系统或计算机控制系统）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）例例2 小口径高炮高精度伺服系统小口径高炮高精度伺服系统A/DD/A数字控制器数字控制器
3、被控对象被控对象测量元件测量元件 e*(t)数字计算机数字计算机r(t)e(t) u*(t)uh(t) c(t) _数字控制系统典型结构图数字控制系统典型结构图 A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。包括采样与量化两过程。 D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。包括解码与复现两过程。7-2 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持e(t)一、采样过程：一、采样过程：连续信号连续信号 离散信号离散信号采样开关采样开
4、关二、采样过程的数学描述：二、采样过程的数学描述：1 1、理想采样过程的数学描述：、理想采样过程的数学描述：2 2、采样信号的拉氏变换：、采样信号的拉氏变换：注意：注意： 由于由于 e*(t)只描述了只描述了e(t)在采样瞬时的数值，所以在采样瞬时的数值，所以E*(s)不能给出连续函数不能给出连续函数e(t)在采样间隔之间的信息。在采样间隔之间的信息。例题：例题： 设设 ，求，求 的拉氏变换。的拉氏变换。 解：解：例题：例题： 设设 为常数，求为常数，求 的拉氏变换的拉氏变换解：解：3、采样信号的频谱、采样信号的频谱T(t) =s=2/T为采样角频率为采样角频率,Cn是傅氏系数是傅氏系数,其值
5、为：其值为：T(t) =连续信号的频谱为连续信号的频谱为采样信号的频谱为采样信号的频谱为h-h0h-h0s2s3s-3s-2s-sh-h0s-sh-h0s2s3s-3s-2s-ss = 2h滤波器的宽度满足什么滤波器的宽度满足什么条件时能从条件时能从得到得到?s 2h或：或：T/h三、香农采样定理：三、香农采样定理：如果采样器的如果采样器的 输入信号输入信号e(t) 具有有限带宽，具有最高频具有有限带宽，具有最高频率为率为 的分量，要从采样信号中的分量，要从采样信号中e*(t)完全复现出采样完全复现出采样前的连续信号前的连续信号e(t) ，必须满足以下条件：，必须满足以下条件：四、采样周期的选
6、取四、采样周期的选取采样定理给出了采样周期选择的基本原则，未给出选择采样采样定理给出了采样周期选择的基本原则，未给出选择采样周期的具体计算公式。显然，采样周期选得越小，对控制过周期的具体计算公式。显然，采样周期选得越小，对控制过程的信息获得越多，控制效果越好。但是采样周期选得过小，程的信息获得越多，控制效果越好。但是采样周期选得过小，将增加不必要的负担；采样周期选得过大，会给控制过程带将增加不必要的负担；采样周期选得过大，会给控制过程带来较大误差。来较大误差。五、信号保持五、信号保持信号保持是指将离散信号转换成连续信号的过程。用于这信号保持是指将离散信号转换成连续信号的过程。用于这种转换的元件
7、称为保持器。工程实践中，普遍采用零阶保种转换的元件称为保持器。工程实践中，普遍采用零阶保持器。持器。零阶保持器零阶保持器把前一采样时刻的采样值保持到下一个把前一采样时刻的采样值保持到下一个采样时刻到来之前。采样时刻到来之前。t零阶保持器零阶保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=3零阶保持器：零阶保持器：当给零阶保持器输入一个当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲理想单位脉冲 ，则脉，则脉冲响应（输出）冲响应（输出）脉冲过渡函数：脉冲过渡函数：幅值为幅值为1，持续时间为，持续时间为 T对应的拉氏变换对应的拉氏变换零阶保持器的特性：零阶保持器的特性：（1）低通特性）低通特性（2）相角滞后特性）相角滞
8、后特性（3）时间滞后特性）时间滞后特性令令 ，得到零阶保持器的频率特性，得到零阶保持器的频率特性7-3 7-3 Z Z 变换理论变换理论一、一、Z Z变换定义变换定义采样信号拉氏变换为：采样信号拉氏变换为：令令z=esT，则，则称称E(z)为采样信号为采样信号e*(t)的的Z变换，记做变换，记做二、二、Z Z变换方法变换方法1 1、级数求和法、级数求和法级数求和法直接根据级数求和法直接根据z z变换定义求取。变换定义求取。例题：例题： 试求单位阶跃函数试求单位阶跃函数1(t)的的z变换变换解：解：2 2、部分分式法、部分分式法 先求出已知连续时间函数先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换的拉
9、氏变换E (s)； 将将E (s)展开成部分分式之和的形式；展开成部分分式之和的形式； 求拉氏反变换，再求求拉氏反变换，再求Z变换变换E(z)。例题：例题：已知已知 ，求相应的，求相应的E(z) 解解：三、三、z z变换性质变换性质1 1、线性定理、线性定理2 2、实数位移定理、实数位移定理超前定理超前定理 滞后定理滞后定理 3 3、复数位移定理、复数位移定理 4 4、终值定理、终值定理 5 5、初值定理、初值定理 四、四、 Z Z 反变换反变换1、Z 反变换的定义反变换的定义由已知的由已知的 Z 变换变换E(z)，求相应的离散时间序列，求相应的离散时间序列e(nT)并表示为：并表示为：2、
10、Z 反变换的求法反变换的求法求求 Z 反变换的方法很多，常用的方法有：反变换的方法很多，常用的方法有：部分分部分分式法，长除法式法，长除法。(1)(1)部分分式法部分分式法部分分式法部分分式法(2)(2)长除法长除法长除法长除法7-4 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型一、线性常系数差分方程及其解法：一、线性常系数差分方程及其解法： 1 1、差分定义：、差分定义： 前向差分：前向差分：后向差分：后向差分：2 2、解法、解法1. 1. 迭代法迭代法根据给定差分方程和输出序列的初值，则可以利用递推关系，根据给定差分方程和输出序列的初值，则可以利用递推关系，一步一步算出输出序列。一步一步算
11、出输出序列。变换法变换法用用Z Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z Z变换，变换，并利用并利用Z Z变换的位移性质，得到以变换的位移性质，得到以z z为变量的代数方程，然为变量的代数方程，然后对代数方程的解后对代数方程的解E E(z)(z)取取Z Z反变换即求得输出序列。反变换即求得输出序列。三、脉冲传递函数三、脉冲传递函数1 1、定义：、定义：零初始条件下，离散系统输出脉冲序列零初始条件下，离散系统输出脉冲序列Z Z变换与输入脉冲序列变换与输入脉冲序列Z Z变换之比。变换之比。G(s)2 2、意义：、意义：理想脉冲输出响应的理想脉冲输出响
12、应的Z Z变换就是脉冲传递变换就是脉冲传递函数。函数。3 3、求法、求法（1 1）由差分方程求取）由差分方程求取（2 2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数4 4、开环系统脉冲传递函数、开环系统脉冲传递函数（1 1）采样拉氏变换的两个重要性质：）采样拉氏变换的两个重要性质： 采样函数的拉氏变换具有周期性采样函数的拉氏变换具有周期性 （2）具有串联环节的开环脉冲传递函数）具有串联环节的开环脉冲传递函数注意：注意：（3 3）带有零阶保持器的开环脉冲传递函数）带有零阶保持器的开环脉冲传递函数例题：例题：设对象传递函数设对象传递函数求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数
13、。求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数。6 6、闭环系统脉冲传递函数、闭环系统脉冲传递函数G(s)H(s)7-57-5离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差一、一、 s 域到域到 z 域的映射关系域的映射关系S S平面平面z z平面平面虚轴虚轴单位圆周单位圆周S S左半平左半平面面单位圆内单位圆内S S右半平右半平面面单位圆外单位圆外二、离散系统稳定的充分必要条件：二、离散系统稳定的充分必要条件：闭环特征根全部位于闭环特征根全部位于z z平面平面单位圆内单位圆内。 解：解：开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数闭环特征方程闭环特征方程结论：因为结论：因为|z2|1，所以闭环系统不稳定，所
14、以闭环系统不稳定。例题：例题：采样周期采样周期T=1(s)，试分试分析闭环系统的稳定性。析闭环系统的稳定性。G(s)H(s)三、离散系统的稳定性判据三、离散系统的稳定性判据连续系统的代数稳定判据连续系统的代数稳定判据劳思劳思- -赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据判定判定: :特征方程的根是否都在左半特征方程的根是否都在左半s s平面平面。离散系统的稳定性：离散系统的稳定性：特征根是否都在特征根是否都在z z平面的单位圆内平面的单位圆内。将劳思将劳思- -赫尔维茨判据用于离散系统的稳定性判定，首先赫尔维茨判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将要将z z平面上的稳定域单位圆内映射成平面上的稳定域单
15、位圆内映射成w w平面上的左半平平面上的左半平面面1 1、W W变换（双线性变换）与劳思稳定判据变换（双线性变换）与劳思稳定判据令在在z z平面的单位圆上，满足平面的单位圆上，满足对应在对应在 w w平面上，平面上， ，即，即w w平面上的虚轴对应于平面上的虚轴对应于z z平面上平面上的单位圆周。的单位圆周。在在W域应用劳思判据。域应用劳思判据。Z Z平面单位圆内平面单位圆内w w平面左半平面平面左半平面Z Z平面单位圆外平面单位圆外w w平面右半平面平面右半平面例题：例题：设闭环离散系统如图所示，设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳试求系统稳定时定时K的临界值。的临界值。r(
16、t)c(t)解：解：使系统闭环稳定的使系统闭环稳定的K取值范围取值范围临界增益临界增益劳思表劳思表2 2、朱利稳定判据、朱利稳定判据朱利稳定判据是根据离散系统的z域特征方程 的系数，直接判别特征根是否严格位于z平面上的单位圆内。 朱利稳定判据朱利稳定判据：特征方程：特征方程 的根，全部严格位于的根，全部严格位于z z平面平面上单位圆内的充要条件是：上单位圆内的充要条件是：以及下列（以及下列（n-1n-1）个约束成立个约束成立：只有上述条件满足，系统稳定。只有上述条件满足，系统稳定。四、采样周期与开环增益对稳定性的影响四、采样周期与开环增益对稳定性的影响连续系统的稳定性连续系统的稳定性取决于：开
17、环增益、闭环极点、传输延迟等。取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。离散系统的稳定性离散系统的稳定性：除以上因素，还有采样周期：除以上因素，还有采样周期T T。例题：例题：设有零阶保持器设有零阶保持器Gh(s)的的离散系统如图所示，求：离散系统如图所示，求：T=1s和时，系统的临界开环增益和时，系统的临界开环增益解解结论：结论：（1 1）当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的）当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差；稳定性变差；（2 2）当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息）当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息就越多，对系统的稳定性和动态性能不利。就越多，对系统
18、的稳定性和动态性能不利。 1. 终值定理法终值定理法 2. 误差系数法误差系数法 (1) 单位阶跃输入时单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时单位加速度输入时 r(t)=t2/2五、离散系统的稳态误差五、离散系统的稳态误差0000000 0系统型别系统型别解解1：系统闭环稳定。系统闭环稳定。例题：例题：图中图中试求连续系统相应的稳态误差。试求连续系统相应的稳态误差。解解2：型系统型系统8-6 8-6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析通常假定外作用为单位阶跃函数通常假定外作用为单位阶跃函数r(t)=1(t)，此
19、时，此时R(z)=z/(z-1)，则系统输出量的则系统输出量的Z变换函数为变换函数为 一、离散系统时间响应一、离散系统时间响应 然后用长除法，然后用长除法，将将C(z)展成展成无穷幂级数：无穷幂级数： C(z)=C0+C1z-1+ C2z-2+ Cnz-n则得单位阶跃作用下的输出序列为则得单位阶跃作用下的输出序列为 C(kT)=Ck , k=0,1,2,n闭环实极点分布与相应的动态响应形式闭环实极点分布与相应的动态响应形式Z平面平面ImRe01二、闭环极点与动态响应的关系二、闭环极点与动态响应的关系ImRe11闭环复极点分布与相应的动态响应形式闭环复极点分布与相应的动态响应形式7-7 7-7
20、离散系统的数字校正离散系统的数字校正 一、数字控制器的脉冲传递函数一、数字控制器的脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数闭环误差脉冲传递函数闭环误差脉冲传递函数闭环误差脉冲传递函数闭环误差脉冲传递函数R(S)G(S)D(Z)-C(S)数字控制器的脉冲传递函数数字控制器的脉冲传递函数数字控制器的脉冲传递函数数字控制器的脉冲传递函数或或二、最小拍系统的脉冲传递函数二、最小拍系统的脉冲传递函数最小拍系统最小拍系统是指：系统在典型的输入信号作用下，经过最是指：系统在典型的输入信号作用下，经过最是指：系统在典型的输入信号作用下，经过最是指：系统在典型的输入信号作用下，经过最少采样周期，使得输出稳态误差为零，达到完全跟踪。少采样周期，使得输出稳态误差为零，达到完全跟踪。少采样周期，使得输出稳态误差为零，达到完全跟踪。少采样周期，使得输出稳态误差为零，达到完全跟踪。典型输入信号典型输入信号典型信号作用下的典型信号作用下的 (z)(z)
