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1、第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合1.1.集合的基本概念集合的基本概念(1)(1)元素的特性元素的特性_ _ _ _ _ 属于属于 记为记为_(2)(2)集合与元素的关系集合与元素的关系 不属于不属于 记为记为_确定性确定性互异性互异性无序性无序性aAaA(3)(3)常见集合的符号常见集合的符号(4)(4)集合的表示方法集合的表示方法_ _ _ _ _自然数集自然数集正整数集正整数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集_N NN N* *或或N N+ +Z ZQ QR R列举法列举法描述法描述法VennVenn图法图法【即时应用即时应用】(1)(1)判断下列表达是否正确判断下列表达是
2、否正确( (在后面的括号内填写在后面的括号内填写“”或或“”) )：Z=Z=全体整数全体整数 ( ) ( )R=R=实数集实数集=R ( )=R ( )(1(1，2)=12)=1，2 ( )2 ( )11，2=22=2，1 ( )1 ( )(2)(2)若集合若集合A=1A=1，a a2 2 ，则实数，则实数a a不能取的值为不能取的值为_._.【解析解析】(1)(1)不正确，正确写法为不正确，正确写法为Z=Z=整数整数;不正确，正确写法为不正确，正确写法为R=R=实数实数 ；而；而RR表示以实数集为元素表示以实数集为元素的集合；的集合；不正确，集合不正确，集合(1(1，2)2)表示元素为点表示
3、元素为点(1(1，2)2)的点的集合，而的点的集合，而11，22则表示元素为数则表示元素为数1 1，2 2的数的集合，它们是不相等的；的数的集合，它们是不相等的；正确，根据集合中元素的无序性可知正确，根据集合中元素的无序性可知11，2=22=2，1.1.(2)(2)由由a a2 21,1,得得aa1.1.答案：答案：(1)(1) (2)(2)1 12.2.集合间的基本关系集合间的基本关系表示表示关系关系文字语言文字语言符号语言符号语言相等相等集合集合A A与集合与集合B B中的中的所有所有_相同相同A AB B且且B BA AA=BA=B子集子集A A中任意一个元素均为中任意一个元素均为B B
4、中的元中的元素素_或或_元素元素A AB BB BA A 表示表示关系关系文字语言文字语言符号语言符号语言真子集真子集A A中任意一个元素均为中任意一个元素均为B B中的元素中的元素, ,且且B B中至少有一个元素不是中至少有一个元素不是A A中中的元素的元素_或或_空集空集空集是空集是_的的子集子集, ,是是_的真子集的真子集 A A B(B ) B(B )A BA BB AB A任何集合任何集合任何非空集任何非空集合合【即时应用即时应用】(1)(1)满足满足11，2 2，3 M 13 M 1，2 2，3 3，4 4，5 5，66的集合的集合M M的个数是的个数是_._.(2)(2)若若A=
5、x|x2A=x|x2或或x1,B=x|axa+1,x1,B=x|ax0,B=x|y= ,+x-60,B=x|y= ,则则AB=_.AB=_.(3)(3)已知全集已知全集U=R,U=R,集合集合A=x|-2x3,B=x|xA=x|-2x3,B=x|x-1-1或或x x4,4,那那么集合么集合A( )A( )等于等于_._.【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知M=2,3M=2,3或或M=1M=1，2 2，3,3,共共2 2个个. .(2)A=x|x-3(2)A=x|x2,B=x|x3,x2,B=x|x3,AB=x|x-3AB=x|x-3或或2x3.2x3.(3) =x|-1x4,A( )=x|
6、-1x3.(3) =x|-1x4,A( )=x|-1x3.答案：答案：(1)2 (2)x|x-3(1)2 (2)x|x-3或或2x320x|f(x)0 x|y=f(x) x|y=f(x) y|y=f(x)y|y=f(x) (x,y)|y=f(x)(x,y)|y=f(x) 集合的集合的意义意义 方程方程f(x)f(x)=0=0的解集的解集 不等式不等式f(x)f(x)00的解集的解集 函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域的定义域 函数函数y=f(x)y=f(x)的值域的值域 函数函数y=f(x)y=f(x)图象上的点集图象上的点集 【例例1 1】(1)(2012(1)(2012福州模拟福州模
7、拟) )设设P P、Q Q为两个非空实数集合，定为两个非空实数集合，定义集合义集合P+Q=a+b|aP,bQ,P+Q=a+b|aP,bQ,若若P=0,2,5,Q=1,2,6,P=0,2,5,Q=1,2,6,则则P+QP+Q中中元素的个数是元素的个数是( )( )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6(A)9 (B)8 (C)7 (D)6(2)(2)已知已知A=a-2A=a-2，2a2a2 2+5a+5a，1212，若，若-3A-3A，则，则a=_.a=_.【解题指南解题指南】(1)(1)从从P+QP+Q的定义入手，可列表求出的定义入手，可列表求出a+ba+b的值的值. .(2)-3(2)-3是
8、是A A中的元素，说明中的元素，说明A A中的三个元素有一个等于中的三个元素有一个等于-3-3，可分类，可分类讨论讨论. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.a+bB.a+b的值列表如下：的值列表如下：由集合中元素的互异性知由集合中元素的互异性知P+QP+Q中有中有8 8个元素，故选个元素，故选B.B.0 02 25 51 11 13 36 62 22 24 47 76 66 68 81111a aa+ba+bb b(2)-3A,a-2=-3(2)-3A,a-2=-3或或2a2a2 2+5a=-3+5a=-3，a=-1a=-1或或a=- .a=- .当当a=-1a=-1时，时，a-2=2
9、aa-2=2a2 2+5a=-3,+5a=-3,不合题意不合题意; ;当当a=- a=- 时，时，A=- A=- ，-3-3，12,12,符合题意符合题意, ,故故a=- .a=- .答案：答案：- -【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)改为改为“已知集合已知集合A=a-2,2aA=a-2,2a2 2+5a,12,+5a,12,求求a a的取值范围的取值范围”. .【解析解析】由集合由集合A A中元素互异性知，中元素互异性知， , ,解得解得 , ,aa的取值范围为的取值范围为a|a-4,-1, ,14.a|a-4,-1, ,14.【反思反思感悟感悟】1.1.研究一个集合，首先要看集合中的
10、代表元素，研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么其元素表示的意义是什么. .2.2.解答本题时，元素的互异性起到了至关重要的作用，求解本解答本题时，元素的互异性起到了至关重要的作用，求解本题易出现的错误就是求出答案后，不进行检验，忽视了元素的题易出现的错误就是求出答案后，不进行检验，忽视了元素的互异性互异性. .【变式备选变式备选】 已知集合已知集合A A是由方程是由方程axax2 2-3x+2=0-3x+2=0的所有实根组成的的所有实根组成的集合集合, ,若若A
11、 A是空集是空集, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .【解析解析】因为因为A A是空集是空集, ,所以方程所以方程axax2 2-3x+2=0-3x+2=0无实根无实根, ,a0,=(-3)a0,=(-3)2 2-8a-8a0,0,所以所以a a , ,所以所以a a的取值范围是的取值范围是( ,+).( ,+).热点考向热点考向 2 2 集合间的基本关系集合间的基本关系【方法点睛方法点睛】1.1.集合相等集合相等若两个集合相等若两个集合相等, ,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等素相等, ,有几种情况等有几种情况等, ,然后列方
12、程组求解然后列方程组求解, ,要注意挖掘题目中的要注意挖掘题目中的隐含条件隐含条件. .2.2.判断两集合关系的方法判断两集合关系的方法判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系找关系. .【提醒提醒】题目中若有条件题目中若有条件B B A A，则应分，则应分B= B= 和和B B 两种情况求两种情况求解解. . 【例例2 2】(1)(1)已知已知aR,bR,aR,bR,若若a, ,1=aa, ,1=a2 2,a+b
13、,0,a+b,0,则则a a2 0132 013+b+b2 0132 013=_.=_.(2)(2012(2)(2012龙岩模拟龙岩模拟) )已知已知A=x|xA=x|x2 2-2x-30,B=x|xa,-2x-30,B=x|xa,若若A AB B，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.(3)(3)设设A=x|xA=x|x2 2-8x+15=0,B=x|ax-1=0,-8x+15=0,B=x|ax-1=0,若若B BA A，求实数，求实数a a组成组成的集合的集合C.C.【解题指南解题指南】(1)(1)由两集合相等及由两集合相等及a0a0知，知，b=0,b=0,从而从而a a2
14、2=1.=1.(2)(2)先化简集合先化简集合A A，根据题意列关于，根据题意列关于a a的不等式求解的不等式求解. .(3)(3)化简集合化简集合A A，结合方程，结合方程ax-1=0ax-1=0的解的情况，分的解的情况，分B= B= 和和B B 两两种情形求解种情形求解. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意知，由题意知，a0, =0,b=0.a0, =0,b=0.a,0,1=a,0,aa,0,1=a,0,a2 2.aa2 2=1=1，即，即a=a=1.1.经验证当经验证当a=1a=1时不合题意，当时不合题意，当a=-1a=-1时，符合题意时，符合题意. .a=-1,aa=-1,a2
15、0132 013+b+b2 0132 013=(-1)=(-1)2 0132 013+0+02 0132 013=-1.=-1.答案：答案：-1-1(2)A=x|-1x3,B=x|xa,A(2)A=x|-1x3,B=x|xa,A B.B.a3.a3.答案：答案：a|a3a|a3(3)A=3,5,B(3)A=3,5,B A,A,当当B= B= 时，方程时，方程ax-1=0ax-1=0无解，则无解，则a=0,a=0,此时有此时有B B A;A;当当BB时，则时，则a0,a0,由由ax-1=0ax-1=0，得，得x= .x= .即即 3,5,3,5, =3 =3或或 =5,=5,a= a= 或或a=
16、 ,a= ,C=0, , .C=0, , .【互动探究互动探究】本例本例(3)(3)条件不变条件不变. .若集合若集合B AB A，试求实数，试求实数a a的值的值. .若若AB=3AB=3，试求实数，试求实数a a组成的集合组成的集合C.C.【解析解析】若若B AB A，则，则B= B= ，33，55a=0, , .a=0, , .若若AB=3AB=3，则，则B=3,B=3,a= ,C= .a= ,C= .【反思反思感悟感悟】1.1.解答本例解答本例(3)(3)时，易忽视时，易忽视B=B=这种情况，使解这种情况，使解题不完整，造成失分题不完整，造成失分. .2.2.已知两集合间的关系求参数时
17、，关键是将两集合间的关系转已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系. .解决这类问题解决这类问题要合理利用数轴、要合理利用数轴、VennVenn图帮助分析图帮助分析. .3.3.子集与真子集的区别与联系：集合子集与真子集的区别与联系：集合A A的真子集一定是其子集，的真子集一定是其子集，而集合而集合A A的子集不一定是其真子集；若集合的子集不一定是其真子集；若集合A A有有n n个元素，则其子个元素，则其子集个数为集个数为2 2n n, ,真子集个数为真子集个数为2 2n n-1.-1.【变式备选变
18、式备选】1.1.设集合设集合A=(x,y)|4x+y=6,B=(x,y)|3x+2y=7,A=(x,y)|4x+y=6,B=(x,y)|3x+2y=7,则满足则满足C C(AB)(AB)的集合的集合C C的个数是的个数是( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析解析】选选C.AB= C.AB= C= C= 或或C=(1,2),C=(1,2),共两个共两个. .2.2.已知集合已知集合A=x|0ax+15A=x|0ax+15，集合，集合B=x|- x2.B=x|- x2.(1)(1)若若A AB B，求实数，求实数a a的取值范围；的取值范围；
19、(2)(2)若若B BA A，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围; ;(3)A(3)A、B B能否相等？若能，求出能否相等？若能，求出a a的值；若不能，试说明理由的值；若不能，试说明理由. .【解析解析】A A中不等式的解集应分三种情况讨论中不等式的解集应分三种情况讨论: :若若a=0,a=0,则则A=RA=R；若若a0,a0,则则A=x| x- A=x| x0,a0,则则A=x|- x .A=x|- x .(1)(1)当当a=0a=0时，若时，若A A B B，此种情况不存在，此种情况不存在. .当当a0a0时，若时，若A A B,B,如图，如图，则则 , ,a-8., ,a0a0时
20、，若时，若A A B B，如图，如图，则则 , .a2., .a2.综上知，当综上知，当A A B B时，时，a-8a-8或或a2.a2.(2)(2)当当a=0a=0时，显然时，显然B B A A；当当a0a0时，若时，若B B A A，如图，如图，则则 , ., .- a0;- a0a0时，若时，若B B A A，如图，如图，则则 ， . .0a2.0a2.综上知，当综上知，当B B A A时，时，- a2.- a2.(3)(3)当且仅当当且仅当A A B B且且B B A A时，时，A=B,A=B,由由(1)(2)(1)(2)知知a=2.a=2.热点考向热点考向 3 3 集合的基本运算集合
21、的基本运算【方法点睛方法点睛】1.1.集合运算的常用方法集合运算的常用方法在进行集合的运算时要尽可能借助在进行集合的运算时要尽可能借助VennVenn图和数轴使抽象问题直图和数轴使抽象问题直观化观化. .一般地，集合元素离散时用一般地，集合元素离散时用VennVenn图表示；集合元素连续时图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍. .2.2.不可忽视空集不可忽视空集在解决有关在解决有关AB= AB= ，AB= AB= ，A AB B等集合问题时，往往忽略等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑空集的情况，一定先考虑 是否成立，以
22、防漏解，另外要注意是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用分类讨论和数形结合思想的应用. .3.3.常用重要结论常用重要结论(1)(1)若若A AB B，B BC C，则，则A AC C；(2)AB=A(2)AB=AA AB;AB=AB;AB=AA AB. B. 【例例3 3】(1)(2012(1)(2012江西高考江西高考) )若集合若集合A=-1,1,B=0,2,A=-1,1,B=0,2,则集合则集合z|z=x+y,xA,yBz|z=x+y,xA,yB中的元素的个数为中的元素的个数为( () )(A)5(A)5 (B)4 (B)4 (C)3 (C)3 (D)2 (D)2(
23、2)(2012(2)(2012辽宁高考辽宁高考) )已知全集已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合集合A=0,1,3,5,8,A=0,1,3,5,8,集合集合B=2,4,5,6,8,B=2,4,5,6,8,则则 ( () )(A)5,8(A)5,8(B)7,9(B)7,9(C)0,1,3(C)0,1,3(D)2,4,6(D)2,4,6(3)(2012(3)(2012天津高考天津高考) )已知集合已知集合A=xR|x+2|3,A=xR|x+2|3,集合集合B=xR|(x-m)(x-2)0,B=xR|(x-m)(x-2)0,且且AB=(
24、-1,n),AB=(-1,n),则则m=m=, ,n=n=. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由已知得由已知得,z|z=x+y,xA,yB=,z|z=x+y,xA,yB=-1,1,3,-1,1,3,所以集合所以集合z|z=x+y,xA,yBz|z=x+y,xA,yB中的元素的个数为中的元素的个数为3.3.(2)(2)选选B.B.方法一方法一: :由已知由已知 =2,4,6,7,9, =0,1,3,7,9,=2,4,6,7,9, =0,1,3,7,9,则则 =2,4,6,7,90,1,3,7,9=7,9.=2,4,6,7,90,1,3,7,9=7,9.方法二方法二:AB=0,1,2
25、,3,4,5,6,8,:AB=0,1,2,3,4,5,6,8, =7,9. =7,9.(3)(3)由已知可解得由已知可解得A=xR|-5x1,B=xR|mx2,A=xR|-5x1,B=xR|mx0,-2x0,N=y|y=xN=y|y=x2 2+1,+1,则则N =( )N =( )(A)(1,2) (B)(A)(1,2) (B)0,20,2 (C) (D)(C) (D)1,21,2【解析解析】选选D.M=x|x0D.M=x|x2,N=y|y1x2,N=y|y1， =x|0x2=x|0x2，N =N =1 1，2 2. .2.2.已知已知A A，B B均为集合均为集合U=1U=1，3 3，5 5
26、，7 7，99的子集，且的子集，且AB=3AB=3，( )A=9( )A=9，则，则A=( )A=( )(A)1(A)1，3 (B)33 (B)3，7 7，99(C)3(C)3，5 5，9 (D)39 (D)3，99【解析解析】选选D.D.画出画出VennVenn图如图所示，则图如图所示，则A=3A=3，9.9.1.(20121.(2012广东高考广东高考) )设集合设集合U=1,2,3,4,5,6,M=1,2,4,U=1,2,3,4,5,6,M=1,2,4,则则 =( =() )(A)U(A)U(B)1,3,5(B)1,3,5(C)3,5,6(C)3,5,6(D)2,4,6(D)2,4,6【
27、解析解析】选选C. =3,5,6.C. =3,5,6.2.(20122.(2012山东高考山东高考) )已知全集已知全集U=0,1,2,3,4,U=0,1,2,3,4,集合集合A=1,2,3,A=1,2,3,B=2,4,B=2,4,则则 为为( () )(A)1,2,4(A)1,2,4 (B)2,3,4 (B)2,3,4(C)0,2,4(C)0,2,4 (D)0,2,3,4 (D)0,2,3,4【解析解析】选选C. C. 3.(20123.(2012浙江高考浙江高考) )设集合设集合A=x|1x4,A=x|1x4,集合集合B=x|xB=x|x2 2-2x-3-2x-30,0,则则 ( () )
28、(A)(1,4)(A)(1,4)(B)(3,4)(B)(3,4)(C)(1,3)(C)(1,3) (D)(1,2)(3,4) (D)(1,2)(3,4)【解析解析】选选B.B.集合集合B=x|xB=x|x2 2-2x-30=x|-1x3.-2x-30=x|-1x3.4.(20124.(2012新课标全国卷新课标全国卷) )已知集合已知集合A=1,2,3,4,5,B=(x,y) A=1,2,3,4,5,B=(x,y) |xA,yA,x-yA,|xA,yA,x-yA,则则B B中所含元素的个数为中所含元素的个数为( () )(A)3(A)3(B)6(B)6(C)8(C)8(D)10(D)10【解析解析】选选D.D.由由xA,yAxA,yA得得x-y=0x-y=0或或x-y=x-y=1 1或或x-y=x-y=2 2或或x-x-y=y=3 3或或x-y=x-y=4,4,故集合故集合B B中所含元素的个数为中所含元素的个数为1010个个. .
